（通用版）中考数学二轮专题复习专题05《一次函数反比例函数与实际应用》精讲精练（教师版）

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专题五　一次函数、反比例函数与实际应用此专题内容多出在中档题中，主要有以下三种题型：(1)待定系数法求表达式；(2)应用题找等量关系建立函数模型；(3)两种函数的混搭.重难点突破　一次函数与反比例函数综合题【例1】一次函数y＝mx＋5的图像与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图像交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△OAM的面积S；(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小.解：(1)将B(4，1)代入y＝，得1＝.∴k＝4，∴y＝.将B(4，1)代入y＝mx＋5，得1＝4m＋5，∴m＝－1，∴y＝－x＋5；(2)在y＝中，令x＝1，解得y＝4，∴A(1，4)，∴S＝×1×4＝2；(3)作点A关于y轴的对称点N，则N(－1，4)，连接BN交y轴于点P，点P即为所求.设直线BN的关系式为y＝kx＋b，由解得y＝－x＋，∴P.    1.一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图像相交于A(－1，4)，B(2，n)两点，直线AB交x轴于点D.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S.解：(1)将A(－1，4)代入y＝，得4＝，∴m＝－4，∴y＝－.将x＝2代入y＝－，得y＝－2，∴B(2，－2).将A(－1，4)，B(2，－2)代入y＝kx＋b，得解得∴y＝－2x＋2；(2)∵△AED的高为4，△ACB的高为：4＋2＝6.∵ED∥BC，∴△AED∽△ACB，∴＝()2＝，∴S△AED＝××2×6＝.【方法指导】先综合考虑两者之间的联系，再利用待定系数法求一次函数及反比例函数的表达式.   　一次函数的实际应用【例2】山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A，B两种型号车的进货和销售价格如下表： A型车B型车进货价格(元)1 1001 400销售价格(元)今年的销售价格2 000　　(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x＋400)元.由题意，得＝.解得x＝1 600.经检验，x＝1 600是所列方程的根.答：今年A型车每辆售价为1 600元；(2)设车行新进A型车m辆，则B型车为(60－m)辆，获利y元.由题意，得y＝(1 600－1 100)m＋(2 000－1 400)(60－m)，即y＝－100m＋36 000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍.∴60－m≤2m.∴m≥20.∵－100＜0，y的值随m的值增大而减小.∴当m＝20时，获利最大，∴60－m＝60－20＝40(辆).即当新进A型车20辆，B型车40辆时获利最大.     2.小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16 min到家，再过5 min小东到达学校.小东始终以100 m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y(单位：m)与小东打完电话后的步行时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示，下列四种说法：(1)打电话时，小东和妈妈距离是1 400 m；(2)小东与妈妈相遇后，妈妈回家速度是50 m/min；(3)小东打完电话后，经过27 min到达学校；(4)小东家离学校的距离为2 900 m.其中正确的个数是(　D　)A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个3.3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门.设该运动员离开起点的路程s(km)与跑步时间t(min)之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km/min，用时35 min，根据图像提供的信息，解答下列问题：(1)求图中a的值；(2)组委会在距离起点2.1 km处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次过点C到第二次过点C所用的时间为68 min.①求AB所在直线的函数表达式；②该运动员跑完赛程用时多少分钟？解：(1)a＝0.3×35＝10.5；(2)①∵直线OA经过点O(0，0)，A(35，10.5)，∴直线OA的表达式为s＝0.3t(0≤t≤35)，∴当s＝2.1时，0.3t＝2.1，解得t＝7.∵该运动员从第一次过点C到第二次过点C所用时间为68 min，∴该运动员从起点到第二次过点C所用的时间是7＋68＝75(min)，∴直线AB经过(35，10.5)，(75，2.1)两点，设直线AB的表达式为s＝kt＋b，则解得∴s＝－0.21t＋17.85；②∵该运动员跑完赛程所用的时间即为直线AB与横轴交点的横坐标的值.∴当s＝0时，－0.21t＋17.85＝0，解得t＝85，∴该运动员跑完赛程用时85 min.4.某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图图像，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件.(1)第24天的日销售量是________件，日销售利润是________元；(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？解：(1)330，660；(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx.因为y＝kx的图像过点(17，340)，∴17k＝340，解得k＝20，∴线段OD所表示函数表达式为：y＝20x.根据题意，得线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y＝340－5(x－22)＝－5x＋450.∵D是线段OD与线段DE的交点，解方程组得∴D的坐标为(18，360)，∴y＝(3)当0≤x≤18时，由题意得(8－6)×20x≥640，解得x≥16；当18＜x≤30时，由题意得(8－6)×(－5x＋450)≥640，解得x≤26，∴16≤x≤26，26－16＋1＝11(天)，∴日销售利润不低于640元的共有11天.∵D的坐标为(18，360)，∴日最大销售量为360件，(8－6)×360＝720(元)，∴试销售期间，日销售最大利润为720元.【方法指导】确定一次函数表达式，建立函数模型，再解决实际问题.　反比例函数与其他函数综合应用【例3】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x h之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例).(1)根据图像分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？ 解：(1)由图像可知；当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y＝kx.由图像可知，当x＝4时，y＝8，∴4k＝8，解得k＝2.∴y＝2x(0≤x≤4).当4＜x≤10时，y与x成反比例，设y＝.由图像可知，当x＝4时，y＝8，∴m＝4×8＝32，∴y＝(4＜x≤10).∴血液中药物浓度上升阶段，y＝2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降阶段，y＝(4＜x≤10).(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升，即y≥4.∴2x≥4且≥4，解得2≤x≤8.∴持续时间为6 h.5.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5 h内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(h)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5 h后(包括1.5 h)y与x可近似地用反比例函数y＝刻画(如图).(1)根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x＝5时，y＝45，求k的值；(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由. 解：(1)①当x＝－＝1时，y＝200.∴喝酒后1 h血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；②把x＝5，y＝45代入反比例函数y＝，得k＝5×45＝225；(2)把y＝20代入反比例函数y＝，得x＝11.25.∴喝完酒经过11.25 h为第二天早上7：15.∴第二天早上7：15以后才可以驾车，7：00不能驾车去上班.【方法指导】确定反比例函数表达式，建立函数模型，再解决与其他函数有关的实际问题. 专题五　一次函数、反比例函数与实际应用一、选择题1.在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，观察图像可得(　A　)A.k＞0，b＞0  B.k＞0，b＜0  C.k＜0，b＞0  D.k＜0，b＜02.)函数y＝中自变量x的取值范围是(　A　)A.x≠2  B.x≥2    C.x≤2  D.x＞23.若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是(　B　)A.y1＜y2＜y3  B.y2＜y3＜y1   C.y3＜y2＜y1  D.y2＜y1＜y3 4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像经过点A(－1，－4)，B(2，2)两点，P为反比例函数y＝图像上的一个动点，O为坐标原点，过P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为(　A　)A.2  B.4     C.8  D.不确定5.若直线y＝kx＋k＋1经过点(m，n＋3)和(m＋1，2n－1)，且0＜k＜2，则n的值可以是(　C　)A.3  B.4  C.5  D.6 6.如图，这是王老师早晨出门散步时离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图像.若用黑点表示王老师家的位置，则王老师散步行走的路线可能是(　D　),A)　,B)　,C)　,D)7.在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y＝－x＋3，直线y＝4和直线x＝1所围成的区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为R(2，2)，则QP＋QR的最小值为(　A　)A.  B.＋2  C.3  D.48.已知某函数图像关于直线x＝1对称，其中一部分图像如图所示，点A(x1，y1)，点B(x2，y2)在函数图像上，且－1＜x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为(　C　)A.y1＞y2  B.y1＝y2    C.y1＜y2  D.无法确定9.如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2 cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止.过点P作PQ∥BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数图像如图②所示.当点P运动2.5 s时，PQ的长是(　B　)A.2 cm  B.3 cm    C.4 cm  D.5 cm10.如图，A，B两点在反比例函数y＝的图像上，C，D两点分别在反比例函数y＝的图像上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是 (　D　)A.6  B.4     C.3  D.211.如图，反比例函数y＝(x＜0)与一次函数y＝x＋4的图像交于A，B两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x的不等式＜x＋4(x＜0)的解集为(　B　)A.x＜－3  B.－3＜x＜－1   C.－1＜x＜0  D.x＜－3或－1＜x＜0二、填空题12.如果反比例函数y＝(k是常数，k≠0)的图像经过点(2，3)，那么在这个函数图像所在的每个象限内，y的值随x的值增大而__减小__.(选填“增大”或“减小”)13.在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝x－1的图像经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若x1＜x2，则y1__＜__(选填“＞”“＜”或“＝”)y2.14.如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1＝(x＞0)的图像上，顶点B在函数y2＝(x＞0)的图像上，∠ABO＝30°，则＝__－__.15.如图，点M是函数y＝x与y＝的图像在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为__4__.16.如图，已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y＝的图像上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为__7.5__.17.如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝(x＞0)的图像经过A，B两点，若点A的坐标为(n，1)，则k的值为____. 18.小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30 min，那么他离家50 min时离家的距离为__0.3__km.三、解答题19.如图，正比例函数y1＝－3x的图像与反比例函数y2＝的图像交于A、B两点.点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12.(1)求k的值；(2)根据图像，当y1＞y2时，写出x的取值范围.解：(1)过点A作AD⊥OC于点D，又∵AC ＝AO，∴CD＝DO，∴S△ADO＝S△ACO＝6，∴k＝－12；(2)由(1)得：y＝－，联立，得解得故当y1＞y2时，x的取值范围是x<－2或0<x<2.20.如图，已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的图像交于第一象限内的P(，8)，Q(4，m)两点，与x轴交于A点.(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标；(3)求∠P′AO的正弦值.解：(1)∵点P在反比例函数的图像上，∴把点P(，8)代入y＝可得：k2＝4，∴反比例函数的表达式为y＝，∴Q (4，1).把P(，8)，Q (4，1)分别代入y＝k1x＋b中，得解得∴一次函数的表达式为y＝－2x＋9；(2)点P关于原点的对称点P′的坐标为(－，－8)；(3)过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D.∵P′(－，－8)，∴OD＝，P′D＝8，∵点A在y＝－2x＋9的图像上，∴点A(，0)，即OA＝，∴DA＝5，∴P′A＝＝，∴sin∠P′AD＝＝＝，∴sin∠P′AO＝.21.A，B两地相距60 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发.图中l1、l2表示两人离A地的距离S(km)与时间t(h)的关系，结合图像回答下列问题：(1)表示乙离开A地的距离与时间关系的图像是__l2__；(选填l1或l2)甲的速度是__30__km/h；乙的速度是__20__km/h；(2)甲出发后多少时间两人恰好相距5 km?解：由图可求出y1＝－30x＋60，y2＝20x－10.由y1－y2＝5得x＝1.3 h；由y2－y1＝5得x＝1.5 h.答：甲出发后1.3 h或1.5 h时，甲、乙两人恰好相距5 km.   22.小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书.某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2分钟，校车行驶途中始终保持匀速.当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1 min到学校站点.他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图像如图所示.(1)求点A的纵坐标m的值；(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程.解：(1)∵校车的速度为：3÷4＝(km/min)，∴m＝×(8－2)＝；(2)∵m＝，∴A(8，)，B(10，).∴9÷＝12，∴C(16，9)，E(15，9)，F(9，0).设线段BC的表达式为yBC＝k1x＋b1(10≤x≤16)，∴解得∴yBC＝x－3(10≤x≤16).设线段EF的表达式为yEF＝k2x＋b2(9≤x≤15)，∴，解得∴yEF＝x－(9≤x≤15).联立得：解得14－9＝5(min)，9－＝(km).答：当小刚乘坐出租车出发后经过5 min追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为 km.