（通用版）中考数学二轮专题复习专题10《解直角三角形或相似的计算与实践》精讲精练（教师版）

专题十　解直角三角形或相似的计算与实践

首先夯实基础，其次加强与其他知识的综合应用，今年中考单独考查相似或三角函数的时候很少，多数把它俩作为解题工具，因此要加强综合训练.

重难点突破

　锐角三角函数的实际应用

【例1】在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度.如图，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5 m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)

(1)求A，C的距离；(结果保留根号)

(2)求塔高AE.(结果保留整数)

解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝4 m.

∵tan∠ACB＝，

∴AC＝＝＝4(m).

答：A，C的距离为4 m.

(2)在Rt△ADE中，∠ADE＝50°，

AD＝(5＋4)m.

∵tan∠ADE＝，

∴AE＝AD·tan∠ADE＝(5＋4)×tan50°≈14(m).

答：塔高AE约为14 m.

1.如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20 m到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12 m，求旗杆AB的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73，≈1.41)

解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，

∴BE＝DE＝20.

在Rt△BEC中，

BC＝BE·sin60°＝20×＝10(m)，

∴AB＝BC－AC＝10－12≈5.3(m).

答：旗杆AB的高度是5.3 m.

【方法指导】

解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系.

　相似的综合

【例2】如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.

(1)求证：△DAE≌△DCF；

(2)求证：△ABG∽△CFG.

证明：(1)∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，

∴∠ADC＝∠EDF＝90°，

AD＝CD，DE＝DF，

∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF；

(2)延长BA，交ED于点M.

∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，

即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.

∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF.

∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF.

∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.

2.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，交AC于F.

(1)如图①，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；

(2)如图②，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.

解：(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中，

∵∴△ABE≌△DBE(HL)；

(2)①过G作GH∥AD交BC于H.

∵G是AB中点且GH∥AD，∴H是BD中点，∴BH＝DH.

∵BD＝4DC，设DC＝1，BD＝4，∴BH＝DH＝2；

∵GH∥AD，∴＝＝，∴GM＝2MC；

②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG.

∴△AGM∽△NCM，∴＝.

由①知GM＝2MC，∴2NC＝AG.

∵∠BAC＝∠AEB＝90°，

∴∠ABF＝∠CAN＝90°－∠BAE，

∴△ACN∽△BAF，∴＝.

∵AB＝2AG，∴＝，

∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC.

【方法指导】

首先掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形”.

专题十　解直角三角形或相似的计算与实践

一、选择题

1.若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　A　)

A.3∶2  B.3∶5    C.9∶4  D.4∶9

2.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5 m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15 m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3 m，小明身高EF＝1.6 m，则凉亭的高度AB约为(　A　)

A.8.5 m  B.9 m  C.9.5 m  D.10 m

3.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(　A　)

A.2＋  B.2    C.3＋  D.3

4.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则可求得井深为(　B　)

A.1.25尺  B.57.5尺    C.6.25尺  D.56.5尺

5.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费(　C　)

A.540元  B.1 080元   C.1 620元  D.1 800元

6.如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为(　A　)

A.2∶3  B.3∶2   C.4∶5  D.4∶9

7.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于(　A　)

A.1  B.  C.  D.2

8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为(　B　)

A.60海里  B.60海里  C.30海里  D.30海里

9.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C，D重合)，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为(　B　)

A.　　 B.     C.   D.随H点位置的变化而变化

二、填空题

10.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500 m则这名滑雪运动员的高度下降了__280__m.(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)

11.如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点.若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝__3__.

12.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝__17__.

13.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__3__.

14.如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为____.

三、解答题

15.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B，C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100 m.求河的宽度.(结果保留根号)

解：过点A作AD⊥BC于点D，

∵∠β＝45°，∠ADC＝90°，

∴AD＝DC.

设AD＝DC＝x m，

则tan30°＝＝，解得x＝50(＋1).

答：河的宽度为50(＋1)m.

16.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交DC于G.

(1)求证：BG＝DE；

(2)若点G为CD的中点，求的值.

解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°.

∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，

∴∠CBG＝∠CDE.

在△BCG与△DCE中，

∴△BCG≌△DCE(ASA)，

∴BG＝DE；

(2)设CG＝1，∵G为CD的中点，

∴GD＝CG＝1.

由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，

∴CG＝CE＝1，

∴由勾股定理可知：DE＝BG＝.

∵sin∠CDE＝＝，

∴GF＝.

∵AB∥CG，

∴△ABH∽△CGH，

∴＝＝，

∴BH＝，GH＝，

∴＝.

17.【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________.

【拓展应用】

如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________.(用含a，h的代数式表示)

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50 cm，BC＝108 cm，CD＝60 cm，且tanB＝tanC＝，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积.

解：【探索发现】；

【拓展应用】；

【灵活应用】

如答图①，延长BA，DE交于点F，延长BC，ED交于点G，延长AE，CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K.

答图①

由题意知四边形ABCH是矩形，

∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，

∴EH＝20，DH＝16，

∴AE＝EH，CD＝DH.

在△AEF和△HED中，

∵

∴△AEF≌△HED(ASA)，

∴AF＝DH＝16.

同理△CDG≌△HDE，

∴CG＝HE＝20，

∴BI＝＝24.

∵BI＝24＜32，

∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上.

过点K作KL⊥BC于点L.

由【探索发现】知矩形的最大面积为S△FBG＝××BG·BF＝×(40＋20)×(32＋16)＝720.

答：该矩形的面积为720.

【实际应用】

如答图②，延长BA，CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H.

答图②

∵tanB＝tanC＝，

∴∠B＝∠C，

∴EB＝EC.

∵BC＝108 cm，且EH⊥BC，

∴BH＝CH＝BC＝54 cm.

∵tanB＝＝，

∴EH＝BH＝×54＝72 cm，

在Rt△BHE中，BE＝＝90 cm，

∵AB＝50 cm，

∴AE＝40 cm，

∴＝＝45 cm，

∴BE的中点Q在线段AB上.

∵CD＝60 cm，

∴ED＝30 cm，

∴CE的中点P在线段CD上，

∴中位线PQ的两端点在线段AB，CD上，

由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC·EH＝×108×72＝1 944 cm2.