（通用版）中考数学二轮专题复习专题08《三角形四边形中的相关证明及计算》精讲精练（教师版）

专题八　三角形、四边形中的相关证明及计算

1.熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理.

2.由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键.

重难点突破

　三角形的有关计算和证明

【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.

求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.

证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.

∴∠BCG＝∠CAB＝45°.

又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，

∴△ACF≌△CBG(ASA)，

∴CF＝BG，AF＝CG；

(2)延长CG交AB于点H.

∵AC＝BC，CG平分∠ACB，

∴CH⊥AB，H为AB中点.

又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.

又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.

∵E为AC中点，∴AE＝EC.

又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，

∴DE＝EG，∴DG＝2DE，

∴BG＝DG＝2DE.

由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.

1.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.

(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

(2)求证：BG2－GE2＝EA2.

解：(1)BH＝AC.

证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，

∠ABC＝45°，

∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.

又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.

∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；

(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.

∵F为BC中点，DB＝DC，

∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.

∴BG2－GE2＝EC2.

∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，

∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，

∴BG2－GE2＝EA2.

【方法指导】

熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定.

　四边形的有关计算和证明

【例2】准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积.

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.

由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，

∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，

∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.

∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，

∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，

∴四边形BFDE是平行四边形；

(2)∵四边形BFDE是菱形，

∴∠EBD＝∠FBD.

∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝×90°＝30°.

在Rt△ABE中，∵AB＝2，

∴AE＝，BE＝，

∴ED＝，∴AD＝2.

∴S菱形BFDE＝ED·AB＝×2＝.

2.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AG＝6，EG＝2，求BE的长.

解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD＝∠AFE，FD＝FE.

∵EG∥CD，

∴∠EGF＝∠AFD，

∴∠EGF＝∠AFE，

∴EG＝EF＝FD，∴EG綊FD，

∴四边形EFDG是平行四边形.

又∵FD＝FE，∴▱EFDG是菱形；

(2)连接ED交AF于点H.

∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，

FH＝GH＝GF，EH＝DH＝DE.

∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，

∴Rt△FEH∽Rt△FAE，∴＝.

即EF2＝FH·AF，

∴EG2＝AF·GF；

(3)∵AG＝6，EG＝2，EG2＝AF·GF，

∴(2)2＝(6＋GF)GF.

∵GF>0，∴GF＝4，∴AF＝10.

∵DF＝EG＝2，

∴AD＝BC＝＝4，

DE＝2EH＝2＝8.

∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，

∴∠CDE＝∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，

∴＝，即＝，∴EC＝，

∴BE＝BC－EC＝.

【方法指导】

熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查.

专题八　三角形、四边形中的相关证明及计算

一、选择题

1.如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是(　C　)

A.120°  B.90°  C.100°  D.30°

2.已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(　D　)

A.2a＋2b－2c  B.2a＋2b    C.2c  D.0

3.如图，在矩形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(　A　)

A.3 cm  B.6 cm  C.10 cm  D.12 cm

4.某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是(　C　)

A.4和7  B.5和7     C.5和8  D.4和17

5.不能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是(　C　)

A.AB∥CD，AB＝CD      B.AB＝CD，AD＝BC

C.AD＝BC，∠A＝∠C     D.AB∥CD，∠B＝∠D

6.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为(　A　)

A.60°  B.67.5°  C.75°  D.54°

7.如图，三角形被遮住的两个角不可能是(　D　)

A.一个锐角，一个钝角    B.两个锐角

C.一个锐角，一个直角    D.两个钝角

8.下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形.以下结论正确的是(　C　)

A.只有命题①正确       B.只有命题②正确

C.命题①②都正确       D.命题①②都不正确

9.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝，∠EAF＝135°，则下列结论正确的是(　C　)

A.DE＝1    B.tan∠AFO＝   C.AF＝    D.四边形AFCE的面积为

10.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与B，C重合)，CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN.

下列五个结论：

①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN≌△OAD；④AN2＋CM2＝MN2；

⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是.

其中正确结论的个数是(　D　)

A.2  B.3  C.4  D.5

二、填空题

11.如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：__AB＝DE(答案不唯一)__，使得△ABC≌△DEC.

12.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为__10__cm.

13.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是__100°__.

14.在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝__8或3__.

15.四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为__4或2__.

16.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为__6__.

17.如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形)，请你写出所有可能的直角三角形斜边的长__2，4，，__.

18.如图，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC与△A′B′C′，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A′B′C′的斜边A′B′上，当∠A＝30°，AC＝10时，则此时两直角顶点C，C′间的距离是__5__.

19.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是____.

20.如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为__4__600__m.

三、解答题

21.(2017南充中考)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.

证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，

∴∠DEB＝∠AFC＝90°.

∵AE＝BF，∴AF＝BE.

在△DEB和△CFA中.

∵DE＝CF，∠DEB＝∠AFC，AF＝BE，

∴△DEB≌△CFA，

∴∠A＝∠B，∴AC∥DB.

22.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF＝BE.

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.

∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.

∵∠ABF＋∠CBG＝90°.

∴∠BCE＝∠ABF.

在△BCE和△ABF中，

∵∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，

∴△BCE≌△ABF(ASA)，

∴BE＝AF.

23.问题背景

如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形.

类比研究

如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合).

(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；

(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；

(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系.

解： (1)△ABD≌△BCE≌△CAF；

选证△ABD≌△BCE，理由如下：

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，

∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3，

∴∠ABD＝∠BCE，

在△ABD和△BCE中，

∴△ABD≌△BCE(ASA)；

(2)△DEF是正三角形；理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，

∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，

∴△DEF是正三角形；

(3)作AG⊥BD于G，如图所示.

∵△DEF是正三角形，

∴∠ADG＝60°，

在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，

在Rt△ABG中，c2＝＋，

∴c2＝a2＋ab＋b2.

24.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.

(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.

①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长.

②若AC⊥BD，求证：AD＝CD；

(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长.

解：(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，

∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，

∴BD＝AC＝＝；

②如答图①，连接AC，BD.

∵AB＝BC，AC⊥BD，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD；

(2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，

∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件.

若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如答图②，

此时四边形ABFE是等腰直角四边形，

∴AE＝AB＝5；

②当BF＝AB时，如答图③，

此时四边形ABFE是等腰直角四边形，

∴BF＝AB＝5.

∵DE∥BF，∴△PED∽△PFB，

∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，∴DE＝2.5，

∴AE＝9－2.5＝6.5.

综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5.