湘教九下数学 类比归纳专题：切线证明的常用方法

类比归纳专题：切线证明的常用方法

——弄清不同条件下的证明方式，体会异同

类型一　有交点型：连半径，证垂直【方法9①】

一、利用勾股定理的逆定理或角度转换证垂直

1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝4，PB＝2，AB＝6，求证：PC是⊙O的切线．

2．(2017·益阳中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．

二、利用全等证垂直

3．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.求证：CF与⊙O相切．

类型二　无交点型：作垂直，证半径

4．(2017·绥化中考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.

(1)求证：CD与⊙O相切；【方法9②】

(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．

参考答案与解析

1．证明：连接OC.在△OCP中，PC＝4，OC＝AB＝3，OP＝OB＋BP＝3＋2＝5.∵PC2＋OC2＝OP2，∴△OCP是直角三角形，且∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线．

2.证明：如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线．

(2)解：在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，∴OD＝＝5，∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.

3．证明：连接OF，OC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°.∵E为BC边的中点，AO＝DO，∴AO＝EC，AO∥EC，∴四边形OAEC是平行四边形，∴AE∥OC，∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA.∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠DOC＝∠FOC.∵在△ODC和△OFC中，，∴△ODC≌△OFC(SAS)，∴∠OFC＝∠ODC＝90°，∴OF⊥CF，∴CF与⊙O相切．

4．(1)证明：如图，过点O作OG⊥DC，垂足为G.∵AD∥BC，AE⊥BC于E，∴OA⊥AD.∵OD为∠ADC的平分线，∴OG＝OA，∴DC是⊙O的切线．

(2)解：如图，连接OF.∵AE⊥BC，∴BE＝EF＝BF＝12.在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12，∴OF＝＝13.∴AE＝OA＋OE＝OF＋OE＝13＋5＝18.∴tan∠ABC＝＝.