2022版新教材高中数学第二章平面解析几何加练课3对称及其应用学案新人教B版选择性必修第一册

加练课3 对称及其应用

自主检测·必备知识

一、概念辨析，判断正误

1.如果两条直线的倾斜角互补，那么这两条直线关于轴对称.(   √   )

2.若点，关于直线l对称，则直线与直线l垂直.(   ×   )

3.若直线，关于直线l对称，则直线，一定相交.(   ×   )

二、夯实基础，自我检测

4.点(2,1)关于直线对称的点的坐标为(      )

A. B.(1,3)

C.(3,-1)D.(-1,3)

答案：

5.与直线关于坐标原点对称的直线的方程为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：设所求直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称的点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即 .

6.已知点与关于直线对称，则直线的方程为(     )

A. B.

C.       D.

答案：

解析：线段的中点为，

与关于直线对称，，且斜率为1，

∴直线的方程为，即，故选D.

7.与直线关于对称的直线的方程是(     )

A.   B.

C. D.

答案：

解析：设所求直线上任意一点，是点关于直线的对称点，则解得由对称性得点在直线上，，即，故选A.

互动探究·关键能力

探究点一中心对称问题

精讲精练

例（1）求点关于点的对称点的坐标；

（2）求直线关于点(2,-1)的对称直线的方程.

答案：（1）根据题意可知点为线段的中点，

设点的坐标为，则根据中点坐标公式，得所以

所以点的坐标为 .

（2）设直线上任意一点M的坐标为，则此点关于点的对称点为，且在直线上，

所以，即 .

所以所求直线l的方程为 .

解题感悟

中心对称问题的解法：

（1）点关于点的对称问题：若两点关于点对称，则是线段的中点，并且

（2）直线关于点的对称问题：若两条直线，关于点对称，则：①上任意一点关于点P的对称点必在上，反过来，上任意一点关于点的对称点必在上；②过点作一直线与，分别交于，两点，则点是线段的中点；③若，则点到直线，的距离相等.

迁移应用

1.过点作直线，使它被直线和截得的线段被点平分，则直线的方程为 .

答案：

解析：设与的交点为，点关于点的对称点为，则解得则，由题意知，点B在上，代入的方程得，解得 .

即点在直线上，所以直线的方程为 .

探究点二轴对称问题

精讲精练

例（1）坐标原点(0,0)关于直线对称的点的坐标是(      )

A. B.

C. D.

（2）直线关于直线对称的直线的方程是 .

答案：（1）

（2）

解析：（1）设对称点的坐标为，则解得即所求点的坐标是 .

（2）设所求直线上任意一点，点关于的对称点为，

由解得

点在直线上，

，即 .

∴所求直线的方程为 .

解题感悟

轴对称问题的解法：

（1）点关于直线的对称问题：求关于的对称点，利用可以求点的坐标.（2）直线关于直线的对称问题：若两条直线，关于直线对称，则：①上任意一点关于直线l的对称点必在上，反过来，上任意一点关于直线l的对称点必在上；②过直线l上的一点且垂直于直线l作一直线与，分别交于点，，则点是线段的中点.

迁移应用

1.若点关于直线的对称点在轴上，则的值是(      )

A.或-2    B.或2   C.5或-5    D.4或-4

答案：

解析：点关于直线的对称点在轴上，可设其对称点为 .

则，，消去化为，解得或 .

2.已知直线， .若直线与关于对称，则的方程是(      )

A.    B.

C.    D.

答案：

解析：若直线与关于对称，则直线，的交点在直线上，设直线，的交点为，联立解得 .

在直线上任取一点(2,2)，易知其关于直线对称的点为，则点在直线上，

由，两点可知，直线的斜率，

则直线的方程为，即 .

探究点三对称的应用问题

精讲精练

例（1）（2021山东东营高二期末）设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是(     )

A.     B.

C.   D.

（2）（2020福建泉州科技中学高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马，再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(      )

A.   B.

C.   D.

答案：（1）（2）

解析：（1）因为入射光线关于的对称点都在反射光线上，

所以在入射光线上任取点，，这两个点关于直线的对称点是，则都在反射光线上，，

所以所求的直线方程是，整理为 .

（2）设点关于直线的对称点为 .

根据题意得为最短总路程，

易知的中点为，直线的斜率为1，故直线的方程为，即．

由，解得，，

，则，故，

则“将军饮马”的最短总路程为 .

解题感悟

（1）求入射光线或反射光线所在直线的方程，其实质是两条直线关于某直线的对称问题，或者为点关于直线的对称问题；

（2）“将军饮马”问题实质上是两点到直线上的点的距离之和的最小值问题，关键是能够利用点关于直线对称点的求解方法求得对称点，进而可知三点共线时，距离之和为最小值.

迁移应用

1.（2021山东临沂一中高二月考）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则(      )

A.，   B.，

C.，   D.，

答案：

解析：易知点(0,2)在直线上，且点(0,2)关于直线对称的点为(-2,0)，所以点(-2,0)在直线上，即，解得 .

易知点(0,-6)在直线上，且点(0,-6)关于直线对称的点为(6,0)，则点(6,0)在直线上，即，解得 .故选D.

2.（2020山东青州第一中学高二月考）已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为(      )

A.(-1,0)    B.

C.     D.(1,0)

答案：

解析：找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，如图.

此时最小，

由与关于x轴对称得，

又，

所以直线的方程为，

化简得，令，解得，

所以，故选D．

评价检测·素养提升

课堂检测

1.已知点，关于点对称，则点的坐标为(      )

A.          B.

C.(-2,-6)   D.(-6,-2)

答案：

2.点关于直线对称的点的坐标为(      )

A.(5,2)  B.(6,3)  C.(3,6)  D.(6,-3)

答案：

3.若光线从点射到轴上，经轴反射后经过点，则光线从点到点走过的路程为(      )

A.10   B.    C.    D.

答案：

素养演练

数学运算——利用对称解决最值问题

1.已知点，，，为坐标原点，分别在线段，上运动，则的周长的最小值为(      )

A.4        B.5

C.   D.

答案：

解析：易知过，两点的直线方程为，

设关于直线对称的点为，则解得

即，易知关于对称的点为，

当共线时，的周长取得最小值，为 .

素养探究：本题实质上是轴对称问题，根据题意分别求出关于直线对称的点关于对称的点，当共线时，的周长取得最小值.体现了数学运算的核心素养.