2021年河南省郑州市中原区桐柏一中九年级（下）第一次月考数学试卷（有答案）

这是一份2021年河南省郑州市中原区桐柏一中九年级（下）第一次月考数学试卷（有答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
2．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A．调查电视台节目的收视率
B．调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量
C．调查炮弹的杀伤力的情况
D．调查市民对皮影表演艺术的喜爱程度
4．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（　　）

A．75° B．90° C．105° D．115°
5．（3分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（　　）
A．4×1013千米 B．4×1012千米
C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米
6．（3分）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
7．（3分）定义新运算“a*b”对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3＝（4+3）×（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
8．（3分）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）
设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　）
A．x2＝（x﹣1）2+102 B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，AC⊥OC．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，交边AC于点D．若CD＝3，AD＝5，则点B的坐标为（　　）

A．（10，） B．（，） C．（12，） D．（，）
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCO的一边CO在x轴上，A，B在第二象限，C在A左侧，∠AOC＝60°，AC＝5，AO＝2，直线ED的解析式为y＝﹣x+5，现将平行四边形沿x轴向右平移，当直线ED恰好平分平行四边形ABCO的面积时，此时的平移距离为（　　）

A．+ B．4+2 C．8 D．5+
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．（3分）计算：﹣2+（﹣2）0＝　 　．
12．（3分）不等式组的解集是　 　．
13．（3分）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概率为　 　．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD为AB边上的高，CD＝12，点P为边BC上的一个动点，M、N分别为边AB，AC上的动点，则△MNP周长的最小值是　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x为整数，且满足0＜x＜．
17．（9分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：
1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；
2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；
3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．
整理数据：
分数
人数
班级
60
70
80
90
100
1班
0
1
6
2
1
2班
1
1
3
a
1
3班
1
1
4
2
2
分析数据：

平均数
中位数
众数
1班
83
80
80
2班
83
c
d
3班
b
80
80
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；
（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？
18．（9分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

19．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟　 　米，乙在A地时距地面高度b为　 　米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，
请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）
之间的函数关系式．
（3）当0≤t≤11时，直接写出经过多长时间，甲、乙两人距地面
的高度之差为50米？

20．（9分）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上．
（1）求证：AE＝AB；
（2）填空：
①当∠CAD＝　 　°时，四边形OBED是菱形．
②当∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2时，BC＝　 　．

21．（10分）已知二次函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）若m＝﹣2，n＝﹣4，求二次函数的最小值；
（2）若n＝3，该二次函数的图象与直线y＝1只有一个公共点，求m的值；
（3）若n＝m2，且3m+4＜0，当x满足m≤x≤m+2时，y有最小值13，求此二次函数的解析式．
22．（10分）小兴在数学学习中遇到这样一个问题：
如图1，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm，BC边上的高AD＝4cm，∠ABC的角平分线交AD于F，点E是BC边上的动点，点G是BE的中点，连接EF，当△GEF是等腰三角形时，求出线段BE的长度．
小兴发现通过常规推理计算很难解决这个问题，于是他根据学习函数的经验，对EF，FG和BE的长度之间的关系进行探究：
（1）设BE的长度为x，通过画图，测量，计算，分析，得到了BE，FG，EF长度的几组对应值，如表：
BE/cm
0
1
2
3
4
5
…
FG/cm
3.35
2.97
2.55
2.17
1.84
1.60
…
EF/cm
3.35
2.50
1.80
1.50
1.80
a
…
操作中发现，EF的最小值为　 　，当BE的长是5时，EF的长a＝　 　．
（2）将线段BE的长度作为自变量x，EF和GF分别是x的函数，记为yEF和yGF，并在平面直角坐标系中画出了函数yEF的图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中根据小兴描出的点，画出函数yGF的图象．
（3）想要彻底解决这个问题，仍需要在坐标系中绘制出一条函数图象，它是：　 　，请你画出它的函数图象，结合图象直接写出，当△GEF是等腰三角形时，线段BE长的近似值为（保留一位小数）．

23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是　 　．EH与AD的位置关系是　 　．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．


2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
【解答】解：的相反数是；
故选：B．
2．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
B主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
C．主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意．
D．主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
故选：A．
3．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A．调查电视台节目的收视率
B．调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量
C．调查炮弹的杀伤力的情况
D．调查市民对皮影表演艺术的喜爱程度
【解答】解：A、调查电视台节目的收视率，适合抽样调查，故选项错误；
B、调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量，是精确度要求高的调查，适于全面调查，故选项正确；
C、调查炮弹的杀伤力的情况，适合抽样调查，故选项错误；
D、调查市民对皮影表演艺术的喜爱程度，适合抽样调查，故选项错误．
故选：B．
4．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（　　）

A．75° B．90° C．105° D．115°
【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，
∴∠FCA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．

5．（3分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（　　）
A．4×1013千米 B．4×1012千米
C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米
【解答】解：依题意得：4.2光年＝4.2×9.5×1012≈4×1013．
故选：A．
6．（3分）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵k＜0，
∴函数图象在二，四象限，由x1＜0＜x2＜x3可知，横坐标为x1的点在第二象限，横坐标为x2，x3的点在第四象限．
∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，
∴y1最大，在第二象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
7．（3分）定义新运算“a*b”对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3＝（4+3）×（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0．
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．（3分）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）
设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　）
A．x2＝（x﹣1）2+102 B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12
【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故选：A．

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，AC⊥OC．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，交边AC于点D．若CD＝3，AD＝5，则点B的坐标为（　　）

A．（10，） B．（，） C．（12，） D．（，）
【解答】解：过D作DQ⊥OA交OA于点Q，过B作BH⊥OA于H，如图所示，

由题意知：OD是∠COA的角平分线，
∴∠COD＝∠QOD，
∵AC⊥OC，DQ⊥OA，
在△COD和△QOD中，

∴△COD≌QOD）（AAS），
∴DC＝DQ＝3，
∴OC＝OQ，
∵AD＝5，
∴AQ＝＝＝4，
设OC＝OQ＝a，
在Rt△AOC中，有a2+（3+5）2＝（a+4）2，
解得：a＝6，
∴OA＝OQ+QA＝6+4＝10，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠COA＝∠BAH，OC＝AB，
∴△ABH∽△OAC，
∴，，
∴AH＝＝＝，
BH＝＝，
∴OH＝OA+AH＝10+＝，
∴B（，）．
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCO的一边CO在x轴上，A，B在第二象限，C在A左侧，∠AOC＝60°，AC＝5，AO＝2，直线ED的解析式为y＝﹣x+5，现将平行四边形沿x轴向右平移，当直线ED恰好平分平行四边形ABCO的面积时，此时的平移距离为（　　）

A．+ B．4+2 C．8 D．5+
【解答】解：作AM⊥OC于M，
∵∠AOC＝60°，AC＝5，AO＝2，
∴OM＝AO＝，AM＝AO＝3，
∴CM＝＝4，
∴OC＝4+，
∴A（﹣，3），C（﹣4﹣，0），
∴AC的中点为（﹣2﹣，），
平行四边形沿x轴向右平移，当直线ED恰好平分平行四边形ABCO的面积时，则ED必经过AC的中点，
∴把y＝代入y＝﹣x+5得，＝﹣x+5，解得x＝，
∵﹣（﹣2﹣）＝+，
∴平移距离为+，
故选：A．

二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．（3分）计算：﹣2+（﹣2）0＝　2　．
【解答】解：原式＝3﹣2+1＝2，
故答案为：2
12．（3分）不等式组的解集是　﹣2≤x＜　．
【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，
解不等式x﹣5＜，得：x＜，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，
故答案为：﹣2≤x＜．
13．（3分）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概率为　　．
【解答】解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，
所以点P（m，n）在第二象限的概率＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 　　．

【解答】解：连接OG，QG，

∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴，
设OG＝OF＝x，则，
解得：x＝，即⊙O的半径是．
连接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边三角形；同理△OGQ为等边三角形；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，
∴QH＝＝，
∴CQ＝
∵四边形OHCG为矩形，
∴OH＝CG＝，
∴S阴影＝S△CGQ＝＝＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD为AB边上的高，CD＝12，点P为边BC上的一个动点，M、N分别为边AB，AC上的动点，则△MNP周长的最小值是　　．

【解答】解：作点P关于直线AB,AC的对称点Q,R,连接QM,RN,QR,如图:

则PM＝QM,PN＝RN,
.∴△PMN的周长为:PM+MN+PN＝QM+MN+RN,
∴当点Q,M,N,R四点共线时,△MNP的周长最小,即为QR的长,
连接AQ,AP,AR,
:点P关于直线AB,AC的对称点为点Q,R,
∴∠BAQ＝∠BAP,∠CAR＝∠CAP,AQ＝AP＝AR,
∴∠QAP＝2∠BAP,∠RAP＝2∠CAP,
∵∠BAC＝45°,
∴∠BAP+∠CAP＝45°,
∴2∠BAP+2∠CAP＝90°,
∴∠QAR＝∠QAP+∠RAP＝2∠BAP+2∠CAP＝90°,
在Rt△QAR中，∠QAR＝90°,AQ＝AR,
∵AQ²+AR²＝QR²,
∴2AQ²＝QR²,
∴QR＝AQ＝AP,
∴求QR的最小值时，只需求出AP的最小值,
∵点P在BC上运动,
∴当AP⊥BC时，AP的值最小,此时QR的值最小，即△MNP的周长最小,
在Rt△DAC中,∠ADC＝90°,∠DAC＝45°，
∴∠DCA＝90°一∠DAC＝90°﹣45°＝45°＝∠DAC
∴AD＝CD＝12,
∵AB＝17,
∴BD＝AB﹣AD＝17﹣12＝5，
在Rt△DBC中,∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝13,
∴当AP⊥BC时,
S△ABC＝BC•AP＝AB•CD,
∴AP＝＝＝,
∴QR＝AP＝×＝,
∴△NMP的周长的最小值为．
故答案为：。
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x为整数，且满足0＜x＜．
【解答】解：原＝÷
＝•
＝﹣，
∵x为整数，且满足0＜x＜，
∴x为1或2，
但是当x＝1时，分式无意义，
所以只有x＝2，
当x＝2时，原式＝﹣．
17．（9分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：
1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；
2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；
3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．
整理数据：
分数
人数
班级
60
70
80
90
100
1班
0
1
6
2
1
2班
1
1
3
a
1
3班
1
1
4
2
2
分析数据：

平均数
中位数
众数
1班
83
80
80
2班
83
c
d
3班
b
80
80
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；
（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？
【解答】解：（1）由题意知a＝4，
b＝×（90+60+70+80+80+80+80+90+100+100）＝83，
2班成绩重新排列为60，70，80，80，80，90，90，90，90，100，
∴c＝＝85，d＝90；

（2）从平均数上看三个班都一样；
从中位数看，1班和3班一样是80，2班最高是85；
从众数上看，1班和3班都是80，2班是90；
综上所述，2班成绩比较好；

（3）570×＝76（张），
答：估计需要准备76张奖状．
18．（9分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，

则GH＝BE、BG＝EH＝10米，
设AH＝x 米，则BE＝GH＝GA+AH＝（43+x）米，
在Rt△ACH中，CH＝AHtan∠CAH＝x•tan55°，
∴CE＝CH﹣EH＝x•tan55°﹣10，
∵∠DBE＝45°，
∴BE＝DE＝CE+DC，即43+x＝x•tan55°﹣10+35，
解得：x≈45，
∴CH＝x•tan55°＝1.4×45＝63，
答：塔杆CH的高为63米．
19．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟　10　米，乙在A地时距地面高度b为　30　米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，
请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）
之间的函数关系式．
（3）当0≤t≤11时，直接写出经过多长时间，甲、乙两人距地面
的高度之差为50米？

【解答】解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
故答案为：10；30；
（2）当0≤x≤2时，y＝15x；
当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤11）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝50时，解得：x＝4；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝9；
当300﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝15（舍去）．
答：登山4分钟或9分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
20．（9分）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上．
（1）求证：AE＝AB；
（2）填空：
①当∠CAD＝　30　°时，四边形OBED是菱形．
②当∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2时，BC＝　3　．

【解答】（1）证明：由折叠知，AC＝AE，∠C＝∠AED，
∵∠ABC＝∠AED，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∴AE＝AB；
（2）解：①如图，

∵四边形AOED是菱形，
∴DE＝OA＝AD，
连接OD，
∴OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝60°，
同理：∠ODE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝120°，
由折叠知，CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，
∴∠ADC＝120°，
∵AD＝DE，
∴CD＝AD，
∴∠CAD＝∠C＝（180°﹣∠ADC）＝30°，
故答案为：30°．
②如图，过点A作AF⊥BE于F，

由（1）知，AE＝AB，
∴EF＝BE＝1，
∵∠ADB＝∠AEB，cos∠ADB＝，
∴cos∠AEB＝，
在Rt△AFE中，cos∠AEB＝＝，
∴AE＝3EF＝3，
由（1）知，AE＝AB，
∴AB＝3，
由（1）知，AB＝AC，
∵∠CAB＝90°，
∴BC＝AB＝3，
故答案为：3．
21．（10分）已知二次函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）若m＝﹣2，n＝﹣4，求二次函数的最小值；
（2）若n＝3，该二次函数的图象与直线y＝1只有一个公共点，求m的值；
（3）若n＝m2，且3m+4＜0，当x满足m≤x≤m+2时，y有最小值13，求此二次函数的解析式．
【解答】解：（1）当m＝﹣2，n＝﹣4时，y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5
∴当x＝1时，y最小值＝﹣5；

（2）当n＝3时，y＝x2+mx+3，
令y＝1，则x2+mx+3＝1，
由题意知，x2+mx+3＝1有两个相等的实数根，
则△＝m2﹣8＝0，
∴m＝；

（3）由3m+4＜0，可知m，
∴m≤x≤m+2，
抛物线y＝x2+mx+m2的对称轴为x＝，
∵m，
∴，
∴对称轴为x＝，
∴在m≤x≤m+2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m+2，y有最小值为13，
∴（m+2）2+m（m+2）+m2＝13，
即m2+2m﹣3＝0，
解得m＝1或m＝﹣3，而m，
∴m＝﹣3，
此时，y＝x2﹣3x+9．
22．（10分）小兴在数学学习中遇到这样一个问题：
如图1，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm，BC边上的高AD＝4cm，∠ABC的角平分线交AD于F，点E是BC边上的动点，点G是BE的中点，连接EF，当△GEF是等腰三角形时，求出线段BE的长度．
小兴发现通过常规推理计算很难解决这个问题，于是他根据学习函数的经验，对EF，FG和BE的长度之间的关系进行探究：
（1）设BE的长度为x，通过画图，测量，计算，分析，得到了BE，FG，EF长度的几组对应值，如表：
BE/cm
0
1
2
3
4
5
…
FG/cm
3.35
2.97
2.55
2.17
1.84
1.60
…
EF/cm
3.35
2.50
1.80
1.50
1.80
a
…
操作中发现，EF的最小值为　1.50　，当BE的长是5时，EF的长a＝　2.50　．
（2）将线段BE的长度作为自变量x，EF和GF分别是x的函数，记为yEF和yGF，并在平面直角坐标系中画出了函数yEF的图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中根据小兴描出的点，画出函数yGF的图象．
（3）想要彻底解决这个问题，仍需要在坐标系中绘制出一条函数图象，它是：　yGE　，请你画出它的函数图象，结合图象直接写出，当△GEF是等腰三角形时，线段BE长的近似值为（保留一位小数）．

【解答】解：（1）根据表格中的信息可知，EF的最小值为1.50，
根据对称性可知，当BE＝5时，EF的值与BE＝1时EF的值相等，即EF＝2.50．
故答案为：1.50，2.50；
（2）函数图象如图所示：

（3）直线yGE如图所示，
观察图象可知，当△GEF是等腰三角形时，线段BE长的近似值为2.9、3.7、5.3或4.1．
故答案为：yGE．
23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是　EH＝AD，　．EH与AD的位置关系是　EH⊥AB　．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．

【解答】解：（1）如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∵DH＝HB，
∴EH⊥DB，EH＝DB＝AD，
故答案为EH＝AD，EH⊥AD．

（2）结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．

∵DE＝EF．CE⊥DF，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∵DE＝EF，DH＝HB，
∴EH＝BF，EH∥BF，
∴EH⊥AD，EH＝AD．

（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．

∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠EAH＝30°，
∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝150°，
∴∠EDB＝∠EBD＝15°，
∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴AD＝AE，设EH＝x，则AD＝AE＝2x，AH＝x，
∵EH2+DH2＝DE2，
∴x2+（2x+x）2＝8，
∴x＝﹣1，
∴AD＝2﹣2，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（2﹣2）•（﹣1）＝4﹣2．
如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．

同法可求：EH＝+1，AD＝2+2，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（2）（+1）＝4+2，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为4﹣2或4+2．
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日期：2022/2/21 14:33:35；用户：校园号；邮箱：gx998@xyh.com；学号：40932698