2021年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2021年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷（含答案），共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题(本题共30分，每小题3分)第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥0
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°
3．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c＝
5．（3分）在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：
成绩/m
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
4
3
4
6
2
这些运动员成绩的众数是（　　）
A．1.65 B．1.70 C．1.75 D．1.80
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（　　）

A． B．2 C． D．
7．（3分）下列命题中，正确的是（　　）
A．有一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
8．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
报名项目个数
0
1
2
3
人数
5
14
a
b
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（　　）
A．中位数，众数 B．平均数，方差
C．平均数，众数 D．众数，方差
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（　　）

A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）
10．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（　　）

A．24 B．10 C．12 D．36
二、填空题(本题共21分，第11~15题每小题3分，第16~18题每小题3分)
11．（3分）计算：（）2＝　 　．
12．（3分）已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为 　 　．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长是　 　cm．

14．（3分）已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝　 　．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为 　 　．

16．（2分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为 　 　．

17．（2分）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：
甲组
11
12
13
14
15
乙组
x
6
7
5
8
如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝　 　．
18．（2分）如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝　 　°；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为 　 　．

三、解答题(本题共49分，第19~25题每小题6分，第26题7分)
19．（6分）计算：
（1）3×；
（2）+÷．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O．求证：OE＝OF．

21．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝　 　尺，EB＝　 　尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．

22．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 　 　；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）
②若AB＝10，ED＝8，则四边形ADCE的面积为 　 　．

23．（6分）对于函数y＝|x﹣1|，小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，请补充完整：
（1）①对于函数y＝|x﹣1|，当x≤1时，y＝﹣x+1；当x＞1时，y＝　 　；
②当x≤1时，函数y＝|x﹣1|的图象如图所示，请在图中补全函数y＝|x﹣1|的图象；
（2）当y＝3时，x＝　 　；
（3）若点A（﹣1，y1）和B（x2，y2）都在函数y＝|x﹣1|的图象上，且y2＞y1，结合函数图象，直接写出x2的取值范围．

24．（6分）某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如图（两个年级的数据都分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）．
b．八年级学生一周阅读时长在6≤x＜8这一组的数据是：6 6 6 6 6.5 6.5 7 7 7 7 7.5 7.5．
c．七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
6.225
7
7
八年级
6.375
m
8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）图1中p%＝　 　%；
（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图2）；
②上表中m的值为 　 　．
（3）将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是 　 　年级的学生；（填“七”或“八”）
（4）估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．
25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，作射线OB．给出如下定义：如果点P在∠BOA的内部过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，那么称PM与PN的长度之和为点P关于∠BOA的“内距离”，记作d（P，∠BOA），即d（P，∠BOA）＝PM+PN．
（1）如图1，若点P（3，2）在∠BOA的平分线上，则PM＝　 　，PN＝　 　，d（P，∠BOA）＝　 　；
（2）如图2，若∠BOA＝75°，点C（a，a）（其中a＞0）满足d（C，∠BOA）＝2+，求a的值；
（3）若∠BOA＝60°，点Q（m，n）在∠BOA的内部，用含m，n的式子表示d（Q，∠BOA），并直接写出结果．

26．（7分）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．
（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；
①△AOB与△　 　全等，∠OBA+∠ADC＝　 　°；
②若OA＝a，OB＝b，则BD＝　 　；（用含a，b的式子表示）
（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．

四、填空题(本题6分)
27．（6分）在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系：
例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝+1．类似地，＝﹣，＝+；＝2﹣，＝2+；…．
根据小腾发现的规律，解决下列问题：
（1）＝　 　，＝　 　；（n为正整数）
（2）若＝2﹣m，则m＝　 　；
（3）计算：＝　 　．
五、解答题(本题共14分，第28题6分，第29题8分)
28．（6分）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，∠ACD＝α（60°＜α＜120°），点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．
（1）求∠PQM的度数；（用含α的式子表示）
（2）若点N是BC的中点，连接NM，NP，PM，求证：△PNM是等边三角形．

29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．
例如：点M（﹣2，7）与N（5，6）的“纵2倍直角距离”dMN＝|﹣2﹣5|+2|7﹣6|＝9．
（1）①已知点P1（1，1），P2（﹣4，0），P3（0，），则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是 　 　；
②已知点P（x，y），其中y≥0．若点P与原点O的“纵2倍直角距离”dPO＝3，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形．
（2）若直线y＝2x+b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，求b的取值范围；
（3）已知点A（1，1），B（3，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为C（t﹣，0），D（t，），E（t+，0），F（t，﹣）．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得dGH＝5，直接写出t的取值范围．


2020-2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共30分，每小题3分)第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥0
【解答】解：在实数范围内有意义，
则x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故选：B．
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝70°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
故选：C．
3．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D、＝10，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：A．
4．（3分）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c＝
【解答】解：A、12+22≠22，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B、22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C、32+42≠62，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D、12+12＝（）2，故能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
5．（3分）在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：
成绩/m
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
4
3
4
6
2
这些运动员成绩的众数是（　　）
A．1.65 B．1.70 C．1.75 D．1.80
【解答】解：这组数据中1.75米出现了6次，次数最多，故这组数据的众数是1.75．
故选：C．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（　　）

A． B．2 C． D．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，
则由勾股定理知：AB＝＝＝，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝．
故选：C．
7．（3分）下列命题中，正确的是（　　）
A．有一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【解答】解：A、有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，本选项说法错误，不符合题意；
B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，本选项说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
8．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
报名项目个数
0
1
2
3
人数
5
14
a
b
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（　　）
A．中位数，众数 B．平均数，方差
C．平均数，众数 D．众数，方差
【解答】解：∵共有30名学生报名这3个项目，
把这些数从小到大排列，中位数是第15、16个数的平均数，
则不报的和报1个的就有19人了，
所以中位数不会发生改变，
因为报2个项目和3个项目的一共有11人，
而报1个项目的就有14人，
所以众数也不会发生改变．
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（　　）

A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）
【解答】解：延长BC交x轴于H，

∵菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），
∴OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC，
∴∠BHO＝∠AOH＝90°，
∵点C的纵坐标为1，
∴CH＝1，BH＝3，
∴OH＝＝＝，
∴点B（，3），
故选：D．
10．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（　　）

A．24 B．10 C．12 D．36
【解答】解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E，
在图2中，取M（6，6），N（12，10），

当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB＝x＝6，
当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，
当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD＝AP＝y＝8＝10，
在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝10，BE⊥AD，
解得AE＝5，
在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝5，
BE²+AE²＝AB²，
解得BE＝，
∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝10×＝10，
故选：B．
二、填空题(本题共21分，第11~15题每小题3分，第16~18题每小题3分)
11．（3分）计算：（）2＝　7　．
【解答】解：原式＝7，
故答案为：7．
12．（3分）已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为 　3　．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴18＝2AB2，
∴AB＝3，
故答案为3．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长是　10　cm．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD＝2OE，
∵OE＝5cm，
∴AD＝10cm．
故答案为：10．
14．（3分）已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝　2　．
【解答】解：∵n是正整数，且也是正整数，
∴18﹣n是一个完全平方数，
∵18﹣n≥0，解得：n≤18，
∴0＜n≤18，
则18﹣n＝12，解得：n＝17，
或18﹣n＝22，解得：n＝14，
或18﹣n＝32，解得：n＝9，
或18﹣n＝42，解得：n＝2，
当18﹣n＝52时，解得：n＝﹣7，不符合n的范围．
故答案为：2或9或14或17（只填一个即可）．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为 　2　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝7，
∴∠AEF＝∠EFC，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵AD＝7，AE＝CD＝3，
∴DE＝4，
∴EC＝＝＝5，
∴FC＝5，
∴BF＝2，
故答案为2．
16．（2分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为 　4　．

【解答】解：∵正方形ABCD的面积为10，
∴AD2＝10，
∴DH＝＝＝1，
∵△AHD≌△DGC，
∴AH＝DG＝3，
∴HG＝DG﹣DH＝2，
∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，
故答案为：4．
17．（2分）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：
甲组
11
12
13
14
15
乙组
x
6
7
5
8
如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝　4或9　．
【解答】解：甲组的平均数是×（11+12+13+14+15）＝13（h），
则甲的方差S2＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
乙组的平均数为＝（h），
乙的方差为：[（x﹣）2+（6﹣）2+（7﹣）2+（5﹣）2+（8﹣）2]，
由题意得[（x﹣）2+（6﹣）2+（7﹣）2+（5﹣）2+（8﹣）2]＝2，
解得x＝4或x＝9，
故答案为：4或9．
18．（2分）如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝　15　°；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为 　　．

【解答】解：（1）∵△DAC是等边三角形，
∴∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝DC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE，∠EDC＝90°，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，
故答案为15°；
（2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，
∴PB+PC＝BC'，
∵∠EAD＝15°，∠DAC＝60°，
∴∠GAC＝45°，
∵AG⊥CG，
∴∠DCA＝45°，
∵AC＝2，
∴GC＝，
∴CC'＝2，
过C'作C'H⊥AC，则△C'CH为等腰直角三角形，
∴C'H＝2，
∴H与A重合，
∴C'A⊥AC，
在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，
∴BC'＝，
∴PB+PC的最小值为，
故答案为．

三、解答题(本题共49分，第19~25题每小题6分，第26题7分)
19．（6分）计算：
（1）3×；
（2）+÷．
【解答】解：（1）原式＝3
＝6；
（2）原式＝3+
＝3+
＝4．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O．求证：OE＝OF．

【解答】证明：如图，连接AF，CE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝CD﹣DF，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OE＝OF．
21．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝　1　尺，EB＝　5　尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．

【解答】解：（1）由题意可得：DE＝1尺，BE＝AB＝5尺；
故答案为：1，5；

（2）设芦苇长DC＝BC＝x尺，
则水深EC＝（x﹣1）尺，
在Rt△ECB中，
52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13，
则EC＝13﹣1＝12（尺），
答：芦苇长13尺，水深为12尺．
22．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 　菱形　；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）
②若AB＝10，ED＝8，则四边形ADCE的面积为 　24　．

【解答】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC＝ED．
（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∴四边形ADCE是菱形，
故答案为菱形；
②∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∵CE∥AB，
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴DE＝BC＝8，
∵AB＝10，
∴AC＝＝＝6，
∴四边形ADCE的面积为＝＝24．
故答案为24．
23．（6分）对于函数y＝|x﹣1|，小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，请补充完整：
（1）①对于函数y＝|x﹣1|，当x≤1时，y＝﹣x+1；当x＞1时，y＝　x﹣1　；
②当x≤1时，函数y＝|x﹣1|的图象如图所示，请在图中补全函数y＝|x﹣1|的图象；
（2）当y＝3时，x＝　﹣2或4　；
（3）若点A（﹣1，y1）和B（x2，y2）都在函数y＝|x﹣1|的图象上，且y2＞y1，结合函数图象，直接写出x2的取值范围．

【解答】解：（1）①对于函数y＝|x﹣1|，当x≤1时，y＝﹣x+1；当x＞1时，y＝x﹣1；
故答案为：x﹣1；
②函数图象如图所示；

（2）把y＝3代入y＝﹣x+1求得x＝﹣2，
把y＝3代入y＝x﹣1求得x＝4，
∴当y＝3时，x＝﹣2或4，
故答案为﹣2或4；
（3）∵函数图象关于直线x＝1对称，
∴x＝﹣1和x＝3时的函数值相同，
观察图象，当y2＞y1时，x2＜﹣1或x2＞3．
24．（6分）某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如图（两个年级的数据都分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）．
b．八年级学生一周阅读时长在6≤x＜8这一组的数据是：6 6 6 6 6.5 6.5 7 7 7 7 7.5 7.5．
c．七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
6.225
7
7
八年级
6.375
m
8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）图1中p%＝　10　%；
（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图2）；
②上表中m的值为 　6.25　．
（3）将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是 　八　年级的学生；（填“七”或“八”）
（4）估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．
【解答】解：（1）图1中p%＝1﹣（5%+22.5%+27.5%+30%+5%）＝10%，即p＝10，
故答案为：10；
（2）①4≤x＜6的人数为40﹣（5+12+10+2）＝11（人），
补全图形如下：

②由题意知，这组数据的第20、21个数据为6、6.5，
所以这组数据的中位数m＝＝6.25，
故答案为：6.25；
（3）∵这名学生一周阅读时长是6.5小时，大于八年级阅读时长的中位数6.25小时，而小于七年级阅读时长7小时，
∴可以推断他是八年级的学生，
故答案为：八．
（4）一周阅读时长不低于8小时的人数为200×（30%+5%）+200×＝130（人）．
25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，作射线OB．给出如下定义：如果点P在∠BOA的内部过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，那么称PM与PN的长度之和为点P关于∠BOA的“内距离”，记作d（P，∠BOA），即d（P，∠BOA）＝PM+PN．
（1）如图1，若点P（3，2）在∠BOA的平分线上，则PM＝　2　，PN＝　2　，d（P，∠BOA）＝　4　；
（2）如图2，若∠BOA＝75°，点C（a，a）（其中a＞0）满足d（C，∠BOA）＝2+，求a的值；
（3）若∠BOA＝60°，点Q（m，n）在∠BOA的内部，用含m，n的式子表示d（Q，∠BOA），并直接写出结果．

【解答】解：（1）如图1中，

∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PM＝PN，
∵P（3，2），
∴PM＝PN＝2，
∴d（P，∠BOA）＝2+2＝4，
故答案为：2，2，4．

（2）如图2中，过点C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．

∵C（a，a），
∴EC＝OE＝a，OC＝a，
∴∠EOC＝45°，
∵∠AOB＝75°，
∴∠COF＝75°﹣45°＝30°，
∵CF⊥OB，
∴CF＝OC＝a，
∵d（C，∠BOA）＝2+，
∴a+a＝2+，
∴a＝2．

（3）如图3中，过点Q作QE⊥OA于E，QF⊥OB于F，延长FQ交x轴于J．

∵Q（m，n），
∴QE＝n，OE＝m，
∵∠JFO＝90°，∠FOJ＝60°，
∴∠QJE＝30°，
∵∠QEJ＝90°，
∴QJ＝2QE＝2n，EJ＝EQ＝n，
∴OJ＝OE+EJ＝m+n，
∴FJ＝OJ•cos30°＝（m+n）•＝m+n，
∴FQ＝FJ﹣QJ＝m+n﹣2n＝m﹣n，
∴d（Q，∠BOA）＝QE+QF＝n+m﹣n＝m+n．
26．（7分）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．
（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；
①△AOB与△　DCA　全等，∠OBA+∠ADC＝　90　°；
②若OA＝a，OB＝b，则BD＝　（a+b）　；（用含a，b的式子表示）
（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．

【解答】解：（1）①∵CD∥OB，
∴∠AOB＝∠DCA＝90°，
在△AOB和△DCA中，
，
∴△AOB≌△DCA（SAS），
∴∠ABO＝∠CAD，
∵∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠ABO+∠ADC＝90°，
故答案为：DCA，90．

②如图1中，过点D作DR⊥BO交BO的延长线于R．
∵△AOB≌△DCA，
∴OA＝CD＝a，OB＝AC＝b，
∵∠R＝∠ROC＝∠DCO＝90°，
∴四边形OCDR是矩形，
∴OR＝CD＝a，DR＝OC＝a+b，
∴RB＝a+b，
∴BD＝＝＝（a+b）．
故答案为：（a+b）．

（2）β的大小不变，β＝45°．
理由：如图2中，过点C作CW⊥AC，使得CW＝OA．
在△AOB和△WCA中，
，
∴△AOB≌△WCA（SAS），
∴AB＝AW，∠ABO＝∠CAW，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO+∠CAW＝90°，
∴∠BAW＝90°，
∴∠AWB＝45°，
∵BE＝OA，CW＝OA，
∴BE＝CW，
∵CW∥OB，
∴四边形BECW是平行四边形，
∴EC∥BW，
∴∠CJW＝∠AWB＝45°，
∵∠CJW＝∠CAW+∠ECO，∠CAW＝∠ABO，
∴β＝∠ABO+∠ECO＝45°，


四、填空题(本题6分)
27．（6分）在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系：
例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝+1．类似地，＝﹣，＝+；＝2﹣，＝2+；…．
根据小腾发现的规律，解决下列问题：
（1）＝　﹣　，＝　﹣　；（n为正整数）
（2）若＝2﹣m，则m＝　±　；
（3）计算：＝　9　．
【解答】解：（1）（1）＝﹣，＝﹣；（n为正整数）
故答案为﹣，﹣；
（2）∵＝2﹣m，
∴（2+m）（2﹣m）＝1，
∴8﹣m2＝1，解得m＝±；
故答案为±；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+•••+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
故答案为9．
五、解答题(本题共14分，第28题6分，第29题8分)
28．（6分）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，∠ACD＝α（60°＜α＜120°），点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．
（1）求∠PQM的度数；（用含α的式子表示）
（2）若点N是BC的中点，连接NM，NP，PM，求证：△PNM是等边三角形．

【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∵点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．
∴PQ∥AC，QM∥DE，
∴∠ACD+∠PQC＝180°，∠CQM＝∠CDE＝60°，∠ACD＝∠PQD＝α，
∴∠PQC＝180°﹣α，
∴∠PQM＝∠PQC+∠CQM＝240°﹣α；
（2）如图，取AC的中点，H，连接PH，NH，

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，CD＝DE＝CE，∠BAC＝60°，
∵点P，Q，M，H，N分别是AD，CD，CE，AC，BC的中点．
∴QM＝DE，PQ＝AC，PH＝CD，PH∥CD，HN＝AB，HN∥AB，
∴PH＝QM，NH＝PQ，∠CHN＝∠CAB＝60°，∠ACD+∠PHC＝180°，∠HPQ＝∠PQD＝α，
∴∠NHP＝∠CHN+∠PHC＝60°+180°﹣α＝240°﹣α，
∴∠PHN＝∠PQM，
在△NHP和△PQM中，
，
∴△NHP≌△PQM（SAS），
∴PN＝PM，∠HNP＝∠QPM，
∵∠HNP+∠HPN+∠PHN＝180°，
∴∠QPM+∠HPN＝α﹣60°，
∴∠NPM＝∠HPQ﹣（∠NPH+∠QPM）＝60°，
∴△PMN是等边三角形．
29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．
例如：点M（﹣2，7）与N（5，6）的“纵2倍直角距离”dMN＝|﹣2﹣5|+2|7﹣6|＝9．
（1）①已知点P1（1，1），P2（﹣4，0），P3（0，），则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是 　P1，P3　；
②已知点P（x，y），其中y≥0．若点P与原点O的“纵2倍直角距离”dPO＝3，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形．
（2）若直线y＝2x+b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，求b的取值范围；
（3）已知点A（1，1），B（3，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为C（t﹣，0），D（t，），E（t+，0），F（t，﹣）．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得dGH＝5，直接写出t的取值范围．

【解答】解：（1）①由题意知，dOP1＝|1﹣0|+2|1﹣0|＝3，
dOP2＝|﹣4﹣0|+2|0﹣0|＝4，
dOP3＝|0﹣0|+2|﹣0|＝3，
故答案为：P1，P3；
②由题知，|x﹣0|+2|y﹣0|＝3，
即|x|+2|y|＝3，
∵y≥0，
∴y＝﹣|x|（﹣3≤x≤3），
∴满足条件的点P组成的图形如下：

（2）如图2所示，根据（1）②图象的对称性可以得出与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点的图形如下：

根据图象可知，当直线y＝2x+b在①和②位置之间时，直线y＝2x+b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，
当直线y＝2x+b过（﹣3，0）时，0＝2×（﹣3）+b，
解得b＝6，
当直线y＝2x+b过（3，0）时，0＝2×3+b，
解得b＝﹣6，
∴b的取值范围为﹣6＜b＜6；
（3）如图3，

由（1）②题同理可得H的取值在红色线区域，但取不到红色虚线围成的部分，
即符合条件的正方形CDEF的位置在①②之间，或③④之间，
（Ⅰ）图中正方形CDEF在①位置时，点D与H重合，
∵dGH＝5，
此时，1﹣t+2（1﹣）＝5，
解得t＝﹣3，
图中正方形CDEF在②位置时，点F与H重合，
同理可得，3﹣t+2（1+）＝5，
解得t＝1，
∴t的取值范围为：﹣3≤t≤1；
（Ⅱ）图中正方形CDEF在③位置时，
同理可得，t﹣1+2（1﹣）＝5，
解得t＝3，
图中正方形CDEF在④位置时，
同理可得，t﹣3+2（1﹣）＝5，
解得t＝7，
∴t的取值范围为：3≤t≤7；
综上，t的取值范围为：﹣3≤t≤1或3≤t≤7．
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