（通用版）中考数学二轮专题复习专题03《解方程组与方程思想的实际应用》精讲精练（教师版）

专题三　解方程(组)与方程思想的实际应用

此专题与专题一类似，重点在于计算，学生出成绩贵在平时的训练；另外，方程应用题复习时加强找等量关系的训练.

重难点突破

　一次方程(组)的解法

【例1】解方程组

【解析】先化简方程组，再灵活选择代入法或加减法.

【答案】解：原方程组整理得：

由②得x＝5y－3.③

将③代入①得y＝1.

将y＝1代入③得x＝2.

∴原方程组的解为

1.解方程组

解：①×3，得：3x＋3y＝15，③

③－②，得x＝4，

将x＝4代入①，得x＝1.

∴

【方法指导】

先化简方程组，再灵活选择代入法或加减法.

　一元二次方程的解法

【例2】解方程：3(x－7)2＝2(7－x).

解：原方程化为(x－7)(3x－21＋2)＝0，

∴x－7＝0，3x－21＋2＝0，

∴x1＝7，x2＝.

2.解方程：x2＋2x＝3.

解：原方程可化为(x＋1)2＝4，

∴x＋1＝±2，

∴x1＝－3，x2＝1.

【方法指导】

先化简，再用配方法、公式法、因式分解法解题.

　分式方程的解法

【例3】解方程：－3＝，

解：方程两边同乘(x－2)，得

1－3(x－2)＝－(x－1)，解得x＝3.

检验：当x＝3时，x－2≠0，

∴原分式方程的解为x＝3.

3.解方程：－1＝.

解：去分母，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，

去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3.

解得x＝1，经检验，x＝1是原方程的增根，

∴原分式方程无解.

【方法指导】

先去分母，再解一元一次方程，注意检验.

　一元二次方程的应用

【例4】在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数，现在只花费了4 800元.

(1)求每张门票的原定票价；

(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.

解：(1)设每张门票原定的票价为x元，

由题意得：＝，解得x＝400.

经检验，x＝400是原方程的解.

答：每张门票原定的票价为400元；

(2)设平均每次降价的百分率为y.

由题意得：400(1－y)2 ＝324，

解得y1＝0.1，y2＝1.9(不合题意，舍去).

答：平均每次降价10%.

4.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m 的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出， 在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门. 所围矩形猪舍的长、 宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?

解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，

则矩形猪舍的另一边长为(26－2x)m.

依题意，得x(26－2x)＝80，

化简，得x2－13x＋40＝0，

解这个方程得x1＝5，x2＝8.当x＝5时，26－2x＝16>12(舍去)；

当x＝8时，26－2x＝10<12.

答：所建矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m.

【方法指导】

分析题意找等量关系，再解一元二次方程，注意联系实际情况舍根.

　分式方程的应用

【例5】在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍.

(1)降价后每枝玫瑰的售价是多少元？

(2)根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？

解：(1)设降价后每枝玫瑰的售价是x元，

依题意有＝×1.5，解得：x＝2.

经检验，x＝2是原方程的解.

答：降价后每枝玫瑰的售价是2元；

(2)设购进玫瑰y枝，依题意有2(500 －x)＋1. 5x≤900，解得：y≥200.

答：至少购进玫瑰200枝.

　方程组的应用

【例6】夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%.已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？

解：设这两种饮料在调价前每瓶碳酸饮料为x元，每瓶果汁饮料为y元.由题意得：解得

答：在调价前每瓶碳酸饮料为3元，每瓶果汁饮料为4元.

专题三　解方程(组)与方程思想的实际应用

一、选择题

1.已知分式的值是2，那么x的值是(　A　)

A.－3  B.3  C.－1  D.1

2.用配方法解方程x2＋x－1＝0，配方后所得方程是(　C　)

A.＝  B.＝   C.＝  D.＝

3.已知关于x，y的方程组其中－3≤a≤1.给出下列结论：

①是方程组的解；

②当a＝－2时，x，y的值互为相反数；

③当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4－a的解；

④若x≤1，则1≤y≤4.

其中正确的是(　C　)

A.①②  B.②③     C.②③④  D.①③④

4.对于非零的两个实数m，n，规定m*n＝－，若1*(x＋1)＝1，则x的值为(　D　)

A.  B.  C.  D.－

5.一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°.若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为(　D　)

A.　　B.C.　　D.

6.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为(　D　)

A.7  B.7或8    C.8或9  D.7或8或9

7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为(　B　)

A.x(x＋1)＝28  B.x(x－1)＝28

C.x(x＋1)＝28  D.x(x－1)＝28

8.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(　C　)

A.50(1＋x2)＝196

B.50＋50(1＋x2)＝196

C.50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196

D.50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196

9.在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，填在图中三格中的数字如图所示，若要能填成，则(　B　)

A.S＝24  B.S＝30    C.S＝31  D.S＝39

二、填空题

10.已知方程组则x＋y＝__3__.

11.已知m，n互为相反数，并且3m－2n＝5，则m2＋n2＝__2__.

12.分式方程＝的解是__x＝9__.

13.方程x2＝2x的解是__x1＝0，x2＝2__.

14.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是__20__g.

15.一个底面直径是10 cm、高为36 cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20 cm的“矮胖”形圆柱，高变成了__9__cm.

16.若分式方程2＋＝有增根，则k＝__1__.

17.若关于x的分式方程＋＝3的解为正实数，则实数m的取值范围是__m＜6且m≠2__.

18.规定：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整数，[x)表示最接近x的整数(x≠n＋0.5，n为整数)，例如：[2.3]＝2，(2.3)＝3，[2.3)＝2.则下列说法正确的是__②③__.(写出所有正确说法的序号)

①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝6；

②当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－7；

③方程4[x]＋3(x)＋[x)＝11的解为1＜x＜1.5；

④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋(x)＋x的图像与正比例函数y＝4x的图像有两个交点.

19.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为__20%__.

20.如图所示，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m.若矩形ABCD的面积为4 m2，则AB的长度是__1__m.(可利用的围墙长度超过6 m)

三、解答题

21.解方程：4x－3＝2(x－1).

解：去括号，得4x－3＝2x－2，

移项，得4x－2x＝3－2，

合并同类项，得2x＝1，

系数化为1，得x＝.

22.解方程：＝.

解：去分母，得2(x＋1)＝3x，

解得x＝2，

经检验，x＝2是分式方程的解，

故原方程的解为x＝2.

23.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.

(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；

(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1 000元，求商场共有几种进货方案.

解：(1)设甲种玩具的进价x元/件，则乙种玩具的进价为(40－x)元/件.

由题意，得＝，解得x＝15，

经检验，x＝15是原方程的解.

∴40－x＝25.

答：甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；

(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48－y)件.

由题意，得解得20≤y＜24.

∵y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，

∴y取20，21，22，23，

∴共有4种方案：

购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；

购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；

购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；

购进甲种玩具23件，乙种玩具25件.

24.今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元.

(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；

(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商店有不同的促销方案：

试问去哪个商店购买足球更优惠？

解：(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.

根据题意得：200×(1－x)2＝162，

解得：x＝0.1＝10%或x＝－1.9(舍去).

答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%；

(2)100×＝≈91(个)，

∴在A商店实际需要购买的足球个数为91个.

在A商店需要的费用为162×91＝14 742(元)，

在B商店需要的费用为162×100×＝14 580(元).

∵14 742＞14 580.

∴去B商店购买足球更优惠.