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    (通用版)中考数学二轮专题复习专题06《二次函数与综合应用》精讲精练(教师版)

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    (通用版)中考数学二轮专题复习专题06《二次函数与综合应用》精讲精练(教师版)

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    这是一份(通用版)中考数学二轮专题复习专题06《二次函数与综合应用》精讲精练(教师版),共14页。
    专题六 二次函数与综合应用此专题多以压轴题出现,特别最后一问很难,但第(1)(2)两问比较容易得分,学生应该尽力使这两问不丢分.重难点突破 二次函数的实际应用【例1】天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃,这种食品是健脑的佳品,它的成本价为20元/kg,经市场调查发现,该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系:w=ax2+bx-1 600,当销售价为22元/kg时,每天的销售利润为72元;当销售价为26元/kg时,每天的销售利润为168元.(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式;(2)当销售价定为24元/kg,该产品每天的销售利润为多少元?(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元?(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg,此店铺每天获得的最大利润为多少元?解:(1)依题意,把(22,72),(26,168)代入w=ax2+bx-160,解得该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式为w=-2x2+120x-1 600;(2)当x=24时,有w=-2×242+120×24-1 600=128.当销售价定为24元/kg时,该产品每天的销售利润为128元;(3)当w=150时,有w=-2x2+120x-1 600=150.解得x1=25,x2=35.x32,x=25.定价为25元/kg;(4)w=-2x2+120x-1 600=-2(x-30)2+200.物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg,当x29时,w随x的增大而增大,当x=29元时,利润最大,为w=-2(29-30)2+200=198(元).【方法指导】正确建立二次函数模型,利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围,求出最佳方案.1.某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完,调查发现,国内市场的日销售量y1(t)与时间t(t为整数,单位:天)的关系如图所示的抛物线的一部分,而国外市场的日销售量y2(t)与时间t(t为整数,单位:天)的关系如图所示. (1)求y1与时间t的函数关系式及自变量t的取值范围,并直接写出y2与t的函数关系式及自变量t的取值范围; (2)设国内、国外市场的日销售总量为y t,直接写出y与时间t的函数关系式,当销售第几天时,国内、外市场的日销售总量最早达到75 t? (3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大,并求出此时的最大值.解:(1)设y1=at2+bt,把点(30,0)和(20,40)代入得,解得y1=-t2+6t(0t30,t为整数).设y2=kt+b,当0t<20时,y2=2t,当20t30时,解得y2 (2)由y=y1+y2,得y=由图像可知,销售第20天,y=80,y=75时,t<20,即-t2+8t=75,t2-40t+25×15=0,解得:t1=15,t2=25>20(舍).即销售第15天时,国内、外市场的日销售总量最早达到75 t;(3)当0t<20时,y=-t2+8t=- (t-20)2+80.此时,y随t的增大而增大.t为整数, 当t=19时,y最大,为79.8 t.当20t30时,y=-t2+2t+120=-(t-5)2+125.当t>75时,y随t的增大而减小,当t=20时,y的最大,为80 t.综上所述,上市后第20天国内、国外市场日销售总量y值最大,最大值为80 t.【方法指导】先根据题意列函数关系式,建立二次函数模型,再解决实际问题. 二次函数图像综合问题【例2】如图,抛物线L:y=-(x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MPx轴,交双曲线y=(k>0,x>0)于点P,且OA·MP=12.(1)求k值;(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;(3)把L在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图像G最高点的坐标;(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4x06,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.解:(1)设点P(x,y),则MP=y,OM=x.OA=2x.OA·MP=12,M是OA的中点,2x·y=12,即xy=6;k=xy=6.(2)当t=1时,令y=0,即0=-(x-1)(x+3),解得x=1或-3.点B在点A左边,B(-3,0),A(1,0).AB=4,L的对称轴是直线x=-1,M的坐标为(,0),-(-1)=MP与L对称轴之间的距离为(3)A(t,0),B(t-4,0),L的对称轴为直线x=t-2.M当t-2,即t4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;当t>4时,L与MP的交点为最高点.联立解得即此时的最高点为(4)5t8-或7t8+.2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.(1)求A,B两点的坐标及抛物线的对称轴;(2)求直线l的函数表达式;(其中k,b用含a的式子表示)(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若ACE的面积的最大值为,求a的值;(4)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.  解:(1)当y=0时,ax2-2ax-3a=0,解得:x1=-1,x2=3,A(-1,0),B(3,0),对称轴为直线x==1;(2)直线l:y=kx+b过A(-1,0),0=-k+b,即k=b,直线l:y=kx+k.CD=4AC,点A的横坐标为-1,点D的横坐标为4,代入抛物线得y=5a,将(4,5a)代入y=kx+k得k=a,直线l的函数表达式为y=ax+a;(3)如图,过E作EFy轴交直线l于F,设E(x,ax2-2ax-3a),则F(x,ax+a),EF=ax2-2ax-3a-ax-a=ax2-3ax-4a,SACE=SAFE-SCEF(ax2-3ax-4a)(x+1)-(ax2-3ax-4a)x(ax2-3ax-4a)=a(x-)2a,∴△ACE的面积的最大值为-a.∵△ACE的面积的最大值为a=,解得a=-(4)以点A,D,P,Q为顶点的四边形能成为矩形.由(2)知,D(4,5a).抛物线的对称轴为直线x=1,设P(1,m).如图,连接AP.若AD是矩形ADPQ的一条边,由中点公式可得(xA+xP)=(xD+xQ),解得xQ=-4,将x=-4代入y=ax2-2ax-3a得y=21a,Q(-4,21a),m=21a+5a=26a,则P(1,26a).四边形ADPQ是矩形,∴∠ADP=90°AD2+PD2=AP252+(5a)2+32+(26a-5a)2=(-1-1)2+(26a)2解得a1(不合题意,舍去),a2=-.P(1,-);如图,若AD是矩形APDQ的对角线,由中点公式得(xA+xD)=(xQ+xP),解得:xQ=2,将xQ=2代入y=ax2-2ax-3a得y=-3a,Q(2,-3a),m=5a-(-3a)=8a,则P(1,8a).四边形APDQ是矩形,∴∠APD=90°AP2+PD2=AD2(-1-1)2+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+(5a)2解得a1(不合题意,舍去),a2=-.P(1,-4).综上所述,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能成为矩形,点P的坐标为或(1,-4). 专题六 二次函数与综合应用一、选择题1.抛物线y=--3的顶点坐标是( B )A.  B.   C.  D.2.将函数y=x2的图像用下列方法平移后,所得的图像不经过点A(1,4)的方法是( D )A.向左平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向上平移3个单位长度D.向下平移1个单位长度3.将二次函数y=x2的图像先向下平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到的图像与一次函数y=2x+b的图像有公共点,则实数b的取值范围是( D )A.b>8  B.b>-8     C.b8  D.b-84.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a0)的图像如图所示,下列结论错误的是( D )A.4ac<b2  B.abc<0     C.b+c>3a  D.a<b5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,则一次函数y=ax-2b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图像大致是( C ),A)  ,B),C)  ,D)6.已知二次函数y=x2-x+a(a>0),当自变量x取m时,其相应的函数值小于0,那么下列结论中正确的是( B )A.m-1的函数值小于0B.m-1的函数值大于0C.m-1的函数值等于0D.m-1的函数值与0的大小关系不确定7.小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2-4x+5的值的情况.他们作了如下分工:小明负责找值为1时x的值,小亮负责找值为0时x的值,小梅负责找最小值,小花负责找最大值.几分钟后,各自通报探究的结论,其中错误的是( C )A.小明认为只有当x=2时,x2-4x+5的值为1B.小亮认为找不到实数x,使x2-4x+5的值为0C.小梅发现x2-4x+5的值随x的变化而变化,因此认为没有最小值D.小花发现当x取大于2的实数时,x2-4x+5的值随x的增大而增大,因此认为没有最大值 8.下列关于函数y=x2-6x+10的四个命题:当x=0时,y有最小值10;n为任何实数,x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值;若n>3,且n是整数,当nxn+1时,y的整数值有(2n-4)个;若函数图像过点(a,y0)和(b,y0+1),其中a>0,b>0,则a<b.其中真命题的序号是( C )A.  B.  C.  D.二、填空题9.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B(m+6,n),则n=__9__.10.如图所示,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,且点B的坐标为(2,0).若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是__-2<k<__.11.军事演习在平坦的草原上进行,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)的关系满足y=-x2+10x,经过__50__s,炮弹落在地上爆炸.12.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是__x<-1或x>4__. 13.如图,抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0),且对称轴为直线x=1,有下列结论:abc<0;10a+3b+c>0;抛物线经过点(4,y1)与点(-3,y2),则y1>y2无论a,b,c取何值,抛物线都经过同一个点am2+bm+a0,其中所有正确的结论是__②④⑤__.14.定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1-4m,2m-1]函数的一些结论:当m=时,函数图像的顶点坐标是当m=-1时,函数在x>1时,y随x增大而减小;无论m取何值,函数图像都经过同一个点.其中所有的正确结论为__①③__.(填写正确结论序号)三、解答题15.在平面直角坐标系xOy中,规定:抛物线y=a(x-h)2+k的伴随直线为y=a(x-h)+k.例如:抛物线y=2(x+1)2-3的伴随直线为y=2(x+1)-3,即y=2x-1.(1)在上面规定下,抛物线y=(x+1)2-4的顶点坐标为__(-1,-4)__,伴随直线为__y=x-3__;抛物线y=(x+1)2-4与其伴随直线的交点坐标为__(0,-3)__和__(-1,-4)__;(2)如图,顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2-4m与其伴随直线相交于点A,B(点A在点B的左侧),与x轴交于点C,D.CAB=90°,求m的值;如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线的一个动点,PBC的面积记为S,当S取得最大值时,求m的值. 解:①∵抛物线表达式为y=m(x-1)2-4m,其伴随直线为y=m(x-1)-4m,即y=mx-5m,联立抛物线与伴随直线的表达式可得解得A(1,-4m),B(2,-3m),在y=m(x-1)2-4m中,令y=0可解得x=-1或x=3,C(-1,0),D(3,0),AC2=4+16m2,AB2=1+m2,BC2=9+9m2∵∠CAB=90°AC2+AB2=BC2,即4+16m2+1+m2=9+9m2解得m=(抛物线开口向下,舍去)或m=-CAB=90°时,m的值为-设直线BC的表达式为y=kx+b,B(2,-3m),C(-1,0),解得直线BC表达式为y=-mx-m,过P作x轴的垂线交BC于点Q,如答图,点P的横坐标为x,P[x,m(x-1)2-4m],Q(x,-mx-m),P是直线BC上方抛物线上的一个动点,PQ=m(x-1)2-4m+mx+m=m(x2-x-2)=mSPBC×[(2-(-1)]PQ=mm,当x=时,PBC的面积有最大值-m.S取得最大值时,即-m=,解得m=-2.16.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1.(1)求此抛物线的表达式以及点B的坐标;(2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M,N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t s.当t为何值时,四边形OMPN为矩形;当t>0时,BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.解:(1)抛物线y=-x2+bx+c的对称轴是直线x=1,=1,解得b=2,抛物线过A(0,3),c=3,抛物线表达式为y=-x2+2x+3,令y=0可得-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3,B点坐标为(3,0);(2)由题意可知ON=3t,OM=2t,P在抛物线上,P(2t,-4t2+4t+3),四边形OMPN为矩形,ON=PM,3t=-4t2+4t+3,解得t=1或t=-(舍去),当t的值为1时,四边形OMPN为矩形;②∵A(0,3),B(3,0),OA=OB=3,且可求得直线AB表达式为y=-x+3,当t>0时,OQOB.BOQ为等腰三角形时,有OB=QB或OQ=BQ两种情况,由题意可知OM=2t,Q(2t,-2t+3),OQ=,BQ=|2t-3|,又由题意可知0<t<1,当OB=QB时,则有|2t-3|=3,解得t=(舍去)或t=当OQ=BQ时,则有|2t-3|,解得t=.综上可知,当t的值为时,BOQ为等腰三角形.17.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y=x2+5x+90,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价p、p(万元)均与x满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用)(1)成果表明,在甲地生产并销售x吨时,p=-x+14,请用含x的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润w(万元)与x之间的函数关系式;(2)成果表明,在乙地生产并销售x吨时,p=-x+n(n为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定n的值;(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1)、(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标是]解:(1)甲地当年的年销售额为万元;w=-x2+9x-90;(2)在乙地区生产并销售时,年利润w=-x2+nx-=-x2+(n-5)x-90.=35,解得n=15或-5.经检验,n=-5不合题意,舍去,n=15;(3)在乙地区生产并销售时,年利润w=-x2+10x-90,将x=18代入上式,得w=25.2(万元);将x=18代入w=-x2+9x-90,得w=23.4(万元).w>w应选乙地.

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