11.解析几何（Ｃ组） 2022版高考数学大题专项练含解析

  11．解析几何(C组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.已知抛物线τ：y2＝4x的焦点F恰好是椭圆C的一个焦点，点P在椭圆C上，且|PF|的最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过抛物线τ上的一点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线，求的值．【解析】(1)由已知得F，得c＝1.又的最大值为3，故a＋c＝3，即a＝2，b＝＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)若过点Q作椭圆C的两条切线分别与两坐标轴垂直，则Q此时点Q不在抛物线τ上．所以，切线的斜率必定存在，设Q，则过点Q的直线方程为y－y0＝k，联立，得x2－8kx＋4(kx0－y0)2－12＝0，由Δ＝0，得k2－2x0y0k＋y－3＝0，因为两条切线的斜率k1、k2是关于k的一元二次方程k2－2x0y0k＋y－3＝0的两个根，所以k1·k2＝＝－1，故x＋y＝7.联立，解得x0＝－2(舍负)，故＝x0＋1＝－1.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，抛物线y2＝－16x的准线l交x轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N.(1)求椭圆C的标准方程和点A的坐标；(2)若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；(3)设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【解析】(1)由题意，椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)过点(2，－1)，离心率为，可得＋＝1且e＝＝，又由c2＝a2－b2，解得a2＝8，b2＝2，即椭圆C的方程为＋＝1，又由抛物线y2＝－16x，可得准线方程为l：x＝4，所以A(4，0).(2)设N(x0，y0)，则M(，)，联立方程组，解得x0＝1，y0＝±，当M，N时，可得直线MN：y＝－(x－4)；当M，N时，可得直线MN：y＝(x－4)，所以直线MN的方程为y＝±(x－4).(3)设P(4，t)，Q(4，－t)，可得MN：x＝ky＋4，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组，整理得(k2＋4)y2＋8ky＋8＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝，则y1＋y2＝－ky1y2，又由直线PM：y＝x＋，QN：y＝x－，交点横坐标为x＝＝2，所以PM与QN的交点恒在直线x＝2上．