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2021年湖南省岳阳市平江县七年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份2021年湖南省岳阳市平江县七年级下学期期末数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省岳阳市平江县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（3a）2＝6a2
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．ab+bc+b＝b（a+c） B．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
C．（a﹣1）2+（a﹣1）＝a2﹣a D．a（a﹣1）＝a2﹣a
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有无数条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．相等的角是对顶角
D．平行于同一条直线的两条直线平行
5．如图，直线DE与BC相交于点O，∠1与∠2互余，∠COE＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．36° B．54° C．60° D．64°
6．为研究甲、乙、丙、丁四种杂交水稻的长势，某研究所分别从四亩试验田中抽取20株测其高度进行统计分析，结果如下：S甲2＝0.9米2、S乙2＝1.5米2，S丙2＝2.3米2，S丁2＝3.2米2，则四种杂交水稻中长势比较整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？其意思为：现有七捆上等稻子和两捆下等稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子．问一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？设一捆上等稻子和一捆下等稻子分别打成谷子x斗，y斗，则可建立方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1＝1，a2＝2．a3＝3，a4＝3，a5＝6，a6＝4，a7＝10，a8＝5…，则a99+a100的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）因式分解：x2﹣3x＝ ．
10．（4分）已知是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，那么k的值是 ．
11．（4分）如图，若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是 ．
12．（4分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，若∠BAC＝50°，则∠B′AC的度数是 ．
14．（4分）如图，若∠1＝∠D，∠C＝76°，则∠B＝ ．
15．（4分）对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝ ．
16．（4分）如图：已知点C、D是直线AB上两点，点E，F为平面内两点，且∠ACE+∠FDB＝180°，CF平分∠ECB，EH⊥AB于点H交CF于点O．则下列结论正确的是： ．
①EF∥AB；②CE∥DF；③∠FDB＝2∠CFD；④∠FOE＝∠CDF．
三、填空题（本大题8小题，满分共64分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程组：．
18．（6分）因式分解：
（1）3x2﹣3y2；
（2）ab2﹣4ab+4a．
19．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣1，y＝1．
20．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和直线l．
（1）将△ABC先向上平移5个单位长度，再向右平移7个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
（2）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A2B2C2．
21．（8分）如图，已知：∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A，求证：∠B＝∠C．
22．（8分）为了呼吁社会各界积极参与“守护一江碧水”行动，我县某校团支部组织优秀团员开展“志愿护河行动”，在防洪堤河岸进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多6个，每人发3个垃圾袋则少6个，问；有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
23．（10分）某中学为选拔一名选手参加我县“我心中的绿色家园”主题演讲比赛，经研究，按表所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评．下表是小明、小华在选拔赛中的得分情况：
项目
选手
服装
普通话
主题
演讲技巧
小明
85
70
80
85
小华
90
75
75
80
结合以上信息，回答下列问题：
（1）小华在选拔赛中四个项目所得分数的众数是 ，中位数是 ；
（2）若评总分时，按服装占5%，普通话占15%，主题占40%，演讲技巧占40%考评，你认为小明和小华谁更优秀？
24．（10分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，A、B两点分别在l1和l2上，直线l3上有一动点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，若∠PAC＝32°，∠PBD＝43°，则∠APB的度数是 ；
（2）若点P在DC的延长线上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么数量关系，证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，∠PAC和∠PBD的角平分线相交于点Q，且∠QAC+∠AQB＝∠1，探索∠APB和∠AQB的关系，并证明．
2020-2021学年湖南省岳阳市平江县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（3a）2＝6a2
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，积的乘方法则进行计算，然后作出判断．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意；
B、a3与a2不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C、（a3）2＝a6，正确，故此选项符合题意；
D、（3a）2＝9a2，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．ab+bc+b＝b（a+c） B．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
C．（a﹣1）2+（a﹣1）＝a2﹣a D．a（a﹣1）＝a2﹣a
【分析】利用提公因式法，公式法逐项进行因式分解即可．
【解答】解：A．ab+bc+b＝b（a+c+1），因此选项A不符合题意；
B．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3），因此选项B符合题意；
C．（a﹣1）2+（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1+1）＝a（a﹣1），因此选项C不符合题意；
D．a（a﹣1）＝a2﹣a，不是因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：B．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有无数条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．相等的角是对顶角
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据平行公理，对顶角的定义以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、正确的说法是两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项错误；
C、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
D、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，故该选项正确．
故选：D．
5．如图，直线DE与BC相交于点O，∠1与∠2互余，∠COE＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．36° B．54° C．60° D．64°
【分析】直接利用互余的定义以及结合对顶角的性质得出∠COE＝∠1，进而得出∠2的答案．
【解答】解：∵∠COE＝36°，
∴∠EOC＝∠1＝36°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣36°＝54°．
故选：B．
6．为研究甲、乙、丙、丁四种杂交水稻的长势，某研究所分别从四亩试验田中抽取20株测其高度进行统计分析，结果如下：S甲2＝0.9米2、S乙2＝1.5米2，S丙2＝2.3米2，S丁2＝3.2米2，则四种杂交水稻中长势比较整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义判断．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵S甲2＝0.9米2、S乙2＝1.5米2，S丙2＝2.3米2，S丁2＝3.2米2，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴四种杂交水稻中长势比较整齐的是甲．
故选：A．
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？其意思为：现有七捆上等稻子和两捆下等稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子．问一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？设一捆上等稻子和一捆下等稻子分别打成谷子x斗，y斗，则可建立方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“七捆上等稻子和两捆下等稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：C．
8．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1＝1，a2＝2．a3＝3，a4＝3，a5＝6，a6＝4，a7＝10，a8＝5…，则a99+a100的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
【分析】根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出a99+a100的值．
【解答】解：由图可得，
第偶数项对应的数是一些连续的自然数，从2开始，
第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从1开始，
∴a99+a100
＝（1+2+3+…+50）+[（100÷2）+1]
＝+（50+1）
＝1275+51
＝1326，
故选：B．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）因式分解：x2﹣3x＝ x（x﹣3） ．
【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可．
【解答】解：x2﹣3x＝x（x﹣3）．
故答案为：x（x﹣3）
10．（4分）已知是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，那么k的值是 1 ．
【分析】将代入二元一次方程x+ky＝﹣1即可求k．
【解答】解：∵是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，
∴2﹣3k＝﹣1，
解得k＝1，
故答案为1．
11．（4分）如图，若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质即可得到结论．
【解答】解：若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
12．（4分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ 7 ．
【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．
故答案为：7
13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，若∠BAC＝50°，则∠B′AC的度数是 25° ．
【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角解答即可．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝75°，
又∵∠BAC＝50°，
∴∠CAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝25°．
故答案是：25°．
14．（4分）如图，若∠1＝∠D，∠C＝76°，则∠B＝ 104° ．
【分析】根据内错角相等（∠1＝∠D）推出AB∥CD，从而推出∠C+∠B＝180°，将∠C＝76°代入求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
又∠C＝76°，
∴∠B＝104°．
故答案为：104°．
15．（4分）对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝ 18 ．
【分析】直接利用新定义得出一元一次方程，进而解方程得出答案．
【解答】解：由题意可得：7（x﹣2）﹣6x＝4，
解得：x＝18．
故答案为：18．
16．（4分）如图：已知点C、D是直线AB上两点，点E，F为平面内两点，且∠ACE+∠FDB＝180°，CF平分∠ECB，EH⊥AB于点H交CF于点O．则下列结论正确的是： ②③④ ．
①EF∥AB；②CE∥DF；③∠FDB＝2∠CFD；④∠FOE＝∠CDF．
【分析】根据题意易推出∠ACE＝∠ADF，从而根据平行线的判定推出CE∥DF；
根据角平分线的性质和平行线的性质推出∠DFC＝∠BCF，从而由三角形的外角定理即可得到∠FDB＝2∠CFD；
根据直角三角形的性质推出∠FOE＝90°﹣∠OCH，由三角形的内角和可推出∠CDF＝180°﹣2∠DCF，从而得到∠FOE＝∠CDF．
【解答】解：∵∠ACE+∠FDB＝180°，
又∠ADF+∠FDB＝180°，
∴∠ACE＝∠ADF，
∴CE∥DF，
故②符合题意，①不符合题意；
∵CE∥DF，CF平分∠ECB，
∴∠ECF＝DFC，∠ECF＝∠BCF，
∴∠DFC＝∠BCF，
∴∠FDB＝∠DFC+∠BCF＝2∠CFD，
故③符合题意；
∵EH⊥AB，
∴∠OCH+∠COH＝90°，
∴∠FOE＝∠COH＝90°﹣∠OCH，
又∠CDF＝180°﹣（∠DFC+∠DCF）＝180°﹣2∠DCF，
∴∠FOE＝∠CDF，
故④符合题意．
故答案为：②③④．
三、填空题（本大题8小题，满分共64分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程组：．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
②﹣①得，y＝2，
将y＝2代入①得，x＝﹣1，
∴方程组的解为．
18．（6分）因式分解：
（1）3x2﹣3y2；
（2）ab2﹣4ab+4a．
【分析】（1）先提公因式3，再用平方差公式分解因式；
（2）先提公因式a，再用完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）
＝3（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝a（b2﹣4b+4）
＝a（b﹣2）2．
19．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣1，y＝1．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2
＝4xy+2y2，
当x＝﹣1，y＝1时，
原式＝4×（﹣1）×1+2×12
＝﹣4+2
＝﹣2．
20．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和直线l．
（1）将△ABC先向上平移5个单位长度，再向右平移7个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
（2）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出△A1B1C1；
（2）根据轴对称的旋转即可画出△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
21．（8分）如图，已知：∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A，求证：∠B＝∠C．
【分析】依据平行线的判定，即可得到AD∥EF，得出∠3＝∠D，进而得出∠A＝∠D，再根据平行线的判定，即可得到AB∥CD，最后根据平行线的性质得出结论．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AD∥EF，
∴∠3＝∠D，
又∵∠3＝∠A，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
22．（8分）为了呼吁社会各界积极参与“守护一江碧水”行动，我县某校团支部组织优秀团员开展“志愿护河行动”，在防洪堤河岸进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多6个，每人发3个垃圾袋则少6个，问；有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
【分析】设有x个学生，准备了y个垃圾袋，由题意：若每人发2个垃圾袋则多6个，每人发3个垃圾袋则少6个，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设有x个学生，准备了y个垃圾袋，
由题意得：，
解得：，
答：有12个学生，准备了30个垃圾袋．
23．（10分）某中学为选拔一名选手参加我县“我心中的绿色家园”主题演讲比赛，经研究，按表所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评．下表是小明、小华在选拔赛中的得分情况：
项目
选手
服装
普通话
主题
演讲技巧
小明
85
70
80
85
小华
90
75
75
80
结合以上信息，回答下列问题：
（1）小华在选拔赛中四个项目所得分数的众数是 75分 ，中位数是 77.5分 ；
（2）若评总分时，按服装占5%，普通话占15%，主题占40%，演讲技巧占40%考评，你认为小明和小华谁更优秀？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的定义列式计算出小明、小华的成绩，从而得出答案．
【解答】解：（1）小华在选拔赛中四个项目所得分数的众数是75分，中位数是＝77.5（分），
故答案为：75分，77.5分；
（2）小明的总成绩为85×5%+70×15%+80×40%+85×40%＝80.75（分），
小华的总成绩为90×5%+75×15%+75×40%+80×40%＝77.75（分），
∴小明更优秀．
24．（10分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，A、B两点分别在l1和l2上，直线l3上有一动点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，若∠PAC＝32°，∠PBD＝43°，则∠APB的度数是 75° ；
（2）若点P在DC的延长线上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么数量关系，证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，∠PAC和∠PBD的角平分线相交于点Q，且∠QAC+∠AQB＝∠1，探索∠APB和∠AQB的关系，并证明．
【分析】（1）过点P作PE∥l1，从而得l1∥l2∥PE，根据平行线的性质可得：∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD，即可求解；
（2）由三角形的外角性质得：∠APB+∠PAC＝∠PEC，再结合平行线的性质即可证明；
（3）由角平分线的性质可得：∠PAQ＝∠CAQ＝∠PAC，∠PBQ＝∠PBD，再结合三角形的外角性质可得：∠PAQ+∠APB＝∠PFQ，∠PBQ+∠AQB＝∠PFQ，通过整理即可得到∠APB＝2∠AQB．
【解答】解：（1）过P点作PE平行l1，如图所示：
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PE，
∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD，
∵∠PAC＝32°，∠PBD＝43°，
∴∠APE＝32°，∠BPE＝43°，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝75°．
故答案为：75°；
（2）∠PBD＝∠PAC+∠APB，
证明：如图所示：
∵l1∥l2，
∴∠PEC＝∠PBD，
∵∠APB+∠PAC＝∠PEC，
∴∠APB+∠PAC＝∠PBD；
（3）∠APB＝2∠AQB．
证明：如图所示：
由（2）得：∠PBD＝∠APB+∠PAC，
∵AQ是∠PAC的平分线，BQ是∠PBD的平分线，
∴∠PAQ＝∠CAQ＝∠PAC，∠PBQ＝∠PBD，
∵∠PFQ是△APF的一个外角，∠PFQ是△BQF的一个外角，
∴∠PAQ+∠APB＝∠PFQ，∠PBQ+∠AQB＝∠PFQ，
∴∠PAQ+∠APB＝∠PBQ+∠AQB，
∠PAC+∠APB＝PBD+∠AQB，
∠PAC+∠APB＝（∠APB+∠PAC）+∠AQB，
∠PAC+∠APB＝∠APB+∠PAC+∠AQB，
整理得：∠APB＝2∠AQB．
2020-2021学年湖南省岳阳市平江县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（3a）2＝6a2
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．ab+bc+b＝b（a+c） B．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
C．（a﹣1）2+（a﹣1）＝a2﹣a D．a（a﹣1）＝a2﹣a
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有无数条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．相等的角是对顶角
D．平行于同一条直线的两条直线平行
5．如图，直线DE与BC相交于点O，∠1与∠2互余，∠COE＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．36° B．54° C．60° D．64°
6．为研究甲、乙、丙、丁四种杂交水稻的长势，某研究所分别从四亩试验田中抽取20株测其高度进行统计分析，结果如下：S甲2＝0.9米2、S乙2＝1.5米2，S丙2＝2.3米2，S丁2＝3.2米2，则四种杂交水稻中长势比较整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？其意思为：现有七捆上等稻子和两捆下等稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子．问一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？设一捆上等稻子和一捆下等稻子分别打成谷子x斗，y斗，则可建立方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1＝1，a2＝2．a3＝3，a4＝3，a5＝6，a6＝4，a7＝10，a8＝5…，则a99+a100的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）因式分解：x2﹣3x＝ ．
10．（4分）已知是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，那么k的值是 ．
11．（4分）如图，若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是 ．
12．（4分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，若∠BAC＝50°，则∠B′AC的度数是 ．
14．（4分）如图，若∠1＝∠D，∠C＝76°，则∠B＝ ．
15．（4分）对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝ ．
16．（4分）如图：已知点C、D是直线AB上两点，点E，F为平面内两点，且∠ACE+∠FDB＝180°，CF平分∠ECB，EH⊥AB于点H交CF于点O．则下列结论正确的是： ．
①EF∥AB；②CE∥DF；③∠FDB＝2∠CFD；④∠FOE＝∠CDF．
三、填空题（本大题8小题，满分共64分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程组：．
18．（6分）因式分解：
（1）3x2﹣3y2；
（2）ab2﹣4ab+4a．
19．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣1，y＝1．
20．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和直线l．
（1）将△ABC先向上平移5个单位长度，再向右平移7个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
（2）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A2B2C2．
21．（8分）如图，已知：∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A，求证：∠B＝∠C．
22．（8分）为了呼吁社会各界积极参与“守护一江碧水”行动，我县某校团支部组织优秀团员开展“志愿护河行动”，在防洪堤河岸进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多6个，每人发3个垃圾袋则少6个，问；有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
23．（10分）某中学为选拔一名选手参加我县“我心中的绿色家园”主题演讲比赛，经研究，按表所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评．下表是小明、小华在选拔赛中的得分情况：
项目
选手
服装
普通话
主题
演讲技巧
小明
85
70
80
85
小华
90
75
75
80
结合以上信息，回答下列问题：
（1）小华在选拔赛中四个项目所得分数的众数是 ，中位数是 ；
（2）若评总分时，按服装占5%，普通话占15%，主题占40%，演讲技巧占40%考评，你认为小明和小华谁更优秀？
24．（10分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，A、B两点分别在l1和l2上，直线l3上有一动点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，若∠PAC＝32°，∠PBD＝43°，则∠APB的度数是 ；
（2）若点P在DC的延长线上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么数量关系，证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，∠PAC和∠PBD的角平分线相交于点Q，且∠QAC+∠AQB＝∠1，探索∠APB和∠AQB的关系，并证明．
2020-2021学年湖南省岳阳市平江县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（3a）2＝6a2
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，积的乘方法则进行计算，然后作出判断．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意；
B、a3与a2不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C、（a3）2＝a6，正确，故此选项符合题意；
D、（3a）2＝9a2，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．ab+bc+b＝b（a+c） B．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
C．（a﹣1）2+（a﹣1）＝a2﹣a D．a（a﹣1）＝a2﹣a
【分析】利用提公因式法，公式法逐项进行因式分解即可．
【解答】解：A．ab+bc+b＝b（a+c+1），因此选项A不符合题意；
B．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3），因此选项B符合题意；
C．（a﹣1）2+（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1+1）＝a（a﹣1），因此选项C不符合题意；
D．a（a﹣1）＝a2﹣a，不是因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：B．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有无数条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．相等的角是对顶角
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据平行公理，对顶角的定义以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、正确的说法是两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项错误；
C、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
D、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，故该选项正确．
故选：D．
5．如图，直线DE与BC相交于点O，∠1与∠2互余，∠COE＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．36° B．54° C．60° D．64°
【分析】直接利用互余的定义以及结合对顶角的性质得出∠COE＝∠1，进而得出∠2的答案．
【解答】解：∵∠COE＝36°，
∴∠EOC＝∠1＝36°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣36°＝54°．
故选：B．
6．为研究甲、乙、丙、丁四种杂交水稻的长势，某研究所分别从四亩试验田中抽取20株测其高度进行统计分析，结果如下：S甲2＝0.9米2、S乙2＝1.5米2，S丙2＝2.3米2，S丁2＝3.2米2，则四种杂交水稻中长势比较整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义判断．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵S甲2＝0.9米2、S乙2＝1.5米2，S丙2＝2.3米2，S丁2＝3.2米2，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴四种杂交水稻中长势比较整齐的是甲．
故选：A．
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？其意思为：现有七捆上等稻子和两捆下等稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子．问一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？设一捆上等稻子和一捆下等稻子分别打成谷子x斗，y斗，则可建立方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“七捆上等稻子和两捆下等稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：C．
8．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1＝1，a2＝2．a3＝3，a4＝3，a5＝6，a6＝4，a7＝10，a8＝5…，则a99+a100的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
【分析】根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出a99+a100的值．
【解答】解：由图可得，
第偶数项对应的数是一些连续的自然数，从2开始，
第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从1开始，
∴a99+a100
＝（1+2+3+…+50）+[（100÷2）+1]
＝+（50+1）
＝1275+51
＝1326，
故选：B．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）因式分解：x2﹣3x＝ x（x﹣3） ．
【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可．
【解答】解：x2﹣3x＝x（x﹣3）．
故答案为：x（x﹣3）
10．（4分）已知是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，那么k的值是 1 ．
【分析】将代入二元一次方程x+ky＝﹣1即可求k．
【解答】解：∵是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，
∴2﹣3k＝﹣1，
解得k＝1，
故答案为1．
11．（4分）如图，若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质即可得到结论．
【解答】解：若村庄A要从河流l引水入村，则沿着垂线段AP铺设水管最节省材料，其依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
12．（4分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ 7 ．
【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．
故答案为：7
13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，若∠BAC＝50°，则∠B′AC的度数是 25° ．
【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角解答即可．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝75°，
又∵∠BAC＝50°，
∴∠CAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝25°．
故答案是：25°．
14．（4分）如图，若∠1＝∠D，∠C＝76°，则∠B＝ 104° ．
【分析】根据内错角相等（∠1＝∠D）推出AB∥CD，从而推出∠C+∠B＝180°，将∠C＝76°代入求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
又∠C＝76°，
∴∠B＝104°．
故答案为：104°．
15．（4分）对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝ 18 ．
【分析】直接利用新定义得出一元一次方程，进而解方程得出答案．
【解答】解：由题意可得：7（x﹣2）﹣6x＝4，
解得：x＝18．
故答案为：18．
16．（4分）如图：已知点C、D是直线AB上两点，点E，F为平面内两点，且∠ACE+∠FDB＝180°，CF平分∠ECB，EH⊥AB于点H交CF于点O．则下列结论正确的是： ②③④ ．
①EF∥AB；②CE∥DF；③∠FDB＝2∠CFD；④∠FOE＝∠CDF．
【分析】根据题意易推出∠ACE＝∠ADF，从而根据平行线的判定推出CE∥DF；
根据角平分线的性质和平行线的性质推出∠DFC＝∠BCF，从而由三角形的外角定理即可得到∠FDB＝2∠CFD；
根据直角三角形的性质推出∠FOE＝90°﹣∠OCH，由三角形的内角和可推出∠CDF＝180°﹣2∠DCF，从而得到∠FOE＝∠CDF．
【解答】解：∵∠ACE+∠FDB＝180°，
又∠ADF+∠FDB＝180°，
∴∠ACE＝∠ADF，
∴CE∥DF，
故②符合题意，①不符合题意；
∵CE∥DF，CF平分∠ECB，
∴∠ECF＝DFC，∠ECF＝∠BCF，
∴∠DFC＝∠BCF，
∴∠FDB＝∠DFC+∠BCF＝2∠CFD，
故③符合题意；
∵EH⊥AB，
∴∠OCH+∠COH＝90°，
∴∠FOE＝∠COH＝90°﹣∠OCH，
又∠CDF＝180°﹣（∠DFC+∠DCF）＝180°﹣2∠DCF，
∴∠FOE＝∠CDF，
故④符合题意．
故答案为：②③④．
三、填空题（本大题8小题，满分共64分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程组：．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
②﹣①得，y＝2，
将y＝2代入①得，x＝﹣1，
∴方程组的解为．
18．（6分）因式分解：
（1）3x2﹣3y2；
（2）ab2﹣4ab+4a．
【分析】（1）先提公因式3，再用平方差公式分解因式；
（2）先提公因式a，再用完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）
＝3（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝a（b2﹣4b+4）
＝a（b﹣2）2．
19．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣1，y＝1．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2
＝4xy+2y2，
当x＝﹣1，y＝1时，
原式＝4×（﹣1）×1+2×12
＝﹣4+2
＝﹣2．
20．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和直线l．
（1）将△ABC先向上平移5个单位长度，再向右平移7个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
（2）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出△A1B1C1；
（2）根据轴对称的旋转即可画出△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
21．（8分）如图，已知：∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A，求证：∠B＝∠C．
【分析】依据平行线的判定，即可得到AD∥EF，得出∠3＝∠D，进而得出∠A＝∠D，再根据平行线的判定，即可得到AB∥CD，最后根据平行线的性质得出结论．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AD∥EF，
∴∠3＝∠D，
又∵∠3＝∠A，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
22．（8分）为了呼吁社会各界积极参与“守护一江碧水”行动，我县某校团支部组织优秀团员开展“志愿护河行动”，在防洪堤河岸进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多6个，每人发3个垃圾袋则少6个，问；有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
【分析】设有x个学生，准备了y个垃圾袋，由题意：若每人发2个垃圾袋则多6个，每人发3个垃圾袋则少6个，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设有x个学生，准备了y个垃圾袋，
由题意得：，
解得：，
答：有12个学生，准备了30个垃圾袋．
23．（10分）某中学为选拔一名选手参加我县“我心中的绿色家园”主题演讲比赛，经研究，按表所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评．下表是小明、小华在选拔赛中的得分情况：
项目
选手
服装
普通话
主题
演讲技巧
小明
85
70
80
85
小华
90
75
75
80
结合以上信息，回答下列问题：
（1）小华在选拔赛中四个项目所得分数的众数是 75分 ，中位数是 77.5分 ；
（2）若评总分时，按服装占5%，普通话占15%，主题占40%，演讲技巧占40%考评，你认为小明和小华谁更优秀？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的定义列式计算出小明、小华的成绩，从而得出答案．
【解答】解：（1）小华在选拔赛中四个项目所得分数的众数是75分，中位数是＝77.5（分），
故答案为：75分，77.5分；
（2）小明的总成绩为85×5%+70×15%+80×40%+85×40%＝80.75（分），
小华的总成绩为90×5%+75×15%+75×40%+80×40%＝77.75（分），
∴小明更优秀．
24．（10分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，A、B两点分别在l1和l2上，直线l3上有一动点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，若∠PAC＝32°，∠PBD＝43°，则∠APB的度数是 75° ；
（2）若点P在DC的延长线上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么数量关系，证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，∠PAC和∠PBD的角平分线相交于点Q，且∠QAC+∠AQB＝∠1，探索∠APB和∠AQB的关系，并证明．
【分析】（1）过点P作PE∥l1，从而得l1∥l2∥PE，根据平行线的性质可得：∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD，即可求解；
（2）由三角形的外角性质得：∠APB+∠PAC＝∠PEC，再结合平行线的性质即可证明；
（3）由角平分线的性质可得：∠PAQ＝∠CAQ＝∠PAC，∠PBQ＝∠PBD，再结合三角形的外角性质可得：∠PAQ+∠APB＝∠PFQ，∠PBQ+∠AQB＝∠PFQ，通过整理即可得到∠APB＝2∠AQB．
【解答】解：（1）过P点作PE平行l1，如图所示：
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PE，
∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD，
∵∠PAC＝32°，∠PBD＝43°，
∴∠APE＝32°，∠BPE＝43°，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝75°．
故答案为：75°；
（2）∠PBD＝∠PAC+∠APB，
证明：如图所示：
∵l1∥l2，
∴∠PEC＝∠PBD，
∵∠APB+∠PAC＝∠PEC，
∴∠APB+∠PAC＝∠PBD；
（3）∠APB＝2∠AQB．
证明：如图所示：
由（2）得：∠PBD＝∠APB+∠PAC，
∵AQ是∠PAC的平分线，BQ是∠PBD的平分线，
∴∠PAQ＝∠CAQ＝∠PAC，∠PBQ＝∠PBD，
∵∠PFQ是△APF的一个外角，∠PFQ是△BQF的一个外角，
∴∠PAQ+∠APB＝∠PFQ，∠PBQ+∠AQB＝∠PFQ，
∴∠PAQ+∠APB＝∠PBQ+∠AQB，
∠PAC+∠APB＝PBD+∠AQB，
∠PAC+∠APB＝（∠APB+∠PAC）+∠AQB，
∠PAC+∠APB＝∠APB+∠PAC+∠AQB，
整理得：∠APB＝2∠AQB．
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