第二篇 专题五 第1课时 圆锥曲线中的最值、范围问题 2022版高考数学复习

专题五 解析几何解答题

第1课时　圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中的求值(方程)问题

【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.

(1)求C1的离心率；

(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．

【思维点拨】

【解析】(1)因为F是椭圆C1的右焦点，且AB⊥x轴，所以F(c，0)，直线AB的方程为x＝c，

联立得＝1－＝，

又因为a2＝b2＋c2，所以y2＝，

解得y＝±，则|AB|＝，

因为点F(c，0)是抛物线C2的焦点，

所以抛物线C2的方程为y2＝4cx，

联立解得

所以|CD|＝4c，因为|CD|＝|AB|，即4c＝，2b2＝3ac，即2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，

因为0＜e＜1，解得e＝，

因此，椭圆C1的离心率为.

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，

椭圆C1的方程为＋＝1，

联立消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0，

解得x＝c或x＝－6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|＝c＋c＝＝5，解得c＝3.因此，曲线C1的标准方程为＋＝1，曲线C2的标准方程为y2＝12x.

　若本例中，斜率为的直线(不过原点)与C2交于两点M，N，以MN为直径的圆过原点，试求直线l的方程．

【解析】设直线l的方程为：y＝x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得y2－8y＋8t＝0，

由题意Δ＝64－32t>0，所以t<2，且t≠0，

所以y1y2＝8t，x1x2＝yy＝t2，

因为以MN为直径的圆过原点，所以x1x2＋y1y2＝0，

所以t2＋8t＝0，

解得：t＝－18或t＝0(舍去)，

所以直线l的方程为y＝x－18，即3x－2y－36＝0.

　关于圆锥曲线中的求值(方程)问题

(1)与圆锥曲线有关的求值问题往往涉及求直线斜率及方程、圆的方程、弦长、面积等问题．

(2)解决求值(方程)问题时要注意基本方法的应用．如联立消元、根与系数的关系、向量向坐标的转化、弦长公式、中点弦中的点差法等．

提醒：设直线方程时要注意斜率不存在的情况；利用点差法时要注意直线与圆锥曲线相交的前提．

(2021·保定一模)已知F1，F2是椭圆E1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，曲线E2：y2＝4x的焦点恰好也是F2，O为坐标原点，过椭圆E1的左焦点F1作与x轴垂直的直线交椭圆于M，N，且△MNF2的面积为3.

(1)求椭圆E1的方程；

(2)过F2作直线l交E1于A，B，交E2于C，D，且△ABF1与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．

【解析】(1)因为曲线E2：y2＝4x的焦点恰好也是F2，所以椭圆中c＝1，2c＝2，

因为△MNF2的面积为3，所以MN＝3，

所以解得a＝2，c＝1，b＝，

所以椭圆的方程为＋＝1；

(2)因为O为F1，F2的中点，所以O到直线l的距离为F1到l距离的一半，

又因为△ABF1与△OCD的面积相等，所以CD＝2AB，因为F2(1，0)，设l的方程为y＝k(x－1)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

联立方程组

可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

由两点间距离公式可得，

AB＝|x1－x2|，

所以AB＝＝4－，联立方程组

可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

则x3＋x4＝2＋，x3x4＝1，

所以CD＝x3＋x4＋2＝4＋，

因为＝＝2，解得k＝±，

故直线l的斜率为±.

圆锥曲线中的最值问题

【典例2】(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.

(1)求p；

(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

【思维点拨】

【规范解答】(1)焦点F到x2＋(y＋4)2＝1的最短距离为＋3＝4，

所以p＝2.

(2)抛物线y＝x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由y＝x2得y′＝，

所以直线PA：y＝x1(x－x1)＋y1＝x1x－x＝x1x－y1，4分

同理可得直线PB：y＝x2x－y2，

且x＝－y－8y0－15.5分

直线PA，直线PB都过点P(x0，y0)，

则

故直线AB：y0＝x0x－y，

即y＝x0x－y0，6分

联立

得x2－2x0x＋4y0＝0，Δ＝4x－16y0. 7分

所以|AB|＝·＝·，

点P到AB的距离d＝，8分

所以S△PAB＝|AB|·d＝|x－4y0|·＝(x－4y0)＝(－y－12y0－15)，10分

而y0∈[－5，－3]，故当y0＝－5时，S△PAB达到最大，最大值为20.12分

　求解圆锥曲线中最值的两种方法

(1)几何法：利用曲线的定义、几何性质，平面几何中的性质、定理进行转化，再通过计算求最值；

(2)代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示成某一个参数的函数(解析式)，利用函数的单调性、不等式知识求最值．

提醒：利用函数的单调性求最值时，可以借助导数判断单调性；利用基本不等式求最值、一元二次函数配方求最值是常见的最值求法．

(2020·新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．

【解析】(1)由题意可知，直线AM的方程为：y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4.

当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4，

由椭圆C：＋＝1过点M(2，3)，

可得＋＝1，

解得b2＝12，

所以C的方程为＋＝1.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：x－2y＝m，

当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．

将x－2y＝m代入椭圆方程＋＝1，

化简可得：16y2＋12my＋3m2－48＝0，

所以Δ＝144m2－4×16＝0，

即m2＝64，解得m＝8或m＝－8(舍去)，

所以与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，

利用平行线之间的距离公式得：d＝＝，

|AM|＝＝3，

所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.

圆锥曲线中的范围问题

【典例3】(2021·新余二模)已知抛物线C：y2＝2x上一点P(2，2)，圆M：(x－4)2＋y2＝r2(0＜r≤)，过点P(2，2)引圆M的两条切线PA，PB与抛物线C分别交于A，B两点，与圆M的切点分别为E，F.

(1)当r＝时，求E，F所在直线的方程；

(2)记线段AB的中点的横坐标为t，求t的取值范围．

【思维点拨】

【解析】(1)由条件知M(4，0)，以线段PM为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝2，

而M：(x－4)2＋y2＝2，两圆相减得x－y－3＝0，即为E，F所在直线的方程；

(2)由题意知切线PA，PB的斜率存在，分别设为k1，k2，于是切线PA，PB的方程分别为y－2＝k1(x－2)，y－2＝k2(x－2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点M(4，0)到切线PA的距离为＝r，两边平方整理得(4－r2)k＋8k1＋4－r2＝0，同理可得(4－r2)k＋8k2＋4－r2＝0，于是可知k1，k2是方程(4－r2)k2＋8k＋4－r2＝0的两个实根，则k1＋k2＝，k1k2＝1.

又0＜r≤，所以k1＋k2∈[－4，－2).

联立消x，整理得k1y2－2y＋4－4k1＝0，显然k1≠0，

由根与系数的关系可知2y1＝，

所以y1＝＝－2＝2k2－2.

同理y2＝2k1－2.

于是t＝＝＝k＋k－2(k1＋k2)＋2＝(k1＋k2－1)2－1∈(8，24]，

所以t的取值范围是(8，24].

　求解范围的常用方法

(1)判别式法：构造含参数的一元二次方程，利用判别式求范围；

(2)函数法：将要求的量用已知参数表示出来，转化为关于这个参数的值域问题，利用函数性质、配方法、基本不等式法等求值域；

(3)不等式法：构造关于要求的参数的不等式，通过解不等式求范围．

(2021·枣庄二模)已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明其形状；

(2)过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ，PR(Q，R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E，F，求△NEF的面积S的取值范围．

【解析】(1)设M(x，y)，由＝，得

＝，

化简得x2＋y2＋2x－3＝0，

即(x＋1)2＋y2＝4，

故C是以(－1，0)为圆心，半径为2的圆；

(2)设曲线C的圆心为D，则以线段DP为直径的圆的方程为(x＋1)(x－3)＋(y－0)(y－p)＝0，

整理可得x2＋y2－2x－py－3＝0…①

又Q，R在以DP为直径的圆上，

且Q，R在C上：x2＋y2＋2x－3＝0…②

②－①得：4x＋py＝0，所以，切点弦QR所在直线的方程为4x＋py＝0，

可见QR恒过原点O(0，0)，

联立方程

消去x整理可得：(16＋p2)y2－8py－48＝0，

设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则y1＋y2＝，

点N的纵坐标yN＝＝，

因为p≠0，显然yN≠0，

所以点N与点D(－1，0)，O(0，0)均不重合，

因为N为弦QR的中点，且D(－1，0)为C的圆心，

由圆的性质可得DN⊥QR，即DN⊥ON，

所以点N在以OD为直径的圆上，

圆心为G，半径为r＝，

因为直线3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E，F，

所以E(2，0)，F，因此|EF|＝，

圆心G到直线3x＋4y＝6的距离d＝＝，

设△NEF的边EF上的高为h，则点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最小值为d－r＝－＝1，

点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最大值为d＋r＝＋＝2，

所以S的最小值为Smin＝××1＝，

S的最大值为Smax＝××2＝，

所以△NEF的面积S的取值范围为.