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2020-2021学年江西省新余市渝水区新钢中学七年级（下）第一次段考数学试卷
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这是一份2020-2021学年江西省新余市渝水区新钢中学七年级（下）第一次段考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江西省新余市渝水区新钢中学七年级（下）第一次段考数学试卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）在﹣5，0，0.2，5这四个数中，无理数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．0.2 D．5
2．（3分）对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝0 B．a＝﹣2 C．a=2 D．a＝2
3．（3分）如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．（3分）如图，若实数m=−10+1，则数轴上表示m的点应落在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
5．（3分）如图，下列条件中，①∠4＝∠5；②∠2+∠4＝180°；③∠6＝∠2+∠3；④∠1＝∠3，能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若3x=1.21，3xy=12.1，则y＝ ．
8．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（7x﹣80）°和（100﹣2x）°，则x＝ ．
9．（3分）已知线段AB与直线CD互相垂直，垂足为点O，且AO＝8cm，BO＝2cm，则线段AB的长为 ．
10．（3分）若5−x+3x−y=0，则x+y的整数部分是 ．
11．（3分）如图，△ABC的边长AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
12．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），若固定△ACD，改变△BCE的位置（其中点C位置始终不变），且∠ACE＜150°，点E在直线AC的上方．当△ACD的一边与△BCE的某一边平行时，则∠ACE所有可能的度数为： ．
三、（本大题共五小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算
（1）（﹣2）2+364−4；
（2）1916+（π﹣3）0﹣|1−3|．
14．（6分）如图，已知直线EF与AB、CD都相交，且AB∥CD，说明∠1＝∠2的理由．
理由：∵EF与AB相交（已知）
∴∠1＝∠3（ ）
∵AB∥CD（已知）
∴∠2＝∠3（ ）
∴∠1＝∠2（ ）
15．（6分）如图：已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
16．（6分）已知2a﹣1的立方根是3，3a+b﹣1的平方根是±6，求a+2b的平方根．
17．（6分）已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；
（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A．
（1）求证EF∥AB；
（2）若∠BED＝60°，求∠ACB的度数．
19．（8分）已知x，y都是有理数，且满足x2﹣3y+5y＝10+35，求x+y的值．
20．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠DCE的度数．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）观察、发现：12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−1=2−12−1=2−1
（1）试化简：13+2；
（2）直接写出：1n+1+n= ；
（3）求值：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99．
22．（9分）如图1，已知直线AB∥ED，点C为AB，ED内部的一个动点，连接CB，CD，∠ABC的平分线交直线ED于点E，∠CDE的平分线交直线BA于点A，BE和DA交于点F．
（1）∠FDC+∠ABC＝180°，猜想AD和BC的位置关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的基础上连接CF，则在点C的运动过程中，当满足CF∥AB且∠CFB=32∠DCF时，求∠BCD的度数．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）问题情境
（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝ ．
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
拓展延伸
（3）当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
2020-2021学年江西省新余市渝水区新钢中学七年级（下）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）在﹣5，0，0.2，5这四个数中，无理数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．0.2 D．5
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．﹣5是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.0是整数，属于有理数，故本选是项不合题意；
C.0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.5是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理数，掌握实数的分类是解答本题的关键．
2．（3分）对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝0 B．a＝﹣2 C．a=2 D．a＝2
【分析】当a＝﹣2时，不能得到|﹣2|＝﹣2，于是x＝﹣2可作为说明命题“|a|＝a（a为实数）”是假命题的一个反例．
【解答】解：说明命题“|a|＝a（a为实数）”，是假命题的一个反例可以是a＝﹣2，当a＝﹣2时，不能得到|﹣2|＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．（3分）如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同位角的特征，“F”型判断即可．
【解答】解：如图，与∠1是同位角的为：∠2，
故选：A．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握它们的特征是解题的关键．
4．（3分）如图，若实数m=−10+1，则数轴上表示m的点应落在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
【分析】用夹逼法估算出无理数的范围即可得出答案．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜10＜4，
∴﹣4＜−10＜−3，
∴﹣3＜−10+1＜﹣2，
∴数轴上表示m的点应落在线段AB上，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5．（3分）如图，下列条件中，①∠4＝∠5；②∠2+∠4＝180°；③∠6＝∠2+∠3；④∠1＝∠3，能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠4＝∠5，
∴l1∥l2，
故①符合题意；
②∵∠2+∠4＝180°，
∴l1∥l2，
故②符合题意；
③∵∠6＝∠2+∠3，∠6＝∠1+∠2，
∴∠1＝∠3，
∴l1∥l2，
故③符合题意；
④∵∠1＝∠3，
∴l1∥l2，
故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．（3分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE＝∠DEF＝26°，根据平角定义，则∠EFC＝154°（图a），进一步求得∠BFC＝154°﹣26°＝128°（图b），进而求得∠CFE＝128°﹣26°＝102°（图c）．
【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF＝26°，
∴∠BFE＝∠DEF＝26°，
∴∠EFC＝154°（图a），
∴∠BFC＝154°﹣26°＝128°（图b），
∴∠CFE＝128°﹣26°＝102°（图c）．
故选：A．
【点评】此题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若3x=1.21，3xy=12.1，则y＝ 1000 ．
【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点向左（右）每移动三位，所得的立方根的小数点向左（右）移动一位解答即可．
【解答】解：∵3x=1.21，3xy=12.1，
∴xy要比x扩大1000倍，
∴y＝1000．
故答案为：1000．
【点评】此题考查的是立方根的性质，掌握其性质是解决此题关键．
8．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（7x﹣80）°和（100﹣2x）°，则x＝ 20或32 ．
【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180°解答即可．
【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，
根据题意可得：（7x﹣80）°＝（100﹣2x）°或（7x﹣80）°+（100﹣2x）°＝180°，
解得：x＝20或x＝32，
故答案为：20或32．
【点评】此题考查对顶角、邻补角问题，解答此题的关键：应明确对顶角相等，邻补角互补，进而根据其含义进行分析、解答．
9．（3分）已知线段AB与直线CD互相垂直，垂足为点O，且AO＝8cm，BO＝2cm，则线段AB的长为 10cm或6cm． ．
【分析】根据可分为两类情况，如图1，根据已知条件AO＝8cm，B0＝2cm，由AB＝AO+BO代入计算即可得出答案；如图2，根据已知条件AO＝8cm，B0＝2cm，由AB＝AO﹣BO代入计算即可得出答案．
【解答】解：如图1，
∵AO＝8cm，B0＝2cm，
∴AB＝AO+BO＝8+2＝10cm；
如图2，
∵AO＝8cm，B0＝2cm，
∴AB＝AO﹣BO＝8﹣2＝6cm；
综上所述：线段AB的长为10cm或6cm．
故答案为：10cm或6cm．
【点评】本题主要考查了垂线，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键．
10．（3分）若5−x+3x−y=0，则x+y的整数部分是 4 ．
【分析】根据算术平方根的非负性，先求出x，y的值，然后再估算20的值即可解答．
【解答】解：∵5−x+3x−y=0，
∴5﹣x＝0，3x﹣y＝0，
∴x＝5，y＝15，
∴x+y=5+15=20，
∵16＜20＜25，
∴4＜20＜5，
∴x+y的整数部分是：4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
11．（3分）如图，△ABC的边长AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 9 cm．
【分析】根据平移的性质可得AD＝BE，然后判断出阴影部分的周长＝△ABC的周长，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，
∴AD＝BE，AB＝DE，AC＝DF，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+DE+AC＝BE+EC+AC+AB＝AB+AC+BC＝3+4+2＝9cm，
故答案为：9．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
12．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），若固定△ACD，改变△BCE的位置（其中点C位置始终不变），且∠ACE＜150°，点E在直线AC的上方．当△ACD的一边与△BCE的某一边平行时，则∠ACE所有可能的度数为： 30°或45°或120°或135° ．
【分析】分4种情况进行讨论：①BC∥AD；②BE∥AC；③AD∥CE；④BE∥CD；结合平行线的判定与性质进行求解即可．
【解答】解：①当BC∥AD时，
∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠D＝30°，
∴∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；
②当BE∥AC时，如图，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°；
③当AD∥CE时，如图，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
④当BE∥CD时，如图，
∵BE∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；
综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°或135°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
三、（本大题共五小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算
（1）（﹣2）2+364−4；
（2）1916+（π﹣3）0﹣|1−3|．
【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用零指数幂，平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝4+4﹣2＝6；
（2）原式=54+1﹣（3−1）=134−3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（6分）如图，已知直线EF与AB、CD都相交，且AB∥CD，说明∠1＝∠2的理由．
理由：∵EF与AB相交（已知）
∴∠1＝∠3（ 对顶角相等 ）
∵AB∥CD（已知）
∴∠2＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）
【分析】根据题目中的条件和图形，可以写出各个空中应该填写的根据，本题得以解决．
【解答】解：理由：∵EF与AB相交（已知），
∴∠1＝∠3（对顶角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（6分）如图：已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
【分析】根据BC平分∠ACD，∠1＝∠2，求证∠2＝∠BCD，然后利用同位角相等两直线平行即可证明AB∥CD．
【解答】证明：∵BC平分∠ACD，
∴∠1＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题主要考查学生对平行线判定的理解和掌握，证明此题的关键是求证∠2＝∠BCD．
16．（6分）已知2a﹣1的立方根是3，3a+b﹣1的平方根是±6，求a+2b的平方根．
【分析】利用平方根、立方根定义求出a与b的值，即可确定出a+2b的平方根．
【解答】解：根据题意得：2a﹣1＝27，3a+b﹣1＝36，
解得：a＝14，b＝﹣5，
则a+2b＝14﹣10＝4，4的平方根是±2，
答：a+2b的平方根为±2．
【点评】此题考查了立方根、平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17．（6分）已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；
（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．
【分析】（1）根据两点确定一条直线作图；
（2）由正方形的对角线互相垂直来作图；
（3）根据平行线的性质：两直线平行，对应线段成比例，来作图即可．
【解答】解：（1）作法：连接OA，②作直线AO；
（2）作法：过正方形AHGB的对角线BH的端点画直线交AG于点D；
（3）作法：取线段AD的中点F，过E、F画直线．
【点评】本题主要考查了平行线及垂线的作法．在解答此题时，借用了正方形的性质（对角线互相垂直）及平行线的性质（对应线段成比例）．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A．
（1）求证EF∥AB；
（2）若∠BED＝60°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）求出∠1＝∠BDC，根据平行线的判定得出EF∥AB；
（2）由（1）得AB∥EF，得到∠BDE＝∠DEF，继而得∠A＝∠BDE，可证得DE∥AC，即可证得∠ACB＝∠DEB＝60°．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠BDC+∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴EF∥AB；
（2）由（1）得AB∥EF，
∴∠BDE＝∠DEF，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEB，
∵∠BED＝60°，
∴∠ACB＝60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，能灵活运用平行线的判定定理与性质定理进行推理是解此题的关键．
19．（8分）已知x，y都是有理数，且满足x2﹣3y+5y＝10+35，求x+y的值．
【分析】先将已知条件整理变形，再根据x，y都是有理数，5是无理数，即可得到x2﹣3y﹣10＝0，y﹣3＝0，求得x，y的值即可解决问题．
【解答】解：∵x2−3y+5y=10+35，
∴x2﹣3y﹣10+5y﹣35=0，
∴（x2﹣3y﹣10）+（y﹣3）5=0，
∵x，y都是有理数，
∴x2﹣3y﹣10和y﹣3都是有理数，
又∵5是无理数，
∴x2﹣3y﹣10＝0，y﹣3＝0，
解得x＝±19，y＝3，
当x=19，y＝3时，x+y=19+3，
当x=−19，y＝4时，x+y=−19+3．
∴x+y的值是19+3或−19+3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，利用已知条件求得x，y的值并采用分类讨论的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠DCE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；
（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥BE；
（2）解：∵AB∥CD，∠2＝60°，
∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，
∴∠EAC+∠BAC＝60°，
∵∠BAC＝2∠EAC，
∴∠EAC＝20°，
∴∠BAC＝∠ACD＝40°，
∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）观察、发现：12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−1=2−12−1=2−1
（1）试化简：13+2；
（2）直接写出：1n+1+n= n+1−n ；
（3）求值：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99．
【分析】根据题目给出的过程即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=3−2(3+2)(3−2)=3−23−2=3−2；
（2）原式=(n+1−n)(n+1+n)(n+1−n)=n+1−n；
故答案为：n+1−n
（3）由（2）可知：
原式=2−1+3−2+4−3+⋯+100−99
＝﹣1+100
＝9
【点评】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式，属于基础题型．
22．（9分）如图1，已知直线AB∥ED，点C为AB，ED内部的一个动点，连接CB，CD，∠ABC的平分线交直线ED于点E，∠CDE的平分线交直线BA于点A，BE和DA交于点F．
（1）∠FDC+∠ABC＝180°，猜想AD和BC的位置关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的基础上连接CF，则在点C的运动过程中，当满足CF∥AB且∠CFB=32∠DCF时，求∠BCD的度数．
【分析】（1）AD∥BC，根据角平分线的性质可知∠EDF＝∠FDC，根据平行线的性质得∠EDF＝∠DAB，推出∠FDC＝∠DAB，再由∠FDC+∠ABC＝180°可得∠DAB+∠ABC＝180°，即可得出结论；
（2）设∠DCF＝x，则∠CFB=32x，根据平行线的性质有∠ABF＝∠CFB=32x，再根据角平分线的性质可得∠ABC＝2∠ABF＝3x，由AD∥BC，推出∠BCD＝∠ABC＝3x，∠BCF＝2x，由CF∥AB得∠ABC+∠BCF＝180°，从而可解得x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）AD∥BC．
证明：∵∠CDE的平分线交直线BA于点A，
∴∠EDF＝∠FDC，
∵AB∥ED，
∴∠EDF＝∠DAB，
∴∠FDC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）设∠DCF＝x，则∠CFB=32x，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB=32x，
∵∠ABC的平分线交直线ED于点E，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB＝180°，∠BCD+∠FDC＝180°，
∵∠DAB＝∠EDF＝∠FDC，
∴∠ABC+∠FDC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3x，
∴∠BCF＝∠BCD﹣∠DCF＝2x，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BCD＝3x＝108°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的综合应用，根据图形找准角与角之间的关系是解此题的关键．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）问题情境
（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝ 80° ．
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
拓展延伸
（3）当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
【分析】（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，即可得到∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）过P和N分别作FD的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE=12（∠α+∠β）．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，
又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，
∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，
故答案为：80°；
（2）①如图2，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由：
过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）如图2，∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE=12（∠α+∠β）．
理由：由（2）①可得，∠N＝∠DEN+∠CAN，
由∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，可得∠DEN=12α，∠CAN=12β，
∴∠ANE＝∠DEN+∠CAN=12（∠α+∠β）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
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日期：2022/3/19 17:22:48；用户：湖北荆门掇刀区望兵石学校；邮箱：wbs@xyh.com；学号：31591624
2020-2021学年江西省新余市渝水区新钢中学七年级（下）第一次段考数学试卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）在﹣5，0，0.2，5这四个数中，无理数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．0.2 D．5
2．（3分）对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝0 B．a＝﹣2 C．a=2 D．a＝2
3．（3分）如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．（3分）如图，若实数m=−10+1，则数轴上表示m的点应落在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
5．（3分）如图，下列条件中，①∠4＝∠5；②∠2+∠4＝180°；③∠6＝∠2+∠3；④∠1＝∠3，能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若3x=1.21，3xy=12.1，则y＝ ．
8．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（7x﹣80）°和（100﹣2x）°，则x＝ ．
9．（3分）已知线段AB与直线CD互相垂直，垂足为点O，且AO＝8cm，BO＝2cm，则线段AB的长为 ．
10．（3分）若5−x+3x−y=0，则x+y的整数部分是 ．
11．（3分）如图，△ABC的边长AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
12．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），若固定△ACD，改变△BCE的位置（其中点C位置始终不变），且∠ACE＜150°，点E在直线AC的上方．当△ACD的一边与△BCE的某一边平行时，则∠ACE所有可能的度数为： ．
三、（本大题共五小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算
（1）（﹣2）2+364−4；
（2）1916+（π﹣3）0﹣|1−3|．
14．（6分）如图，已知直线EF与AB、CD都相交，且AB∥CD，说明∠1＝∠2的理由．
理由：∵EF与AB相交（已知）
∴∠1＝∠3（ ）
∵AB∥CD（已知）
∴∠2＝∠3（ ）
∴∠1＝∠2（ ）
15．（6分）如图：已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
16．（6分）已知2a﹣1的立方根是3，3a+b﹣1的平方根是±6，求a+2b的平方根．
17．（6分）已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；
（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A．
（1）求证EF∥AB；
（2）若∠BED＝60°，求∠ACB的度数．
19．（8分）已知x，y都是有理数，且满足x2﹣3y+5y＝10+35，求x+y的值．
20．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠DCE的度数．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）观察、发现：12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−1=2−12−1=2−1
（1）试化简：13+2；
（2）直接写出：1n+1+n= ；
（3）求值：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99．
22．（9分）如图1，已知直线AB∥ED，点C为AB，ED内部的一个动点，连接CB，CD，∠ABC的平分线交直线ED于点E，∠CDE的平分线交直线BA于点A，BE和DA交于点F．
（1）∠FDC+∠ABC＝180°，猜想AD和BC的位置关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的基础上连接CF，则在点C的运动过程中，当满足CF∥AB且∠CFB=32∠DCF时，求∠BCD的度数．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）问题情境
（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝ ．
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
拓展延伸
（3）当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
2020-2021学年江西省新余市渝水区新钢中学七年级（下）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）在﹣5，0，0.2，5这四个数中，无理数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．0.2 D．5
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．﹣5是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.0是整数，属于有理数，故本选是项不合题意；
C.0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.5是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理数，掌握实数的分类是解答本题的关键．
2．（3分）对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝0 B．a＝﹣2 C．a=2 D．a＝2
【分析】当a＝﹣2时，不能得到|﹣2|＝﹣2，于是x＝﹣2可作为说明命题“|a|＝a（a为实数）”是假命题的一个反例．
【解答】解：说明命题“|a|＝a（a为实数）”，是假命题的一个反例可以是a＝﹣2，当a＝﹣2时，不能得到|﹣2|＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．（3分）如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同位角的特征，“F”型判断即可．
【解答】解：如图，与∠1是同位角的为：∠2，
故选：A．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握它们的特征是解题的关键．
4．（3分）如图，若实数m=−10+1，则数轴上表示m的点应落在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
【分析】用夹逼法估算出无理数的范围即可得出答案．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜10＜4，
∴﹣4＜−10＜−3，
∴﹣3＜−10+1＜﹣2，
∴数轴上表示m的点应落在线段AB上，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5．（3分）如图，下列条件中，①∠4＝∠5；②∠2+∠4＝180°；③∠6＝∠2+∠3；④∠1＝∠3，能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠4＝∠5，
∴l1∥l2，
故①符合题意；
②∵∠2+∠4＝180°，
∴l1∥l2，
故②符合题意；
③∵∠6＝∠2+∠3，∠6＝∠1+∠2，
∴∠1＝∠3，
∴l1∥l2，
故③符合题意；
④∵∠1＝∠3，
∴l1∥l2，
故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．（3分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE＝∠DEF＝26°，根据平角定义，则∠EFC＝154°（图a），进一步求得∠BFC＝154°﹣26°＝128°（图b），进而求得∠CFE＝128°﹣26°＝102°（图c）．
【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF＝26°，
∴∠BFE＝∠DEF＝26°，
∴∠EFC＝154°（图a），
∴∠BFC＝154°﹣26°＝128°（图b），
∴∠CFE＝128°﹣26°＝102°（图c）．
故选：A．
【点评】此题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若3x=1.21，3xy=12.1，则y＝ 1000 ．
【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点向左（右）每移动三位，所得的立方根的小数点向左（右）移动一位解答即可．
【解答】解：∵3x=1.21，3xy=12.1，
∴xy要比x扩大1000倍，
∴y＝1000．
故答案为：1000．
【点评】此题考查的是立方根的性质，掌握其性质是解决此题关键．
8．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（7x﹣80）°和（100﹣2x）°，则x＝ 20或32 ．
【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180°解答即可．
【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，
根据题意可得：（7x﹣80）°＝（100﹣2x）°或（7x﹣80）°+（100﹣2x）°＝180°，
解得：x＝20或x＝32，
故答案为：20或32．
【点评】此题考查对顶角、邻补角问题，解答此题的关键：应明确对顶角相等，邻补角互补，进而根据其含义进行分析、解答．
9．（3分）已知线段AB与直线CD互相垂直，垂足为点O，且AO＝8cm，BO＝2cm，则线段AB的长为 10cm或6cm． ．
【分析】根据可分为两类情况，如图1，根据已知条件AO＝8cm，B0＝2cm，由AB＝AO+BO代入计算即可得出答案；如图2，根据已知条件AO＝8cm，B0＝2cm，由AB＝AO﹣BO代入计算即可得出答案．
【解答】解：如图1，
∵AO＝8cm，B0＝2cm，
∴AB＝AO+BO＝8+2＝10cm；
如图2，
∵AO＝8cm，B0＝2cm，
∴AB＝AO﹣BO＝8﹣2＝6cm；
综上所述：线段AB的长为10cm或6cm．
故答案为：10cm或6cm．
【点评】本题主要考查了垂线，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键．
10．（3分）若5−x+3x−y=0，则x+y的整数部分是 4 ．
【分析】根据算术平方根的非负性，先求出x，y的值，然后再估算20的值即可解答．
【解答】解：∵5−x+3x−y=0，
∴5﹣x＝0，3x﹣y＝0，
∴x＝5，y＝15，
∴x+y=5+15=20，
∵16＜20＜25，
∴4＜20＜5，
∴x+y的整数部分是：4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
11．（3分）如图，△ABC的边长AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 9 cm．
【分析】根据平移的性质可得AD＝BE，然后判断出阴影部分的周长＝△ABC的周长，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，
∴AD＝BE，AB＝DE，AC＝DF，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+DE+AC＝BE+EC+AC+AB＝AB+AC+BC＝3+4+2＝9cm，
故答案为：9．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
12．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），若固定△ACD，改变△BCE的位置（其中点C位置始终不变），且∠ACE＜150°，点E在直线AC的上方．当△ACD的一边与△BCE的某一边平行时，则∠ACE所有可能的度数为： 30°或45°或120°或135° ．
【分析】分4种情况进行讨论：①BC∥AD；②BE∥AC；③AD∥CE；④BE∥CD；结合平行线的判定与性质进行求解即可．
【解答】解：①当BC∥AD时，
∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠D＝30°，
∴∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；
②当BE∥AC时，如图，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°；
③当AD∥CE时，如图，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
④当BE∥CD时，如图，
∵BE∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；
综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°或135°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
三、（本大题共五小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算
（1）（﹣2）2+364−4；
（2）1916+（π﹣3）0﹣|1−3|．
【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用零指数幂，平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝4+4﹣2＝6；
（2）原式=54+1﹣（3−1）=134−3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（6分）如图，已知直线EF与AB、CD都相交，且AB∥CD，说明∠1＝∠2的理由．
理由：∵EF与AB相交（已知）
∴∠1＝∠3（ 对顶角相等 ）
∵AB∥CD（已知）
∴∠2＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）
【分析】根据题目中的条件和图形，可以写出各个空中应该填写的根据，本题得以解决．
【解答】解：理由：∵EF与AB相交（已知），
∴∠1＝∠3（对顶角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（6分）如图：已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
【分析】根据BC平分∠ACD，∠1＝∠2，求证∠2＝∠BCD，然后利用同位角相等两直线平行即可证明AB∥CD．
【解答】证明：∵BC平分∠ACD，
∴∠1＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题主要考查学生对平行线判定的理解和掌握，证明此题的关键是求证∠2＝∠BCD．
16．（6分）已知2a﹣1的立方根是3，3a+b﹣1的平方根是±6，求a+2b的平方根．
【分析】利用平方根、立方根定义求出a与b的值，即可确定出a+2b的平方根．
【解答】解：根据题意得：2a﹣1＝27，3a+b﹣1＝36，
解得：a＝14，b＝﹣5，
则a+2b＝14﹣10＝4，4的平方根是±2，
答：a+2b的平方根为±2．
【点评】此题考查了立方根、平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17．（6分）已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；
（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．
【分析】（1）根据两点确定一条直线作图；
（2）由正方形的对角线互相垂直来作图；
（3）根据平行线的性质：两直线平行，对应线段成比例，来作图即可．
【解答】解：（1）作法：连接OA，②作直线AO；
（2）作法：过正方形AHGB的对角线BH的端点画直线交AG于点D；
（3）作法：取线段AD的中点F，过E、F画直线．
【点评】本题主要考查了平行线及垂线的作法．在解答此题时，借用了正方形的性质（对角线互相垂直）及平行线的性质（对应线段成比例）．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A．
（1）求证EF∥AB；
（2）若∠BED＝60°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）求出∠1＝∠BDC，根据平行线的判定得出EF∥AB；
（2）由（1）得AB∥EF，得到∠BDE＝∠DEF，继而得∠A＝∠BDE，可证得DE∥AC，即可证得∠ACB＝∠DEB＝60°．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠BDC+∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴EF∥AB；
（2）由（1）得AB∥EF，
∴∠BDE＝∠DEF，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEB，
∵∠BED＝60°，
∴∠ACB＝60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，能灵活运用平行线的判定定理与性质定理进行推理是解此题的关键．
19．（8分）已知x，y都是有理数，且满足x2﹣3y+5y＝10+35，求x+y的值．
【分析】先将已知条件整理变形，再根据x，y都是有理数，5是无理数，即可得到x2﹣3y﹣10＝0，y﹣3＝0，求得x，y的值即可解决问题．
【解答】解：∵x2−3y+5y=10+35，
∴x2﹣3y﹣10+5y﹣35=0，
∴（x2﹣3y﹣10）+（y﹣3）5=0，
∵x，y都是有理数，
∴x2﹣3y﹣10和y﹣3都是有理数，
又∵5是无理数，
∴x2﹣3y﹣10＝0，y﹣3＝0，
解得x＝±19，y＝3，
当x=19，y＝3时，x+y=19+3，
当x=−19，y＝4时，x+y=−19+3．
∴x+y的值是19+3或−19+3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，利用已知条件求得x，y的值并采用分类讨论的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠DCE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；
（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥BE；
（2）解：∵AB∥CD，∠2＝60°，
∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，
∴∠EAC+∠BAC＝60°，
∵∠BAC＝2∠EAC，
∴∠EAC＝20°，
∴∠BAC＝∠ACD＝40°，
∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）观察、发现：12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−1=2−12−1=2−1
（1）试化简：13+2；
（2）直接写出：1n+1+n= n+1−n ；
（3）求值：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99．
【分析】根据题目给出的过程即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=3−2(3+2)(3−2)=3−23−2=3−2；
（2）原式=(n+1−n)(n+1+n)(n+1−n)=n+1−n；
故答案为：n+1−n
（3）由（2）可知：
原式=2−1+3−2+4−3+⋯+100−99
＝﹣1+100
＝9
【点评】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式，属于基础题型．
22．（9分）如图1，已知直线AB∥ED，点C为AB，ED内部的一个动点，连接CB，CD，∠ABC的平分线交直线ED于点E，∠CDE的平分线交直线BA于点A，BE和DA交于点F．
（1）∠FDC+∠ABC＝180°，猜想AD和BC的位置关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的基础上连接CF，则在点C的运动过程中，当满足CF∥AB且∠CFB=32∠DCF时，求∠BCD的度数．
【分析】（1）AD∥BC，根据角平分线的性质可知∠EDF＝∠FDC，根据平行线的性质得∠EDF＝∠DAB，推出∠FDC＝∠DAB，再由∠FDC+∠ABC＝180°可得∠DAB+∠ABC＝180°，即可得出结论；
（2）设∠DCF＝x，则∠CFB=32x，根据平行线的性质有∠ABF＝∠CFB=32x，再根据角平分线的性质可得∠ABC＝2∠ABF＝3x，由AD∥BC，推出∠BCD＝∠ABC＝3x，∠BCF＝2x，由CF∥AB得∠ABC+∠BCF＝180°，从而可解得x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）AD∥BC．
证明：∵∠CDE的平分线交直线BA于点A，
∴∠EDF＝∠FDC，
∵AB∥ED，
∴∠EDF＝∠DAB，
∴∠FDC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）设∠DCF＝x，则∠CFB=32x，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB=32x，
∵∠ABC的平分线交直线ED于点E，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB＝180°，∠BCD+∠FDC＝180°，
∵∠DAB＝∠EDF＝∠FDC，
∴∠ABC+∠FDC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3x，
∴∠BCF＝∠BCD﹣∠DCF＝2x，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BCD＝3x＝108°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的综合应用，根据图形找准角与角之间的关系是解此题的关键．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）问题情境
（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝ 80° ．
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
拓展延伸
（3）当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
【分析】（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，即可得到∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）过P和N分别作FD的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE=12（∠α+∠β）．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，
又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，
∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，
故答案为：80°；
（2）①如图2，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由：
过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）如图2，∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE=12（∠α+∠β）．
理由：由（2）①可得，∠N＝∠DEN+∠CAN，
由∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，可得∠DEN=12α，∠CAN=12β，
∴∠ANE＝∠DEN+∠CAN=12（∠α+∠β）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
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日期：2022/3/19 17:22:48；用户：湖北荆门掇刀区望兵石学校；邮箱：wbs@xyh.com；学号：31591624
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