初中第1章 直角三角形综合与测试综合训练题

第1章达标测试卷

一、选择题(每题3分，共24分)

1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是(　　)

   A．35°     B．55°     C．60°     D．70°

2．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是(　　)

   A．HL     B．ASA     C．AAS     D．SAS

3．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度是(　　)

   A．10 m     B．15 m     C．5 m     D．20 m

4．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝36°，则∠DCB的度数为(　　)

   A．54°     B．64°     C．72°     D．75°

5．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　)

   A．1     B．2     C．     D．4

6．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是(　　)

   A．2，3，4         B．，2， 

   C．，2 ，       D．3，5，8

7．如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB＝6，则EC的长为(　　)

   A．3     B．4.5     C．1.5     D．7.5

8．如图，在长、宽、高分别为12 cm，4 cm，3 cm的木箱中，放一根不能弯曲的细木棒，能放进去的木棒的最大长度为(　　)

   A．13 cm     B．12 cm     C．5 cm     D．cm

二、填空题(每题4分，共32分)

9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D是AB的中点，则CD＝________．

10．已知a，b，c是△ABC的三边长且c＝5，a，b满足关系式＋(b－3)2＝0，则△ABC的最大内角为________．

11．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，AB＝12 cm，则BD＝________cm.

12．如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D，若要判定Rt△ABC≌Rt△DCB，还需添加的一个条件是__________________(只填一个)．

13．如图，在△ABC中，AB＝4 cm，BC＝AC＝5 cm，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，点D到AC的距离是1 cm，则△ABC的面积是________cm2.

14．如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东15°方向航行，另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东75°方向航行，离开港口2小时后，两船相距________海里．

15．若等腰三角形的底角为30°，腰长为2，则腰上的高为________．

16．如图，AB＝6，点O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，点P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝____________．

三、解答题(17题8分，其余每题9分，共44分)

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6 cm，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，求BC，CD和AC的长．

18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2 cm，分别以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别相交于E，F两点，直线EF交BC于点D，连接AD，求BD的长．

19．如图，在△ABC中，BD＝2AC，CD⊥BC，E是BD的中点，求证：∠A＝2∠B.

20．如图，在△ABC中，已知AB＝10，BC＝8，AC＝6，CD是△ABC的中线，CE⊥AB.

(1)求CD的长；

(2)求DE的长．

21．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB＝250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN＝120 m，供水点M到喷泉B的距离BM＝150 m.

(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；

(2)求出喷泉B到小路AC的最短距离．

答案

一、1.D　2.A

3．B　点拨：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CB＝5 m，∠A＝30°，

∴AC＝10 m，∴这棵树在折断前的高度为10＋5＝15(m)．

4．A　5.B　6.B

7．C　点拨：∵△ABC是等边三角形，

∴∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝6.

∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴CD＝AC＝3.

∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，

∴EC＝CD＝1.5.

8．A

二、9.6　10.90°　11.3　12.AB＝DC(答案不唯一)

13．7　点拨：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，连接AD，则DH＝1 cm，根据角平分线的性质得DF＝DH＝DE＝1 cm，然后根据三角形面积公式，利用S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＋S△ACD进行计算．

14．40　15.

16．3或3 或3 　

点拨：当∠APB＝90°时，分两种情况讨论，

情况一：如图①，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝BO.∵∠1＝120°，∴∠PBA＝∠OPB＝×(180°－120°)＝30°，∴AP＝AB＝3；情况二：如图②，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝BO.∵∠1＝120°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP＝60°，∴∠A＝30°，∴BP＝AB＝3，∴由勾股定理得AP＝＝3 ；当∠BAP＝90°时，如图③，∵∠1＝120°，∴∠AOP＝60°，∴∠APO＝30°.易知AO＝3，∴OP＝2AO＝6，∴由勾股定理得AP＝＝3 ；当∠ABP＝90°时，如图④，∵∠1＝120°，∴∠BOP＝60°.∴∠BPO＝30°.易知OB＝3，∴OP＝2OB＝6，∴由勾股定理得PB＝＝3 ，∴PA＝＝3 .综上所述，当△APB为直角三角形时，AP＝3或3 或3 .

三、17.解：在Rt△ABC中，

∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝3 cm.

∴AC＝＝＝3 (cm)．

∵D为AB的中点，∴DC＝AB＝3 cm.

18．解：由题意可知，EF为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，

∴∠DAB＝∠B＝15°，

∴∠ADC＝∠DAB＋∠B＝30°，

在Rt△ACD中，AC＝2 cm，

∴BD＝AD＝2AC＝4 cm.

19．证明：∵CD⊥BC，E是BD的中点，

∴CE＝BE＝BD，∴∠B＝∠BCE.

∵∠CED＝∠B＋∠BCE，∴∠CED＝2∠B.

∵BD＝2AC，

∴AC＝BD，

∴AC＝CE，∴∠CED＝∠A，

∴∠A＝2∠B.

20．解：(1)由BC＝8，AC＝6得BC2＋AC2＝82＋62＝100；

由AB＝10得AB2＝102＝100，

∴AB2＝BC2＋AC2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.

又∵CD是△ABC的中线，

∴CD＝AB＝5.

(2)由(1)知△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，

又CE⊥AB，

∴S△ABC＝BC·AC＝AB·CE，

∴×8×6＝×10×CE，解得CE＝4.8.

易知△CDE为直角三角形，

∴由勾股定理得DE2＝CD2－CE2＝52－4.82＝1.96，

∴DE＝1.4.

21．解：(1)在Rt△MNB中，BN＝＝＝90(m)，

∴AN＝AB－BN＝250－90＝160(m)，

在Rt△AMN中，AM＝＝＝200(m)，

∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为200＋150＝350(m)．

(2)∵AB＝250 m，AM＝200 m，BM＝150 m，

∴AB2＝BM2＋AM2，

∴△ABM是直角三角形，

∴BM⊥AC，

∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150 m.