2021年福建省厦门市中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年福建省厦门市中考数学二模试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年福建省厦门市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1．实数的相反数是2，则等于　　
A． B． C． D．
2．下列立体图形中，俯视图是正方形的是　　
A． B． C． D．
3．流感病毒的直径大约为0.0000009米，它的直径用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的是　　
A．为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C．抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是
D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件
6．如图，数轴上、两点所表示的数分别是和2，点是线段的中点，则点所表示的数是　　

A． B． C． D．
7．如图，正方形与正方形是位似图形，为位似中心，两个正方形的面积之比为，点的坐标为，则点的坐标为　　

A．， B．， C．， D．
8．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
9．如图，为直径，，、为圆上两个动点，为中点，于，当、在圆上运动时保持，则的长　　

A．随、的运动位置而变化，且最大值为4
B．随、的运动位置而变化，且最小值为2
C．随、的运动位置长度保持不变，等于2
D．随、的运动位置而变化，没有最值
10．平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，，，，如果，那么和的关系是　　
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．计算：　　．
12．某十字路口的交通信号灯，红灯亮50秒，绿灯亮40秒，黄灯亮10秒．当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为 　　．
13．一副三角板如图方式摆放，点在直线上，且，则　　度．

14．如图，在正方形的网格中建立平面直角坐标系，若、两点的坐标分别是，，则点的坐标为　　．

15．如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则下列四个结论中正确的是 　　．
①的长为；②；③为等边三角形；④．

16．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点，点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为　　．

三、解答题（本大题有9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．）
17．（8分）解不等式组并写出它的整数解．
18．（8分）如图，、分别为正方形的边、中点．求证：．

19．（8分）先化简，再求值，其中．
20．（8分）已知：．
（1）求作：菱形，使菱形的顶点落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的前提下，若，，，求菱形的周长．

21．（8分）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，连接，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

22．（10分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元公里；②时间计费：0.1元分．已知陈先生的家离上班公司20公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为（分，现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如表所示：
时间（分




次数
10
28
8
4
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为．
（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率；
（2）若公司每月发放1000元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按22天计算），并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）
23．（10分）市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示，已知这100天中该市前天每天接种人数是天后每天接种人数的2倍．
（1）求的值；
（2）这100天中，市的接种人数（万人）与接种天数（天的关系为，求第几天接种完成后，，两市接种人数恰好相同？

24．（12分）如图，、均为等边三角形，，．将绕点沿顺时针方向旋转，连接、．
（1）在图①中证明；
（2）如图②，当时，连接，求的面积；
（3）在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围．

25．已知抛物线与轴只有一个公共点且经过点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线与抛物线相交于，两点点在点的左侧），与对称轴相交于点，且，分布在对称轴的两侧．若点到抛物线对称轴的距离为，且．
①试探求与的数量关系；
②求线段的最大值，以及当取得最大值时对应的值．

2021年福建省厦门市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1．实数的相反数是2，则等于　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：实数的相反数是2，则．
故选：．
2．下列立体图形中，俯视图是正方形的是　　
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误；
、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故此选项错误；
故选：．
3．流感病毒的直径大约为0.0000009米，它的直径用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故选：．
4．下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方进行计算，再判断即可．
【解答】解：．，故本选项符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
故选：．
5．下列说法中，正确的是　　
A．为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C．抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是
D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件
【分析】根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，再根据随机事件定义和概率公式分别分析即可．
【解答】解：、为检测我市正在销售的酸奶质量，此调查具有破坏性，应该采用抽查的方式，此选项错误；
、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，此选项错误；
、抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是，此选项正确；
、“打开电视，正在播放广告”是随机事件，此选项错误；
故选：．
6．如图，数轴上、两点所表示的数分别是和2，点是线段的中点，则点所表示的数是　　

A． B． C． D．
【分析】根据、两点所表示的数分别为和2，利用中点公式求出线段的中点所表示的数即可．
【解答】解：数轴上，两点所表示的数分别是和2，
线段的中点所表示的数．
即点所表示的数是．
故选：．
7．如图，正方形与正方形是位似图形，为位似中心，两个正方形的面积之比为，点的坐标为，则点的坐标为　　

A．， B．， C．， D．
【分析】根据相似多边形的性质得到两个正方形的相似比为，根据正方形的性质求出点的坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：正方形与正方形是位似图形，
正方形正方形，
两个正方形的面积之比为，
两个正方形的相似比为，
点的坐标为，四边形为正方形，
点的坐标为，
正方形与正方形是位似图形，为位似中心，
点的坐标为，，
故选：．
8．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意可得：
，
故选：．
9．如图，为直径，，、为圆上两个动点，为中点，于，当、在圆上运动时保持，则的长　　

A．随、的运动位置而变化，且最大值为4
B．随、的运动位置而变化，且最小值为2
C．随、的运动位置长度保持不变，等于2
D．随、的运动位置而变化，没有最值
【分析】连接、、，由垂径定理可知，，然后由，可证明、、、四点共圆，从而可得到，于是可证明为等边三角形，从而得到．
【解答】解；连接：、、．

是的中点，
，．
又，
．
、、、四点共圆．
．
．
又，
为等边三角形．
．
故选：．
10．平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，，，，如果，那么和的关系是　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意设在抛物线上的两点和，纵坐标相同，则关于对称轴对称，即可求得，则，代入解析式，即可求得．
【解答】解：，
对称轴为直线，
如图，在抛物线上的两点和，关于直线对称，则点在反直线上，
，
，
，
，
，
，
故选：．

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．计算：　3　．
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂即可得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：3．
12．某十字路口的交通信号灯，红灯亮50秒，绿灯亮40秒，黄灯亮10秒．当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为 　　．
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：某十字路口的交通信号灯，红灯亮50秒，绿灯亮40秒，黄灯亮10秒，
当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为，
故答案为：．
13．一副三角板如图方式摆放，点在直线上，且，则　75　度．

【分析】直接利用平行线的性质结合三角板的性质分析得出答案．
【解答】解：由三角板的特点得出，
，
．
故答案为：75．
14．如图，在正方形的网格中建立平面直角坐标系，若、两点的坐标分别是，，则点的坐标为　　．

【分析】根据、点坐标即可建立平面直角坐标．
【解答】解：由，可知原点的位置，
建立平面直角坐标系，如图，

．
故答案为．
15．如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则下列四个结论中正确的是 　①，②，④　．
①的长为；②；③为等边三角形；④．

【分析】先求出正八边形的中心角，得到，即可求出弧的长①正确错误；由勾股定理求得可得②正确；由，可得③错误；由于，可得，于是得到④正确．
【解答】解：，
，
弧的长为，
①正确；
，，
，
，
即，
②正确；
，
③错误；
，
，
，
，
④正确；
故答案为：①②④．
16．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点，点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为　，　．

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质得出点坐标，再利用平行四边形的性质假设出点坐标，进而表示出点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案．
【解答】解：反比例函数过点，
，
反比例函数解析式为：，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
，
点在直线上，
设点坐标为：，
点，，
点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到点，
四边形是平行四边形，
点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到点，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：（负数不合题意），
故点坐标为：，．
三、解答题（本大题有9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．）
17．（8分）解不等式组并写出它的整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
则整数解为，0，1．
18．（8分）如图，、分别为正方形的边、中点．求证：．

【分析】证明、所在的和全等即可．
【解答】证明：正方形，
，，
、分别为边、中点，
，，
，
在和中，
，
，
．
19．（8分）先化简，再求值，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
【解答】解：原式

，
当时，
原式．
20．（8分）已知：．
（1）求作：菱形，使菱形的顶点落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的前提下，若，，，求菱形的周长．

【分析】（1）作的垂直平分线交于，然后以点为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于，则四边形满足条件；
（2）根据菱形的性质得到，设，则，利用勾股定理得到，解方程得到菱形的边长，从而得到菱形的周长．
【解答】解：（1）如图，菱形即为所求作；

（2）由（1）得四边形是菱形，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
，
解得，
，
菱形的周长是20．
21．（8分）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，连接，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由“”可证，可得，由切线的判定可得结论；
（2）由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：过点作于点，

则，
与边相切于点，
，即，
平分，
，
，，，
，
，
是半径，
是半径，
又，
是的切线；
（2）解：在中，，
，
设，，
，
，
解得，（舍去），
，，
由（1）得，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
，
解得．
所以的半径为．
22．（10分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元公里；②时间计费：0.1元分．已知陈先生的家离上班公司20公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为（分，现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如表所示：
时间（分




次数
10
28
8
4
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为．
（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率；
（2）若公司每月发放1000元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按22天计算），并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率；
（2）根据表格中的数据，可以计算出陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车的费用，然后与1000比较大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
即陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率是0.8；
（2）公司每月发放1000元的交通补助费用，不够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车，
理由：由题意可得，
陈先生一个月的租车费用为：（元，
，
公司每月发放1000元的交通补助费用，不够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车．
23．（10分）市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示，已知这100天中该市前天每天接种人数是天后每天接种人数的2倍．
（1）求的值；
（2）这100天中，市的接种人数（万人）与接种天数（天的关系为，求第几天接种完成后，，两市接种人数恰好相同？

【分析】（1）根据“这100天中该市前天每天接种人数是天后每天接种人数的2倍“列出关于的分式方程，解方程并检验即可；
（2）由待定系数法求得当时和时市接种人数的函数关系式，结合可得关于的一元二次方程，解方程并根据的取值范围作出取舍即可．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得，
经检验是原方程的根且符合题意，
的值为40；
（2）设市接种人数与时间的函数关系式为，
①当时，代入，得：，
解得：，
，
当，两市接种人数恰好相同时，，
解得（舍去），（舍去），
前40天不会出现，两市接种人数恰好相同的情况；
②当时，代入，代入，
得：，
解得：，
，
当，两市接种人数恰好相同时，，
解得：（舍去），，
答：第52天接种完成后，，两市接种人数恰好相同．
24．（12分）如图，、均为等边三角形，，．将绕点沿顺时针方向旋转，连接、．
（1）在图①中证明；
（2）如图②，当时，连接，求的面积；
（3）在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围．

【分析】（1）先判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，进而得出，再用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）过作于，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，如图⑤，当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大，如图⑥，当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
；

解：（2）如图②，
连接，同（1）的方法得，，
，
，
，
过点作于，过点作，交的延长线于，则，
在等边中，，
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，，
，
，
；

（3）过作于，
是等边三角形，
，
，
如图③，
当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大，
，
如图④，
当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小，
，
综上所述，的面积的取值范围为．



25．已知抛物线与轴只有一个公共点且经过点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线与抛物线相交于，两点点在点的左侧），与对称轴相交于点，且，分布在对称轴的两侧．若点到抛物线对称轴的距离为，且．
①试探求与的数量关系；
②求线段的最大值，以及当取得最大值时对应的值．
【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为，将点代入，解得的值，则可得抛物线的函数解析式；
（2）①设直线与轴交于点，与轴交于点，过点，分别作轴，轴的垂线，交于点，设与抛物线的对称轴交于点，根据题意画出图形，在中，由，可得；由，，可得比例式，将和用和表示出来，再结合点，在抛物线上及在中，，可求得答案；②在中，利用三角函数将用表示出来，再根据随的变化规律可得答案．
【解答】解：（1）抛物线与轴只有一个公共点，
为抛物线顶点，
设抛物线的解析式为，将点代入得，
抛物线的函数解析式为；
（2）①设直线与轴交于点，与轴交于点，过点，分别作轴，轴的垂线，交于点，设与抛物线的对称轴交于点，如图：

令，解得，
，
直线与轴交于点，
，
，
在中，，
，
点到抛物线对称轴的距离为，
，
，，
，
，，
，．
点，在抛物线上，
，，
，
，
，
则在中，，
，
化简得；
②，且，
，
在中，



，
令，由于，
，
，
当时，随的增大而减小，
当，即时，取得最大值，此时，
当时，，则，，
将点坐标代入，得．
线段的最大值为6，此时对应的值为．