2021年湖南省湘潭市湘乡市八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2021年湖南省湘潭市湘乡市八年级下学期期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省湘潭市湘乡市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题8个小题，每小题3分，满分24分）．
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，位于第二象限的点是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．6
4．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
5．已知一次函数y＝kx+b的图像经过点A（3，y1）、B（4，y2），且y1＜y2，则下列不等式成立的是（　　）
A．b＞0 B．b＜0 C．k＞0 D．k＜0
6．抛20次硬币，出现“正面朝上”的频率为0.45，则出现“反面朝上”的次数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形DECF的面积为（　　）

A．8 B．4 C．2 D．1
8．已知△ABC的三边a，b，c满足+|2c﹣6|+（3a﹣15）2＝0，则△ABC的面积为（　　）
A．12 B．6 C．15 D．10
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，满分24分）．
9．一辆汽车沿倾斜角为30°的山坡，从山脚行驶到山顶，共走了800米，那么这座山的垂直高度为 　 　米．
10．有一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形是　 　边形．
11．若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝　 　．
12．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数是　 　．

13．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：
成绩
90≤x≤100
80≤x＜90
70≤x＜80
60≤x＜70
x＜60
人数
25
15
5
4
1
根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有　 　人．
14．点P（3，﹣5）向上平移3个单位，它的像是点P′　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20度，则∠BCD＝　 　　 度．

16．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为 　 　．

三、解答题（本大题10小题，共72分，解答需写出必要的步骤和过程）．
17．（6分）在矩形ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝2，BC＝4，求BD的长．

18．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．
（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．

19．（6分）某校八（1）班一次物理测验（卷面满分100分）成绩统计，有20%的优生，优等生的人均分为90分；有10%的不及格，不及格的同学的人均分为50分；其它同学的人均分为80分，求全班这次测验成绩的平均分．
20．（6分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为垂足，求证：EC＝FC．

21．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数的图象经过点A（0，﹣4）、B（3，2），和与x轴交于点C．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求三角形OCB的面积．

22．（6分）为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保护活动活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力，两次相关数据记录如下：
活动前被测查学生视力数据：
4.0 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6
4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1
活动后被测查学生视力数据：
4.0 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8
4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1
活动后被测查学生视力频数分布表
分组
频数
4.0≤x＜4.2
1
4.2≤x＜4.4
2
4.4≤x＜4.6
b
4.6≤x＜4.8
7
4.8≤x＜5.0
12
5.0≤x＜5.2
4
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 　 　，活动后被测查学生视力样本数据的众数是 　 　；
（3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保护活动的效果（如取得了好的效果，简要说明原因；没有效果，也说明理由）．

23．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

24．（8分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1、图2中任选一种方法来证明该定理．（图1、图2均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）如图3、图4、图5，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S12+S22＝S32有 　 　个．（不需要证明）

25．（10分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中购书总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
（1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，就甲书店的优惠方式，写出y关于x的函数解析式；
（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？
26．（10分）问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，E'F＝9，请直接写出DE的长．


2020-2021学年湖南省湘潭市湘乡市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题8个小题，每小题3分，满分24分）．
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，位于第二象限的点是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出正确选项．
【解答】解：A．（1，3），在第一象限，不合题意；
B．（﹣1，3），在第二象限，符合题意；
C．（1，﹣3），在第四象限，不合题意；
D．（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；
故选：B．
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．6
【分析】根据角平分线的性质即可求得．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
4．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故选：D．
5．已知一次函数y＝kx+b的图像经过点A（3，y1）、B（4，y2），且y1＜y2，则下列不等式成立的是（　　）
A．b＞0 B．b＜0 C．k＞0 D．k＜0
【分析】由题意得出y随x的增大而增大，根据一次函数的增减性得出k＞0．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图像经过点A（3，y1）、B（4，y2），且y1＜y2，
∴函数为增函数，y随x的增大而增大，
∴k＞0，
故选：C．
6．抛20次硬币，出现“正面朝上”的频率为0.45，则出现“反面朝上”的次数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】用抛掷总次数乘以出现“反面朝上”的频率即可．
【解答】解：出现“反面朝上”的次数为20×（1﹣0.45）＝11，
故选：C．
7．如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形DECF的面积为（　　）

A．8 B．4 C．2 D．1
【分析】连接CD，根据直角三角形的性质得到CD＝AD，根据等腰三角形的三线合一得到AE＝CE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接CD，如图所示，
在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∵DE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△ADE的面积＝△CDE的面积，
同理可得：△BDF的面积＝△CDF的面积，
∴四边形DECF的面积＝×三角形ABC的面积＝2，
故选：C．

8．已知△ABC的三边a，b，c满足+|2c﹣6|+（3a﹣15）2＝0，则△ABC的面积为（　　）
A．12 B．6 C．15 D．10
【分析】根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性得出b﹣4＝0且2c﹣6＝0且3a﹣15＝0，求出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC的三边a，b，c满足+|2c﹣6|+（3a﹣15）2＝0，
∴b﹣4＝0且2c﹣6＝0且3a﹣15＝0，
解得：b＝4，c＝3，a＝5，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
∴边c的对角∠A＝90°，
∴△ABC的面积是＝＝6，
故选：B．
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，满分24分）．
9．一辆汽车沿倾斜角为30°的山坡，从山脚行驶到山顶，共走了800米，那么这座山的垂直高度为 　400　米．
【分析】画出图形，由含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图所示：
由题意得：AB＝200米，∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝400（米），
故答案为：400．

10．有一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形是　八　边形．
【分析】多边形的外角和是360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于45°，
∴多边形的边数为360°÷45°＝8．
则这个多边形是八边形．
故答案为：八．
11．若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝　8　．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，此题得解．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），
∴m＝2×3+2＝8．
故答案为：8．
12．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数是　70°　．

【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E＝70°．
故答案为：70°．
13．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：
成绩
90≤x≤100
80≤x＜90
70≤x＜80
60≤x＜70
x＜60
人数
25
15
5
4
1
根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有　480　人．
【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．
【解答】解：600×＝480（人），
即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，
故答案为：480．
14．点P（3，﹣5）向上平移3个单位，它的像是点P′　（3，﹣2）　．
【分析】让横坐标不变，纵坐标加3可得到所求点的坐标，然后根据坐标平面内点的坐标特征即可得到结论．
【解答】解：所求点P′的横坐标为3，
纵坐标为﹣5+3＝﹣2，
即P′（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20度，则∠BCD＝　70　　 度．

【分析】在Rt△ABC中，根据CD是斜边AB上的中线，得CD＝AD，可求出∠ACD＝20°即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
故答案为：70．
16．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为 　2　．

【分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EFC＝∠AEF，
由折叠得，∠EFC＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF＝5，
由折叠得，
FC＝AF，OA＝OC，
∴BC＝3+5＝8，
在Rt△ABF中，AB＝＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴OA＝OC＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题10小题，共72分，解答需写出必要的步骤和过程）．
17．（6分）在矩形ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝2，BC＝4，求BD的长．

【分析】由矩形的性质得AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，再由勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2．
18．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．
（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．

【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1，B2即可．
（2）作出点A1的对应点A2即可．
【解答】解：（1）如图线段A1B1即为所求．
（2）如图，线段B1A2即为所求．

19．（6分）某校八（1）班一次物理测验（卷面满分100分）成绩统计，有20%的优生，优等生的人均分为90分；有10%的不及格，不及格的同学的人均分为50分；其它同学的人均分为80分，求全班这次测验成绩的平均分．
【分析】根据加权平均数的计算方法可计算出这次测验全班成绩的平均数．
【解答】解：＝90×20%+50×10%+80×（1﹣20%﹣10%）＝18+5+56＝79（分）．
答：全班这次测验成绩的平均分是79分．
20．（6分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为垂足，求证：EC＝FC．

【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，再证△ABE≅△ADF（AAS），得BE＝DF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BEA＝∠DFA＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≅△ADF（AAS），
∴BE＝DF，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴EC＝FC．
21．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数的图象经过点A（0，﹣4）、B（3，2），和与x轴交于点C．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求三角形OCB的面积．

【分析】（1）根据待定系数法可以求得该函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C的坐标，从而可以求得△COB的面积．
【解答】解：（1）把点A（0，﹣4）、B（3，2）代入解析式y＝kx+b得，
解得，
所以这个一次函数的解析式是y＝2x﹣4；
（2）令y＝0，则x＝2，
∴点C坐标为（2，0），
所以三角形OCB的面积为S△OCB＝＝2．
22．（6分）为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保护活动活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力，两次相关数据记录如下：
活动前被测查学生视力数据：
4.0 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6
4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1
活动后被测查学生视力数据：
4.0 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8
4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1
活动后被测查学生视力频数分布表
分组
频数
4.0≤x＜4.2
1
4.2≤x＜4.4
2
4.4≤x＜4.6
b
4.6≤x＜4.8
7
4.8≤x＜5.0
12
5.0≤x＜5.2
4
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝　5　，b＝　4　；
（2）活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 　4.65　，活动后被测查学生视力样本数据的众数是 　4.8　；
（3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保护活动的效果（如取得了好的效果，简要说明原因；没有效果，也说明理由）．

【分析】（1）根据已知数据可得a、b的值；
（2）根据中位数的概念求解可得；
（3）可从4.8及以上人数的变化情况得出结论．
【解答】解：（1）由图表中的数据可得a＝5，b＝30﹣1﹣2﹣7﹣12﹣4＝4，
故答案为：5，4；
（2）活动前被测查的30名学生视力数据从小到大排列后，
处在中间位置的两个数的平均数为＝4.65，
因此中位数是 4.65，
活动后被测查的30名学生视力数据从小到大排列后，
处在中间位置的两个数都是4.8，
因此中位数是 4.8，
故答案为：4.65，4.8；
（3）活动前中位数为4.65，活动后中位数为4.8，说明学生在做完视力保健活动后整体视力情况变好．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
24．（8分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1、图2中任选一种方法来证明该定理．（图1、图2均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）如图3、图4、图5，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S12+S22＝S32有 　3　个．（不需要证明）

【分析】（1）如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小四边形的面积等于大正方形的面积，代入即可证明，如选择图2，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积，代入即可证明．
（2）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足：S1+S2＝S3的有3个；根据半圆面积和勾股定理即可得出结论：S1+S2＝S3．
【解答】解：（1）如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小四边形的面积等于大正方形的面积，
即
化简得：a2+b2＝c2，
如选择图2，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积，
即，
化简得：a2+b2＝c2．
（2）在图3中，
∵在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，
即：a2+b2＝c2．
∴S1+S2＝a2+b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
在图4中，
∵S1＝π＝，
S2＝＝，
S3＝＝，
∵a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，
在图5中，
∵S1＝a×a＝a2，
S2＝b×b＝，
S3＝c×c＝，
而a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，
∴三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个，
故答案为：3．
25．（10分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中购书总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
（1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，就甲书店的优惠方式，写出y关于x的函数解析式；
（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？
【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案．
（2）先就乙书店的优惠方式，写出y关于x的函数解析式，求出两书店所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．
【解答】解：（1）甲书店应支付金额为：y＝0.8x；
（2）乙书店应支付金额：x≤100时，y＝x；
x＞100时，y＝100+0.6（x﹣100）＝0.6x+40．
∴y＝．
当x≤100时，选择甲书店更省钱，
当x＞100时，0.8x＝40+0.6x，解得x＝200．
∴当x＜200时，去甲书店省钱，
x＝200时，去甲乙两家书店购书应付金额相同金额，
当x＞200时，去乙书店省钱．
26．（10分）问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，E'F＝9，请直接写出DE的长．

【分析】（1）根据旋转变换的性质得到∠E'＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，BE'＝BE，根据正方形的判定定理证明结论；
（2）过点D作DH⊥AE，垂足为H，证明△AEB≌△DHA，根据全等三角形的性质得到AH＝BE，再根据正方形的性质解答即可；
（3）作DG⊥AE于G，根据勾股定理求出CE′，在根据勾股定理求出AG，进而求出GE，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形．
理由如下：由旋转可知：∠E'＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，
∵∠AEB+∠FEB＝180°，∠AEB＝90°，
∴∠FEB＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
由旋转可知，BE'＝BE，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝FE．
证明：如图②所示，过点D作DH⊥AE，垂足为H，
则∠DHA＝90°，
∴∠DAH+∠ADH＝90°．
∵DA＝DE，
∴AH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠DAB＝90°．
∴∠DAH+∠BAE＝90°．
∴∠BAE＝∠ADH．
在△AEB和△DHA中，
，
∴△AEB≌△DHA（AAS）．
∴AH＝BE．
由（1）知四边形BE'FE是正方形，
∴EF＝E′F．
∴AH＝E′F．
由旋转的性质可得：CE'＝AE，
∴FE'＝CE'，
∴CF＝FE'，
∴CF＝FE；
（3）如图①所示，作DG⊥AE于G，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝BE＝E'F＝9，
在Rt△CBE′中，由勾股定理得：CE′＝＝＝12，
∴AE＝CE′＝12，
由（2）可知：△AEB≌△DGA，
∴AD＝AB＝15，DG＝AE＝12，
∴AG＝＝＝9，
∴GE＝AE﹣AG＝3，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
在Rt△DGE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3．