数学选修2-12.1曲线与方程教案

这是一份数学选修2-12.1曲线与方程教案，共8页。教案主要包含了学情分析，教学目标，教学重点，教学难点，课前准备，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】：
知识与技能
了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程
画出方程所表示的曲线
能利用曲线的方程研究曲线的性质
过程与方法
在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；
了解求点的轨迹方程的几种常用方法
体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.
情感态度与价值观
培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神
【教学重点】：求曲线方程的方法、步骤
【教学难点】：利用方程研究曲线的性质
【课前准备】：多媒体、实物投影仪
【教学过程设计】：
练习与测试：
1.由动点P向圆引两条切线、，切点分别为、，，动点轨迹方程是
2．已知A﹑B﹑D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0）， ||=2，= eq \f(1,2)(+).则E点的轨迹方程是 ；
3．已知点H（－6，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足当点P在y轴上移动时，则点M的轨迹方程为
4．求点P到点F（4，0）的距离比它到直线+5=0的距离小1的点的轨迹方程
5．过点P(2,4)作互相垂直的直线,，若交轴于A，交轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程
6．已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线
练习与测试解答：
1.
由圆的几何性质知、组成一个以，，且
的直角三角形，故，∴点轨迹方程为
2．x2+y2=1
解：设E(x，y)，= +，则四边形ABCD为平行四边形，而= eq \f(1,2)(+)，
∴E为AC的中点，∴OE为ΔABD的中位线，
∴||= eq \f(1,2)||=1，∴E点的轨迹方程是 x2+y2=1
3．（）
解：设点M的坐标为
由
由点Q在x轴的正半轴上，得. 故，所求点的轨迹方程为：（）
4．解：设P为所求轨迹上任意一点，
∵点P到F的距离比它到直线+5=0的距离小1.
故点P到F（4，0）的距离与点P到直线+4=0的距离｜PD｜相等
∴｜PF｜=｜PD｜
∴=｜-(-4)｜
∴
5．解法一：设M为所求轨迹上任一点，
∵M为AB中点，∴A（2,0),B(0,2),
∵⊥且,过点P（2，4），∴PA⊥PB ∴
∵=(x≠1),=
∴· =-1 即 +2-5=0(≠1)
当=1时，A（2，0）、B（0，4）,此时AB中点M的坐标为（1，2），它也满足方程+2-5=0.
∴所求点M的轨迹方程为+2-5=0
解法二：连结PM.
设M,则A（2,0),B(0,2)
∵⊥,∴△PAB为直角三角形
∴｜PM｜=｜AB｜
即
化简：+2-5=0
∴所求点M的轨迹方程为+2-5=0
6．解 以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0)
设M(x,y）是轨迹上任意一点
则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0
(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)
(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0 点M的轨迹是以(－，0）为圆心，为半径的圆
教学环节
教学活动
设计意图
一．复习、引入
1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。
二．坐标法与解析几何主要研究问题
1.坐标法
在笛卡尔以前，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较少，因为大家认识到二元方程的解都是不确定的 对于这种“不定方程”，除了有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的。笛卡尔却对对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命，他没有把看成是未知数，而是创造性地把看成是变量(从此，变量引入了数学)，让连续地变，则对每一个确定的的值，一般来说都可以从方程算出相应的值(这就是函数思想的萌芽) 然后，他把这些点的集合便构成了一条曲线C 由这样得出的曲线C和方程有非常密切的关系：曲线上每一个点的一对坐标都是方程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应的点都在曲线上 这就是说，曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系 这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线的研究 这种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法（就是借助于坐标系研究几何图形的方法）
2．解析几何的创立意义及其基本问题
在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫解析几何 它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科，产生于十七世纪初期，法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人 另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者 他们创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义：一是在数学中首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来了 解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域
3．平面解析几何研究的主要问题
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质
能过对数学史的介绍激发学生学习数学的兴趣。
三．例题
1．例2：设A、B两点的坐标分别是（－1,－1），（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程
解：如图设点M（x，y）是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是属于集合：
由两点间的距离公式，点M的条件可表求为：

上式两边平方，并整理得： ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程。
由求方程的过程可知，垂直平分线上的每一点的坐标都是方程①的解；
设点的坐标是方程①的解，
即 ，即
点到A、B的距离分别是
所以，即点M在线段AB的垂直平分线上
由（1）、（2）可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程
2．讨论，求简单的曲线方程的一般步骤是怎样的？
引导学生归纳求曲线的方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
一般地，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明。
3．例3：已知一条直线和它上方的一个点F，点F到的距离是2，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。

引导学生分析探索解题思路，由学生板演解题过程
解：如图，取直线为x轴，过点F且垂直于直线为y轴，建立坐标系xOy
设点M（x，y）是曲线上任意一点，作轴，垂足为B，则点M属于集合
由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为
①
将①式移项后两边平方，得
化简得
因为曲线在x轴的上方，所以．虽然原点的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是
（）
它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点．
学生通过讨论归纳，培养学生总结归纳能力及合作交流精神。
例题巩固。
五．练习
1．教科书P37 练习3
2．设A、B两点的坐标是(1，0)、(-1,0),若，求动点M的轨迹方程
解：设M的坐标为，M属于集合P=｛Ｍ｜｝.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为
，
整理后得 (≠±1)
下面证明 (x≠±1)是点M的轨迹方程
(1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程 (x≠±1)的解；
(2)设点的坐标是方程 (x≠±1)的解，
即，
∴
由上述证明可知，方程 (x≠±1)是点M的轨迹方程
说明：所求的方程后面应加上条件ｘ≠±１
六．小结
1.求简单的曲线方程的一般步骤
2.求动点的轨迹方程中的注意点：
（1）.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。
（2）.注意平面几何知识的运用。
（3）.注意要求是求轨迹方程还是轨迹
3.求点的轨迹的常用方法
1.直接法; 2.定义法（和几何法联系）
3.相关点法; 4.参数法
五、作业
教科书习题2.1 A组3、4、5 B组1、2