高考数学考前必备考前提分必备讲义

高中数学30个易错点　易错点1 判断函数奇偶性时忽视定义域【问题1】　判断函数y＝的奇偶性。[错解]　原函数即y＝，所以为奇函数。[剖析]　只关注解析式化简，忽略定义域。[正解]　非奇非偶函数。【问题2】　判断函数f(x)＝＋的奇偶性。[错解]　因为f(－x)＝f(x)，所以为偶函数。[剖析]　不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。[正解]　既是奇函数又是偶函数。 　函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；如果对定义域内任意x都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；如果定义域内存在x0使f(－x0)≠－f(x0)，则f(x)不是奇函数；如果定义域内存在x0使f(－x0)≠f(x0)，则f(x)不是偶函数。易错点2  解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论【问题】　函数f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围。[错解]　由Δ＝0解得m＝0或m＝－3。[剖析]　知识残缺，没有分类讨论意识，未考虑m－1＝0的情况。[正解]　{－3,0,1} 在函数y＝ax2＋bx＋c中，当a≠0时为二次函数，其图象为抛物线；当a＝0，b≠0时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意x2项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：ax2＋bx＋c>0的解集为R⇔a>0，Δ<0或a＝b＝0，c>0；ax2＋bx＋c>0的解集为∅⇔a<0，Δ≤0或a＝b＝0，c≤0。 易错点3 用函数图象解题时作图不准确【问题】　求函数f(x)＝x2的图象与函数f(x)＝2x的图象的交点个数。[错解]　两个[剖析]　忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。[正解]　三个 　 “数形结合”是重要的数学思想方法之一，因其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点，颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。 易错点4 忽视转化的等价性【问题1】　已知方程mx2－3x＋1＝0有且只有一个根在区间(0,1)内，求实数m的取值范围。[错解]　因为方程mx2－3x＋1＝0有且只有一个根在区间(0,1)内，所以函数y＝mx2－3x＋1的图象与x轴在(0,1)内有且只有一个交点，所以f(0)f(1)<0，解得m<2。[剖析]　知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到m＝0，Δ＝0及Δ>0时f(1)＝0的情况。[正解]　m＝或m∈(－∞，2]【问题2】　函数y＝e|ln x|－|x－1|的图象大致是(　　)[错解一]　C[剖析]　在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。[错解二]　B[剖析]　在图象变换过程中出错，搞错平移方向。[正解]　D 等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。易错点5 分段函数问题【问题1】　已知函数f(x)＝是R上的增函数，求实数a的取值范围。[错解]　(1,2)[剖析]　知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视f(x)在分界点附近函数值的大小关系。[正解]　【问题2】　设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，求关于x的方程f(x)＝x解的个数。[错解]　两个[剖析]　基础不实，没有分类讨论意识，未能将方程f(x)＝x分两种情况来解。[正解]　三个 与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值的变化情况。易错点6  误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系【问题】　函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，求a，b的值。[错解]　由f(1)＝10，f′(1)＝0，解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3。[剖析]　对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把f(x0)为极值的必要条件当作充要条件。[正解]　a＝4，b＝－11。 在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是f′(x0)＝0且f′(x)在x0两侧异号。 易错点7 对“导数值符号”与“函数单调性”的关系理解不透彻【问题】　若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，求实数a的取值范围。[错解]　由f′(x)＝3ax2－1<0在R上恒成立，所以解得a<0。[剖析]　概念模糊，错把f(x)在某个区间上是单调递增(减)函数的充分条件当成充要条件。事实上当a＝0时也满足题意。[正解]　a≤0 一个函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大(小)于0仅为该函数在此区间上单调递增(减)的充分条件。 易错点8  由Sn求an时忽略对“n＝1”检验【问题】　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－n＋1，求an。[错解]　由an＝Sn－Sn－1解得an＝2n－2。[剖析]　考虑不全面，错误原因是忽略了an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，实际上当n＝1时就出现了S0，而S0是无意义的，所以使用an＝Sn－Sn－1求an，只能表示第2项以后的各项，而第1项能否用这个an表示，尚需检验。[正解]　an＝　在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间的关系如下：an＝在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列{an}中an与Sn的关系时，先令n＝1求出首项a1，然后令n≥2求出通项an＝Sn－Sn－1，最后代入验证。 易错点9 忽视两个“中项”的区别【问题】　b2＝ac是a，b，c成等比数列的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[错解]　C[剖析]　思维不缜密，没有注意到当b2＝ac时，a，b，c可能为0。[正解]　B 若a，b，c成等比数列，则b为a和c的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项，“b2＝ac”仅是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。易错点10  等比数列求和时忽视对q的讨论【问题】　在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，且S3＝3a3，求它的公比q。[错解]　S3＝＝3a3，解得q＝－。[剖析]　知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q是否等于1进行讨论，导致失误。[正解]　q＝－或q＝1 与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项及公比均不为0，等比数列的前n项和Sn为分段函数，其中当q＝1时，Sn＝na1。而这一点正是我们解题中容易忽略的。  易错点11 用错了等差、等比数列的相关公式与性质   【问题】　已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和Sn。[错解一]　170[剖析]　基础不实，记错性质，误以为Sm，S2m，S3m成等差数列。[错解二]　130[剖析]　基础不实，误以为Sm，S2m，S3m满足S3m＝Sm＋S2m。[正解]　210 等差、等比数列各自有一些重要公式和性质，这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。易错点12 用错位相减法求和时项数处理不当【问题】　求和Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an－1。[错解]　Sn＝＋[剖析]　①考虑不全面，未对a进行讨论，丢掉a＝1时的情形。②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。③将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。[正解]　Sn＝如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分：①原来数列的第一项；②一个等比数列的前n－1项和；③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共n项，有时只有(n－1)项。另外，如果公比为字母需分类讨论。易错点13 求解时忽略角的范围【问题1】　在△ABC中，sin A＝，cos B＝，求cos A，sin B的值。[错解]　cos A＝±，sin B＝±[剖析]　基础不实，忽视开方时符号的选取。[正解]　cos A＝，sin B＝【问题2】　在△ABC中，A，B为锐角，且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值。[错解]　先求出sin(A＋B)＝，因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝或。[剖析]　知识残缺，由于A，B为锐角，所以A＋B∈(0，π)。又由于正弦函数在(0，π)上不是单调函数，所以本题不宜求sin(A＋B)，宜改求cos(A＋B)或tan(A＋B)。[正解]　A＋B＝【问题3】　在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝，求角A。[错解]　用正弦定理求得sin A＝，所以A＝或。[剖析]　基础不牢，忽视隐含条件b>a出错。[正解]　A＝三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”易错点14 求关于sin x，cos x的最值时忽视正、余弦函数值域【问题】　已知sin x＋sin y＝，求sin y－cos2x的最大值。[错解]　令t＝sin x，得sin y－cos2x＝t2－t－(－1≤t≤1)，通过配方、作图解得sin y－cos2x的最大值为。[剖析]　本题虽注意到sin x的值域，但未考虑到sin x与sin y相互制约，即由于－1≤sin y≤1，所以sin x必须同时满足[正解]　 求关于sin x，cos x最值的常规方法是通过令t＝sin x(或cos x)将三角函数的最值问题转化为关于t的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，t只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。 易错点15 三角函数单调性判断失误【问题】　已知函数y＝cos，求它的单调递减区间。[错解]　(k∈Z)[剖析]　概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。应化成y＝cos求解。[正解]　(k∈Z) 对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)来说，当ω>0时，由于内层函数u＝ωx＋φ是单调递增的，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性与函数y＝sin x的单调性相同，故可完全按照函数y＝sin x的单调性来解决；但当ω<0时，内层函数u＝ωx＋φ是单调递减的，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性与函数y＝sin x的单调性正好相反，就不能按照函数y＝sin x的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。 易错点16  对图象变换的方向把握不准【问题】　要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos的图象(　　)A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位[错解一]　C[剖析]　知识残缺，未将函数化成同名函数。[错解二]　D[剖析]　基础不牢，弄错了平移方向。[正解]　A 图象的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，y＝sin x→y＝sin(x＋φ)平移的量为|φ|，y＝sin x→y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)平移的量为。易错点17 解含参数不等式时分类讨论不当【问题】　解关于x的不等式|2x－1|≤a－2。[错解一]　原不等式等价于－(a－2)≤2x－1≤a－2，解得－＋≤x≤－。[剖析]　基础不实，直接利用绝对值不等式的解集公式，而忽视对a－2进行分类讨论。[错解二]　当a－2<0时，原不等式不成立。当a－2>0时，原不等式等价于－(a－2)≤2x－1≤a－2，解得－＋≤x≤－。[剖析]　技能不熟，没有对a－2＝0进行讨论。[正解]　当a－2<0时，不等式的解集是∅；当a－2≥0时，不等式解集是。含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。易错点18 忽视均值不等式应用条件【问题1】　若x<0，求函数f(x)＝x＋的最值。[错解]　当x＝时，f(x)取得最小值2。[剖析]　基础不扎实，基本不等式a＋b≥2成立的条件为a>0，b>0，本题中x<0，不能直接使用公式。[正解]　最大值为－2，无最小值。【问题2】　设0<x<π，求函数f(x)＝sin x＋的最小值。[错解]　f(x)＝sin x＋≥2＝4。[剖析]　知识残缺，因为上述解法取等号条件是sin x＝，sin x＝±2，而这是不可能的。[正解]　最小值为5。【问题3】　设a>0，b>0，且a＋b＝1，求函数f(x)＝＋的最小值。[错解]　因为＋＝(a＋b)≥2·2＝4，所以函数f(x)的最小值为4。[剖析]　技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但两次使用均值不等式时取等号的条件不一样，因此取不到4。[正解]　最小值为5＋2 均值不等式a＋b≥2(a>0，b>0)取等号的条件是“一正，二定，三相等”。在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是：①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；②若是a>0，b>0不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。易错点19 空间点、线、面位置关系不清【问题】　给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。其中为真命题的是(　　)A．①和②  B．②和③C．③和④  D．②和④[错解]　A[剖析]　①空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断；②空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。[正解]　D 空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如教室、课桌、灯管)作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。易错点20 平行关系定理使用不当【问题】　正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且＝，给出下列四个命题：①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面PAC。正确选项为(　　)A．①②  B．①④C．②③  D．③④[错解]　B[剖析]　空间线面关系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC内而导致错误。[正解]　C 证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。如在证明直线a∥平面α时，不能忽略直线a在平面α外。证明有关线线，线面，面面平行时使用定理应注意找足条件，书写规范，推理严谨。易错点21  利用空间向量求线面角的常见错误【问题】　如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的余弦值。[剖析]　本题在求得平面DCEF的一个法向量＝(0,0,2)及＝(－1,1，－2)后，可得cos〈，〉＝＝－。可能错误地认为直线MN与平面DCEF所成角的余弦值为－或。[正解]　若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|。容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。 易错点22 二面角概念模糊【问题】　如图，四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°。(1)证明：M是侧棱SC的中点；(2)求二面角S­AM­B的余弦值。[剖析]　本题在求得平面SAM，平面MAB的法向量a＝(，1,1)，b＝(，0,2)，然后计算出cos〈a，b〉＝；接着可能错误地以为二面角S­AM­B的余弦值为，其实本题中的二面角是钝角，〈a，b〉仅为其补角。[正解]　－若两个平面的法向量分别为a，b，两个平面所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|；若两个平面所成二面角为钝角，则cos θ＝－|cos〈a，b〉|。总之，在解此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为：①建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有：①不会将空间问题转化为向量问题；②不会建系，不会用向量表示直线；③计算错误；④使用定理出错；⑤书写不规范。  易错点23 忽视圆的一般式方程成立的条件【问题】　已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，过A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围。[错解]　因为过A(1,2)作圆的切线有两条，所以点A在圆外，所以a2＋a＋9>0，所以a∈R。[剖析]　技能不熟，忽视圆的一般式方程成立的充要条件。[正解]　a∈ 在关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，当D2＋E2－4F>0时，表示一个圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形。x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0仅仅是曲线为圆的一个必要不充分条件，在判断曲线x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0类型时，判断D2＋E2－4F的符号至关重要，这也是考生易错点之一。 易错点24  忽视圆锥曲线定义中的限制条件【问题1】　已知定点F1(－3,0)，F2(3，0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是(　　)A．|PF1|＋|PF2|＝4B．|PF1|＋|PF2|＝6C．|PF1|＋|PF2|＝10D．|PF1|2＋|PF2|2＝12[错解]　A[剖析]　概念模糊，由于|F1F2|＝6，所以A选项无轨迹，B选项的轨迹为线段F1F2。[正解]　C【问题2】　说出方程－＝8表示的曲线。[错解]　双曲线[剖析]　知识残缺，－＝8表示动点P(x，y)到定点F1(－6,0)，F2(6,0)的距离之差为8，且|PF2|>|PF1|，所以轨迹为以F1(－6,0)，F2(6,0)为焦点，实轴长为8的双曲线的左支。[正解]　轨迹为以F1(－6,0)，F2(6,0)为焦点，实轴长为8的双曲线的左支。 在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于|F1F2|。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加绝对值，如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错。易错点25 确定椭圆标准方程时忽视“定位”分析【问题】　若椭圆＋＝1的离心率e＝，求m的值。[错解]　a2＝5，b2＝m，所以c2＝5－m，又e＝，所以m＝3。[剖析]　技能不熟，没有考虑到焦点在y轴上的情形。[正解]　m＝3或m＝ 确定椭圆标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式；若情况不明，应对参数进行讨论。“定量”则是指确定a2，b2的值，常用待定系数法求解。易错点26 利用双曲线定义出错【问题】　双曲线－＝1上一动点P到左焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为________。[错解]　由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝4，所以|PF2|＝10或|PF2|＝2。[剖析]　定位出错，没有弄清楚点P是在双曲线的哪一支上，P应在双曲线左支上。[正解]　10 利用双曲线定义要考虑双曲线的两支，若P为双曲线左支上的点，则|PF1|的最小值为c－a，若P为双曲线右支上的点，则|PF1|的最小值为c＋a。易错点27 确定与抛物线有关的最值问题时忽视定点位置【问题】　已知定点A(2,5)，F为抛物线y2＝4x的焦点，P为抛物线上的动点，求|PA|＋|PF|的最小值。[错解]　因为P为抛物线上的动点，所以|PF|即为P到准线的距离，所以|PA|＋|PF|的最小值为2＋＝3。[剖析]　审题出错，误认为点A在抛物线的内部，得到|PA|＋|PF|的最小值就是A到准线的距离。实际上点A(2,5)在抛物线的外部，所以|PA|＋|PF|的最小值为|AF|＝＝。[正解]　 求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法：①具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理；②不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错。易错点28 互斥事件与对立事件关系模糊【问题】　某城市有甲报与乙报两种报纸供居民订阅。记事件A＝“只订甲报”，B＝“至少订一种报”，C＝“至多订一种报”，D＝“不订甲报”，E＝“一种报也不订”。判断下列事件是不是互斥事件？如果是互斥事件，再判断是不是对立事件。①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤E与C。[错解]　④是互斥事件，也是对立事件。[剖析]　识记错误，两类事件的概念不清。[正解]　②是互斥事件，也是对立事件。  “互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次试验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。易错点29 使用概率加法公式没有注意成立条件【问题】　投掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“朝上一面的点数为奇数”，B＝“朝上一面的点数不超过3”，求P(A＋B)。[错解]　P(A)＝，P(B)＝，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1。[剖析]　概念模糊，未验证公式成立条件。[正解]　 概率加法公式是指当事件A，B为互斥事件时，则有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，否则只能使用一般的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)。解此类题关键是要分清已知事件是由哪些互斥事件组成的，然后代入公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解，若已知事件不能分解为几个互斥事件的和，则只能代入一般的概率加法公式。易错点30 运用古典概型概率公式解题时计数出错【问题】　一个口袋中有大小相同的3个黑球和2个白球，从中不放回地依次摸出2个，求其中含有黑球的概率。[错解]　“含有黑球”的对立事件是“全为白球”，所以含有黑球的概率P＝1－＝。[剖析]　计数出错，计算基本事件总数时考虑“顺序”，而求事件 “全为白球”包含的基本事件的个数时没考虑“顺序”。[正解]　含有黑球的概率P＝1－＝。 运用古典概型的概率公式解题时，需确定全部基本事件的个数，及所求事件A包含的基本事件数，然后代入公式为P(A)＝＝。为此，计数是解题的关键，求解时：①要分清是“分类”还是“分步”，分类时要不重不漏，分步时要注意连续性；②要分清“有序”还是“无序”，有序用排列，无序用组合；③要分清“放回”还是“不放回”。提分攻略一　解三角形必备的三种意识 “解三角形”的总体难度适中，入手比较容易，但在具体解决问题时，学生易出现“会而不对，对而不全”的情况。主要表现为：公式记忆不准确；在三角函数公式变形中转化不当，导致后续求解复杂或运算错误；忽视三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围等，基于以上误区，解决此类问题要强化以下三个意识。意识一 边角互化【例1】　在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2。(1)若2sin C＝3 sin A，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。【解】　(1)因为2sin C＝3sin A，由正弦定理得2c＝3a，又因为c＝a＋2，所以所以b＝5。所以cos C＝＝，sin C＝，所以S△ABC＝×4×5×＝。(2)显然c>b>a，要使△ABC为钝角三角形，则只需C为钝角。所以cos C＝<0，即a2－2a－3<0。所以0<a<3，又a＋b>c，即a＋a＋1>a＋2⇒a>1。所以1<a<3，因为a∈N*，所以a＝2，所以存在正整数a＝2满足题意。 正弦定理、余弦定理应用的主要功能是实现三角形中的边角互化。一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的齐次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理是否都要应用。正弦定理、余弦定理的灵活应用需深入领会化归与转化思想，需要在解题中多归纳、多总结，抽象概括，总结方法规律。涉及应用正弦定理、余弦定理的还有一种题型是判断三角形的形状，通常从两个方向进行变形：一个方向是边，考虑代数变形，通常正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，考虑三角变形，通常运用正弦定理。意识二 函数与方程思想的应用【例2】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝7，sin C＝。(1)若cos B＝，求b的值；(2)若a＋b＝11，求△ABC的面积。【解】　(1)在△ABC中，因为cos B＝，且B∈(0，π)，所以sin B＝，根据正弦定理＝，及c＝7，sin C＝，解得b＝5。(2)在△ABC中，因为sin C＝，所以cos C＝±。当cos C＝时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，及a＋b＝11，c＝7。得49＝121－2ab－，所以ab＝30，(解方程)所以解得或(解方程组)所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝6。当cos C＝－时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，及a＋b＝11，c＝7，得ab＝45，此时方程组无解。(解方程组)综上，△ABC的面积为6。 三角函数是一种重要的初等函数，函数与方程是高中数学的重要思想方法之一，在解决解三角形问题时常常用到该思想方法。对于求值(或最值)问题，也要求学生具有较强的函数与方程意识，构建未知量的函数与方程关系从而解决问题。同时，利用函数、方程、不等式解题时要注意变量范围的限制，要特别注意对一些隐含条件的挖掘，缩小角的取值范围。意识三 厘清图形【例3】　已知四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，E为AB上一点，AC与DE相交于点F，若DF＝2FE，求的值。【解】　如图，因为AB＝，BC＝1，所以∠CAB＝，∠DAC＝。(画出示意图)在△ADF中，＝，所以sin∠ADF＝·sin∠DAF。在△AEF中，＝，所以sin∠AEF＝·sin∠EAF。所以＝＝＝2×＝。 对于上述问题的解答，应先厘清图形中边、角的关系，将已知条件抽象概括后，一般有两个方向：①把已知量全部集中在一个三角形中，利用正弦定理、余弦定理求解；②若已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，先考虑解条件充分的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)。 提分攻略二　三角函数的最值与范围问题三角函数的最值是高考经久不衰的热点，常与三角恒等变换、正余弦定理相结合考查。主要解题策略有：(1)化简三角函数式，利用三角函数的图象与性质，特别是三角函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性；(2)转化为二次函数；(3)利用基本不等式。策略一 利用三角函数的图象与性质【例1】　已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x，若f(x)在区间上的最大值为，则m的取值范围是________。【解析】　f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋。由题意－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－。要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1。所以2m－≥，即m≥。【答案】　 形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求最值。 【例2】　将函数f(x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围为(　　)A.   B.C.   D.【解析】　f(x)＝cos x向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象，再将各点横坐标变为原来的(ω>0)得g(x)＝cos，当x∈时，ωx－∈，又此时g(x)的值域为，所以0≤－≤，所以≤ω≤。【答案】　A 本题利用三角函数图象确定ω的取值范围。策略二 利用二次函数【例3】　若函数y＝sin2x＋acos x＋a－在上的最大值是1，则实数a的值为________。【解析】　y＝1－cos2x＋acos x＋a－＝－2＋＋a－。因为0≤x≤，所以0≤cos x≤1。①若>1，即a>2，则当cos x＝1时，ymax＝a＋a－＝1⇒a＝<2(舍去)；②若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1，所以a＝或a＝－4<0(舍去)；③若<0，即a<0，则当cos x＝0时，ymax＝a－＝1⇒a＝>0(舍去)。综上可得，a＝。【答案】　  本题换元后转化为二次函数，注意二次函数对称轴取值的讨论。策略三 利用基本不等式【例4】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，则tan B的最大值是________。【解析】　在△ABC中，因为3acos C＋b＝0，所以C为钝角，由正弦定理得3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0，3sin Acos C＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，所以4sin Acos C＝－cos Asin C，即tan C＝－4tan A。因为tan A>0，所以tan B＝－tan(A＋C)＝－＝＝＝≤＝，当且仅当tan A＝时取等号，故tan B的最大值是。【答案】　 本题借助三角恒等变换及三角形的特征，将tan B转化为关于tan A的函数，再利用基本不等式求得最值  提分攻略三　平面向量问题处理的常规策略由于向量集形数于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，故解决向量问题时应具有多种意识。策略一 利用定义求解定义法是解决相关问题的最基本的方法。对向量来说，知道了“模”和“夹角”，内积就知道了。【例1】　已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________。【解析】　解法一：由题意可知A，B，C三点构成直角三角形。于是，根据内积定义可得·＝||||·cos〈，〉＝3×4×cos 90°＝0；·＝||·||cos〈，〉＝4×5×＝－16；·＝||||cos〈，〉＝3×5×＝－9；所以·＋·＋·＝－25。解法二：由于＋＋＝0，平方可得(＋＋)2＝(0)2＝0；左边展开得2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝0；所以2(·＋·＋·)＝－(2＋2＋2)＝－(32＋42＋52)＝－50；所以·＋·＋·＝－25。【答案】　－25 策略二 利用基底求解所谓基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求的两个向量转化为题中已知的两个不共线向量来求解。【例2】　如图，在△ABC中，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，＝3，则||＝________。【解析】　已知AB，AC的长，故选，为基底比较恰当。因为＝＋＝－＋，而＝＋＝＋，＝－，所以＝－＋⇒2＝2＝2＋2－·＝。所以||＝。【答案】　策略三 利用坐标求解所谓坐标法就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解。事实上，基底法中的例题也可以用坐标法处理，坐标法有时更能解决较为复杂的问题。【例3】　在直角△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P是线段CD的中点，则＝________。【解析】　题设中有直角，可置于直角坐标系中，如图所示。设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，则D，P，所以||2＝2＋2＝＋，||2＝2＋2＝＋，||2＝2＋2＝＋，所以||2＋||2＝＋＋＋＝10＝10||2，所以＝10。【答案】　10策略四 利用代数化求解所谓代数化就是利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决问题。体现等价转化的思想。【例4】　已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a与b的夹角的大小是________。【解析】　本题运用数量积进行转化。设向量a与b的夹角为θ，由|a＋xb|2≥|a＋b|2⇒a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2，又有|a|＝⇒a2＝2，|b|＝1⇒b2＝1，a·b＝cos θ，代入不等式并整理得x2＋2xcos θ－2cos θ－1≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(2cos θ)2＋4(2cos θ＋1)≤0，即(cos θ＋1)2≤0，即cos θ＝－，而θ∈[0，π]，故θ＝。【答案】　策略五 利用平面几何性质求解所谓几何法就是把向量问题利用平面几何的思想和方法，转化为几何问题，再用几何方法解决。几何法中有几个基本的问题必须十分清楚，共线问题、共点问题、构造三角形、解三角形等等。【例5】　AB是单位圆上的弦，P为单位圆上的动点，设f(λ)＝|－λ|的最小值为M，若M的最大值为，则||的值等于________。【解析】　解法一：(几何意义法)设λ＝，则f(λ)＝|－λ|＝|－|＝||。因为λ＝，所以点C在直线AB上，所以f(λ)的最小值M为点P到直线AB的距离。因为Mmax＝，所以||＝2＝。解法二：(定义法)设||＝a，||＝b，||＝p，则f2(λ)＝|－λ|2＝(－λ)2＝λ22－2λ·＋2，所以M2＝＝＝||2－||2cos2B＝||2(1－cos2B)＝||2sin2B，所以M＝||sin B＝asin B。而单位圆是△ABP的外接圆，所以由正弦定理得＝＝＝2R＝2⇒sin B＝，所以M＝asin B＝＝≤，当且仅当a＝b时取等号，即Mmax＝，即Mmax＝＝，所以a＝b＝，从而有sin A＝sin B＝，即A＝B＝；所以∠APB＝，所以sin∠APB＝，即＝，即p＝，即||＝。【答案】　 提分攻略四　向量解题的2个结论结论一 向量的极化恒等式a·b＝2－2。变式：a·b＝－，a·b＝－。如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2。【例1】(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点。·＝4，·＝－1，则·的值为________。【解析】　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n。根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4，·＝2－2＝n2－m2＝－1。联立方程解得n2＝，m2＝。因此·＝2－2＝4n2－m2＝。即·＝。【答案】　(2)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是________。【解析】　由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2。当弦MN的长度最大时，MN为球的直径。设内切球的球心为O，则·＝2－2＝2－1。由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0,2]。【答案】　[0,2] 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题。结论二 奔驰定理定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0。由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”。这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用。【例2】　(1)点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为(　　)A．2∶1  B．3∶2C．3∶1  D．5∶3【解析】　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3。所以S△ABC∶S△APC＝3∶1。【答案】　C(2)点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　)A.，  B.，C.，  D.，【解析】　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，整理得＝＋。故选A。【答案】　A(3)设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图。若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________。【解析】　根据奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，平方得2＝4x22＋4y22＋8xy||·||·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以||＝||＝||，且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，又(x＋y)2＝＋xy≤＋2，解得0<x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号，所以(x＋y)max＝。【答案】　  “奔驰定理”与三角形“四心”已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：①若O为△ABC的重心，则＋＋＝0。②若O为△ABC的外心，则sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0。 ③若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0。备注：若O为△ABC的内心，则sin A·＋sin B·＋sin C·＝0也对。④若O为△ABC的垂心，则tan A·＋tan B·＋tan C·＝0。  提分攻略五　数列的新定义、新情境、交汇问题数列中的创新问题，体现了高考从能力立意到素养提升的命题导向，常见的命题形式有以新定义或新情境包装的数列问题，以及数列与不等式、函数零点等问题相交汇的新题型问题，此类题的难度为中档或中偏高档，意在考查创新意识，以及数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养。类型一 数列的新定义问题【例1】　对于数列{an}，若存在i，j(1≤i<j)，使得ai＝aj，则删去aj，依此操作，直到所得到的数列没有相同项，将最后得到的数列称为原数列的“基数列”。若an＝cos，则数列{an}的“基数列”的项数为________。【解析】　由题意知{an}的“基数列”的项数即an＝cos的不同的取值个数。由周期性知，只需考虑0<≤2π的情况即可，此时0<n≤19，且n∈N，所以n一共有19个取值。故只需分析a1＝cos，a2＝cos，a3＝cos，…，a18＝cos，a19＝cos。由cos(2π－θ)＝cos θ，得a18＝cos＝cos＝a1，a17＝cos＝cos＝a2，…，a10＝cos＝cos＝a9，即an不同的取值个数一共为19－9＝10(个)。故所求“基数列”为a1，a2，…，a9，a19，共10项。【答案】　10 求解新定义数列题的关键是读懂新定义数列的特征，如本题新定义“基数列”，分析“基数列”的特点，各项都不相同，按新定义的“基数列”要求，“照章办事”，再利用余弦函数的周期性和函数图象的对称性，即可使问题得到解决。类型二 数列的新情境问题【例2】　唐代诗人卢纶有一首名为《和张仆射塞下曲·其三》的诗：“月黑雁飞高，单于夜遁逃。欲将轻骑逐，大雪满弓刀。”当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归。月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：Fn＝22n＋1(n＝0,1,2，…)是质数。直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641×6 700 417，不是质数。假设an＝log2[log2(Fn－1)](n＝1,2，…)，bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝________。【解析】　把Fn＝22n＋1代入an＝log2[log2(Fn－1)]，得an＝log2[log2(22n＋1－1)]＝log22n＝n，则bn＝＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝1－＝。【答案】　 本题以唐诗及费马猜想为背景设计数列求和试题，考查了学生的阅读理解能力和计算能力。   类型三 数列与函数、导数的交汇问题【例3】　数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，且a2，a4 038是函数f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，则a2 020的值为(　　)A．4   B．－4C．4 038   D．－4 038【解析】　因为a2，a4 038是函数f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，即a2，a4 038是方程x2－8x＋3＝0的两个根，所以a2＋a4 038＝8。又2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列，故a2＋a4 038＝2a2 020＝8，所以a2 020＝4。故选A。【答案】　A 本题以函数零点为背景，引进数列的递推公式，其实质是考查等差数列的定义和性质。求解的关键是先把函数零点转化为方程的根，然后根据根与系数的关系，即可得出两指定项的和，再利用等差数列的性质，即可求出a2 020的值。【例4】　设函数f(x)＝＋sin x的所有正的极大值点从小到大排成的数列为{xn}。(1)求数列{xn}的通项公式；(2)令bn＝，Sn是数列{bn}的前n项和，记cn＝，若{cn}是等差数列，求非零常数c。【解】　(1)令f′(x)＝＋cos x＝0，则x＝2kπ±π，k∈Z，当f′(x)>0时，2kπ－π<x<2kπ＋π，k∈Z，当f′(x)<0时，2kπ＋π<x<2kπ＋π，k∈Z，所以当x＝2kπ＋π，k∈Z时，函数f(x)取得极大值，所以xn＝2(n－1)π＋π，n∈N*。(2)由(1)得bn＝＝，n∈N*，所以Sn＝＝n2－n，n∈N*。解法一：若{cn}是等差数列，令cn＝＝An＋B，则n2－n＝(An＋B)(2n＋c)＝2An2＋(Ac＋2B)n＋Bc，所以解得所以c＝－。解法二：若{cn}是等差数列，则2c2＝c1＋c3，即2×＝＋，整理得3c2＋2c＝0，又c≠0，所以c＝－。当c＝－时，cn＝＝，故cn＋1－cn＝(常数)。故{cn}是等差数列，符合题意。 本题以函数极值的求法为背景考查了数列的通项公式及等差数列的定义与证明。 提分攻略六　数列的奇、偶项问题数列的奇偶项问题是高考对数列的能力考查，其一般思路是将数列按奇偶项进行单独研究，利用新数列的特征求解原数列。【例1】　(1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)A．200  B．－200C．400  D．－400【解析】　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200。【答案】　B(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*。①令bn＝a2n－1，判断{bn}是否为等差数列，并求数列{bn}的通项公式；②记数列{an}的前2n项和为T2n，求T2n。【解】　①因为[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，所以[3＋(－1)2n－1]a2n＋1－2a2n－1＋2[(－1)2n－1－1]＝0，即a2n＋1－a2n－1＝2，又bn＝a2n－1，所以bn＋1－bn＝a2n＋1－a2n－1＝2，所以{bn}是以b1＝a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*。②对于[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，当n为偶数时，可得(3＋1)an＋2－2an＋2×(1－1)＝0，即＝，所以a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列；当n为奇数时，可得(3－1)an＋2－2an＋2×(－1－1)＝0，即an＋2－an＝2，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝n2＋1－，n∈N*。 　对于通项公式分奇、偶的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k。 【例2】　已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n·n，若对任意的正整数n，使得(an＋1－p)·(an－p)<0恒成立，则实数p的取值范围是________。【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)nn－(－1)n－1(n－1)＝(－1)n(2n－1)。又n＝1时，a1＝－1，满足an＝(－1)n(2n－1)，所以an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)。因为对任意的正整数n，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，所以[(－1)n＋1(2n＋1)－p]·[(－1)n(2n－1)－p]<0。①当n是正奇数时，化为[p－(2n＋1)][p＋(2n－1)]<0，解得1－2n<p<2n＋1，因为对任意的正奇数n都成立，所以取n＝1，可得－1<p<3。②当n是正偶数时，化为[p－(2n－1)][p＋(1＋2n)]<0，解得－1－2n<p<2n－1。因为对任意的正偶数n都成立，所以取n＝2，可得－5<p<3。联立解得－1<p<3。所以实数p的取值范围是(－1，3)。【答案】　(－1,3) 当数列的通项公式是含有(－1)n的关系式时，要对n进行奇、偶数的讨论。 提分攻略七　立体几何中的截面问题用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键。类型一 截面形状问题【例1】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　)A．矩形   B．三角形C．正方形   D．等腰梯形【解析】　取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，所以平面AHGD1∥平面A1EF，故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形。【答案】　D 本题利用了面面平行的判定定理确定了截面图形形状。截面问题有时也要结合平面的基本性质确定。 类型二 截面面积问题【例2】　已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，若平面α⊥AC1，则下列关于平面α截此正方体所得截面的判断：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状可能为六边形；④截面面积的最大值为3。其中正确的序号是________。【解析】　连接B1D1，B1C，CD1，A1B，A1D，BD，易知AC1⊥平面B1CD1，当平面α为平面B1CD1时，截面为正三角形，故①正确。将平面B1CD1进行平移，使之与正方体的表面相交，则交线围成的图形就是截面图形。如图，在平面B1CD1向左平移到过点C1的过程中，截面为三角形，且截面面积逐渐减小。在平面B1CD1向右平移到与平面BDA1重合的过程中，截面为六边形，继续向右平移到过点A的过程中，截面为三角形。所以截面形状不可能为正方形，可能为六边形，所以②不正确，③正确。当截面为三角形时，截面面积最大为×(2)2sin 60°＝2，当截面为六边形时，如图，设截面为六边形GMEFNH，连接MN。设A1G＝x,0<x<2，则GH＝ME＝NF＝x，MG＝NH＝EF＝(2－x)，MN＝2，所以六边形GMEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和，设梯形GMNH的高为h1，梯形MNFE的高为h2，则六边形GMEFNH的面积S＝(GH＋MN)·h1＋(MN＋EF)·h2，易知h1＝＝＝(2－x)。h2＝＝＝x，所以S＝(x＋2)×(2－x)＋[2＋(2－x)]×x＝－x2＋2x＋2，当x＝1时，S取得最大值，Smax＝3。故④成立。所以其中正确的序号是①③④。【答案】　①③④ 本题截面属于动态问题，要考虑不同情况下截面的形状，而且求截面面积最值用到了函数的知识。 类型三 交线长问题【例3】　已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得的曲线总长为(　　)A.π   B.πC.π   D.π【解析】　作出图形如图所示。在平面ADD1A1上，交线为，由AE＝，AD＝1，可得cos∠DAE＝＝，可得∠DAE＝。同理，∠A1AF＝，所以∠EAF＝。故的长为×＝π。所求曲线中这样长度的弧共有3条。在平面A1B1C1D1上，交线为，此弧对应的半径为A1F＝＝，易知∠FA1G＝。所以的长为×＝π。所求曲线中这样长度的弧也有3条。故所得曲线总长为3×π＋3×π＝π。故选A。【答案】　A 球与平面相交截面一定是圆面，本题就是应用了这条性质。  提分攻略八　立体几何中的动态问题立体几何中的“动态问题”是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一类开放型问题，因其某些点、线、面位置的不确定，往往成为学生进行一些常规思考、转化的障碍，但又因其是可变的、开放的，更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养。本节利用运动变化的观点对几种动态问题的类型加以分析，探求解决此类问题的若干途径。类型一 “动态”中研究“静态”【例1】　如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是体对角线AC1上的动点(点P与A，C1不重合)。则下面结论中错误的是(　　)A．存在点P，使得平面A1DP∥平面B1CD1B．存在点P，使得AC1⊥平面A1DPC．S1，S2分别是△A1DP在平面A1B1C1D1，平面BB1C1C上的正投影图形的面积，对任意点P，S1≠S2D．对任意点P，△A1DP的面积都不等于【解析】　连接A1B，BD。对于A选项，当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时成立。因为BD∥B1D1，BD⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1。同理A1B∥平面B1CD1，又BD∩A1B＝B，BD⊂平面A1DP，A1B⊂平面A1DP，所以平面A1DP∥平面B1CD1。对于B选项，当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时成立(如图)。连接AD1，则A1D⊥AD1。又C1D1⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以A1D⊥C1D1。又C1D1∩AD1＝D1，所以A1D⊥平面AC1D1，所以AC1⊥A1D。同理AC1⊥A1B，又A1D∩A1B＝A1，A1D⊂平面A1DP，A1B⊂平面A1DP，所以AC1⊥平面A1DP。对于选项C，在点P从AC1的中点向点A运动的过程中，S1从减小且逐渐趋向于0，S2从0增大且逐渐趋向于，在此过程中，必有某个点P使得S1＝S2。对于选项D，易知△A1AP≌△DAP，所以DP＝A1P，即三角形A1PD是等腰三角形，所以当P到A1D中点的距离最小时，三角形A1DP的面积最小，设E为A1D的中点，连接PE，又P在AC1上，A1D和AC1异面，所以当PE是两异面直线的公垂线段时，P到A1D中点的距离最短，此时PE＝，而A1D＝，所以△A1DP的面积的最小值为Smin＝××＝，所以对任意点P，△A1DP的面积都不等于。故选C。【答案】　C 本题通过P在体对角线AC1上的“动”考查了面面平行、线面垂直、投影图形的面积等问题，实现了一题多考，解决此类问题的关键是掌握几何体的结构特征和平行与垂直的判定定理及性质定理，需要有较强的直观想象能力。类型二 “静态”中研究“动态”【例2】　如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起使平面ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为(　　)A.   B.C．1   D.【解析】　取AC中点O，连接D′O。设∠ABC＝α，则α∈(0，π)，所以D′O＝AD′·cos＝2cos，S△ABC＝×2×2sin α＝2sin α。因为D′O⊥平面ABC，所以V四面体ABCD′＝S△ABC×D′O＝sin αcos＝sincos2＝sin。设t＝sin，则0<t<1，V四面体ABCD′＝(t－t3)。设f(t)＝(t－t3)，0<t<1，则f′(t)＝(1－3t2)，0<t<1。所以当0<t<时，f′(t)>0，f(t)单调递增；当<t<1时，f′(t)<0，f(t)单调递减。所以当t＝时，f(t)取得最大值。所以四面体ABCD′体积的最大值为。故选A。【答案】　A 本题空间四面体的面内角是可变的，其体积也是可变的，在变化过程中其体积存在最大值。另外，在研究体积的最大值时运用了换元法和导数，这是近几年高考考查立体几何最值的一个新方向。  提分攻略九　解析几何的4个计算技巧纵观近几年的高考试题，平面解析几何命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先确定曲线的标准方程，再进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线(圆、椭圆、抛物线)的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先确定曲线的标准方程，再进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量(共线、垂直、数量积)结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等。正因为如此，往往运算量过大，或需繁杂的讨论，不但会影响解题的速度，甚至会导致考生“望而却步”“望题兴叹”。本专题从以下几个方面探究合理简化解题过程，优化思维过程，轻松驾驭解析几何运算的方法和技巧。技巧一 巧用定义，揭示本质【例1】　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|。【解】　(1)设直线l的方程为y＝(x－t)，将其代入抛物线C：y2＝3x得x2－x＋t2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2t＋　①，x1x2＝t2　②，由抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝2t＋＋＝4，解得t＝，所以直线l的方程为y＝x－。(2)若＝3，则y1＝－3y2，所以(x1－t)＝－3×(x2－t)，化简得x1＝－3x2＋4t　③。由①②③解得t＝1，x1＝3，x2＝，所以|AB|＝×＝。 (1)定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上。(2)涉及焦点与圆锥曲线上的点A时，利用定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，能快速求出几何量a，会大大降低运算量，进一步求解。技巧二 设而不求，整体代换【例2】　抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D．1【解析】　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y＝kx＋b，联立方程整理得2x2－kx－b＝0，所以Δ＝k2＋8b>0，x1＋x2＝，x1x2＝－，|AB|＝·，点M的纵坐标y0＝＝x＋x＝＋b(y0>0)，因为弦AB的长度为3，所以·＝3，即(1＋k2)·＝9，所以(1＋4y0－4b)·(y0＋b)＝9，即(1＋4y0－4b)·(4y0＋4b)＝36，根据基本不等式得(1＋4y0－4b)＋(4y0＋4b)≥2＝12，当且仅当b＝时取等号，即1＋8y0≥12，所以y0≥，点M的纵坐标的最小值为。故选A。【答案】　A 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程(斜率)或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”“点差法”求解。技巧三 巧用“根与系数的关系”，化繁为简【例3】　椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过A(a,0)，B(0,1)，O为坐标原点，线段AB的中点在圆O：x2＋y2＝1上。(1)求C的方程；(2)直线l：y＝kx＋m不过曲线C的右焦点F，与C交于P，Q两点，且l与圆O相切，切点在第一象限，△FPQ的周长是否为定值？并说明理由。【解】　(1)由题意得b＝1，AB的中点在圆O上，所以2＋2＝1，解得a＝，所以椭圆方程为＋y2＝1。(2)因为直线PQ与圆O相切，且切点在第一象限，所以k<0，m>0，且有＝1，即m2＝1＋k2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ与椭圆方程联立可得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0，Δ＝24k2>0，且x1＋x2＝，x1x2＝，|PQ|＝|x1－x2|＝·＝·，因为m2＝1＋k2，故|PQ|＝＝－，另一方面|PF|＝＝＝＝，化简得|PF|＝－x1，同理|QF|＝－x2，可得|PF|＋|QF|＝2－(x1＋x2)，由此可得△FPQ的周长＝－＋2－·＝2，故△FPQ的周长为定值2。 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解，但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。技巧四 换元引参，简化运算【例4】　在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为(x－1)2＋y2＝9，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切。(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)已知P(－2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与轨迹E交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值。【解】　(1)设动圆C的半径为r，由题意知|CC1|＝3－r，|CC2|＝1＋r，从而有|CC1|＋|CC2|＝4，故轨迹E为以C1，C2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(－2,0)，从而轨迹E的方程为＋＝1(x≠－2)。(2)设l的方程为x＝my＋1，联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1＋y2＝，y1y2＝，则|AB|＝＝，点P(－2,0)到直线l的距离为，点Q(2,0)到直线l的距离为，从而四边形APBQ的面积S＝××＝，令t＝，t≥1，有S＝＝，函数y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，有3t＋≥4，故S＝≤6，当且仅当t＝1即m＝0时等号成立，即四边形APBQ面积的最大值为6。 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍的效果。常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等。在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件 提分攻略十　解析几何中的7种定值问题解析几何中的定值问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度、做题的专注度、以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。类型一 角为定值【例1】　在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点。若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，求圆M的方程。【解】　设定圆圆心M(a，b)，半径为r，动点P(x，y)，由题意知MP＝2r，即(x－a)2＋(y－b)2＝4r2，由于点P在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以有(2－2a)x－2by＋a2＋b2－4r2＋3＝0对任意x，y都成立，所以a＝1，b＝0，r2＝1，所以圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1。类型二 斜率为定值(倾斜角定值)【例2】　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)。若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由。【解】　因为椭圆C的离心率为，且过点A(2,1)，所以＋＝1，＝。又因为a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1。设直线PQ的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，直线PA的斜率kPA＝，直线QA的斜率kQA＝。因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称。所以kPA＝－kQA，即＝－，化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0。把y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b代入并化简得2kx1x2＋(b－1－2k)(x1＋x2)－4b＋4＝0　①。由消去y得(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－8＝0　②，则x1＋x2＝－，x1x2＝，代入①，得－－4b＋4＝0，整理得(2k－1)(b＋2k－1)＝0，所以k＝或b＝1－2k，若b＝1－2k，可得方程②的一个根为2，不符合题意。若k＝时，符合题意。所以直线PQ的斜率为定值，该值为。类型三 线段长度为定值【例3】　如图，在平面直角坐标系xOy中，点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥PF，PQ⊥l。(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由。【解】　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥PF。所以RQ是线段FP的垂直平分线。因为点Q在线段FP的垂直平分线上，所以|PQ|＝|QF|，又|PQ|是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)。(2)弦长|TS|为定值。理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，则|TS|＝2＝2，因为点M在曲线C上，所以x0＝，所以|TS|＝2＝2，是定值。类型四 面积为定值【例4】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两点，已知向量m＝，n＝，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点。试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。【解】　△AOB的面积为定值，证明如下：由题意知解得所以椭圆的方程为＋x2＝1。(1)当直线AB斜率不存在时，x1＝x2，y1＝－y2，由m·n＝0得x－＝0，又＋x＝1，所以|x1|＝，|y1|＝，所以S△AOB＝|x1|·|y1－y2|＝|x1|·2|y1|＝1，所以△AOB的面积为定值。(2)当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b，由得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0，Δ＝16(k2－b2＋4)>0，所以x1＋x2＝－　①，x1x2＝　②，由m·n＝0得x1x2＋＝0，即x1x2＋＝0，把①②代入并整理得2b2－k2＝4，所以S△AOB＝··|AB|＝|b|＝＝＝1。所以△AOB的面积为定值1。综上，△AOB的面积为定值1。类型五 数量积为定值【例5】　已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一条动直线l过点A(－1,0)与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N，探索·是否与直线l的倾斜角有关。若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。【解】　因为CM⊥AN，所以·＝(＋)·＝·，①当直线l与x轴垂直时，易知N，则＝，＝(1,3)，所以·＝·＝－5。②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由得N，所以＝，所以·＝·＝＝－5，综上所述，·与直线l的斜率无关，因此与直线倾斜角也无关且·＝－5。类型六 直线方程为定式【例6】　已知椭圆C的离心率e＝，长轴的左右端点分别为A1(－2,0)，A2(2,0)，设直线x＝my＋1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。【解】　设椭圆C的方程为：＋＝1(a>b>0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则a＝2，e＝＝，所以c＝，b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，由消去x得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，直线A1P的方程为y＝(x＋2)，直线A2Q的方程为y＝(x－2)，由得(x＋2)＝(x－2)，即x＝2·＝2·＝2·＝2·＝4。所以当m变化时，点S恒在定直线x＝4上。类型七 运算关系定值【例7】　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1。设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：|AN|·|BM|为定值。【证明】　由已知得所以椭圆C的方程为＋y2＝1，所以A(2,0)，B(0,1)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1，当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)，令x＝0，得yM＝。从而|BM|＝|1－yM|＝。直线PB的方程为y＝x＋1。令y＝0，得xN＝－。所以|AN|＝|2－xN|＝，所以|AN|·|BM|＝·＝＝＝4。当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4，综上所述，|AN|·|BM|＝4为定值。 提分攻略十一　概率统计的3个提分点从近几年高考情况分析，高考对概率与统计的考查有加强的趋势，从过去简单的线性回归分析、独立性检验、均值与方差的独立考查，发展为与其他知识融合考查。不仅思维量有所增强，而且计算量也有加强的趋势。提分点一 非线性回归问题【例1】　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)的数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值。(xi－)2(wi－)2(xi－)·(yi－)(wi－)·(yi－)46.65636.8289.81.61 469108.8 注：表中wi＝，＝i。对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率与截距的最小二乘估计分别为＝，＝－。(1)根据散点图判断，＝＋x与＝＋哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y之间的关系为＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题。①当年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？【解】　(1)由散点图可以判断，＝＋适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型。(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程。由于＝＝＝68，＝－＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w。因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68。(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值为＝100.6＋68＝576.6，年利润z的预报值为＝576.6×0.2－49＝66.32。②根据(2)的结果知，年利润z的预报值＝0.2×(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12，所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值。故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图。(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数。(3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程。(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程。提分点二 概率统计与数列的交汇【例2】　如图，直角坐标系中，圆的方程为x2＋y2＝1，A(1,0)，B，C为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子。规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动。设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为Pn(A)，Pn(B)，Pn(C)。例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1(A)＝0，P1(B)＝，P1(C)＝。(1)分别掷骰子二次、三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；(2)掷骰子n次时，若以x轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值为随机变量Xn，求X4的分布列和数学期望。(3)记Pn(A)＝an，Pn(B)＝bn，Pn(C)＝cn，其中an＋bn＋cn＝1。证明：数列是等比数列，并求a2 020。【解】　(1)P2(A)＝×＋×＝，P2(B)＝×＝，P2(C)＝×＝，P3(A)＝××＋××＝，P3(B)＝×＝，P3(C)＝×＝，故分别掷骰子二次、三次时，棋子分别移动到A，B，C处的概率如表所示：　　　　　  棋子位置掷骰子次数　 ABC23 (2)随机变量X4的可能取值为1，－。结合(1)得P(X4＝1)＝[P3(B)＋P3(C)]×＝×＝，P＝[P3(A)＋P3(C)]×＋[P3(A)＋P3(B)]×＝，故随机变量X4的分布列为X41－P E(X4)＝1×－×＝。(3)证明：易知bn＝cn，因此bn－1＝cn－1(n≥2)，所以当n≥2时，bn＝(an－1＋cn－1)＝(an－1＋bn－1)。又an－1＋bn－1＋cn－1＝1，所以2bn＋bn－1＝1。因此bn＝－bn－1＋(n≥2)，故bn－＝－bn－1＋＝－(n≥2)，即数列是以b1－＝为首项，－为公比的等比数列。所以bn＝＋n－1。又an＝1－2bn＝1－2＝－n－1＝，故a2 020＝×。 概率统计与数列的交汇问题一般涉及数列的通项公式，前n项和的计算，等差、等比数列的证明等，解题的关键是利用概率统计知识得到数列的项、项数、递推公式等信息，然后根据这些信息求解。 提分点三 概率统计与函数的交汇【例3】　(理科和新教材的题，文科没此题)某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克10元全部卖出。根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温(单位：℃)有一定关系：最高气温低于25 ℃，需求量为1 000千克；最高气温位于[25,30)内，需求量为2 000千克；最高气温不低于30 ℃，需求量为3 000千克。为了制订2021年10月份的订购计划，超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据，得到下面的频率分布直方图。以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率。(1)求2021年10月份桃子一天的需求量X的分布列；(2)设2021年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E(Y)取到最大值？【解】　(1)由题意知X的可能取值为1 000，2 000，3 000，P(X＝1 000)＝(0.008 9＋0.031 1)×5＝0.2，P(X＝2 000)＝0.080 0×5＝0.4，P(X＝3 000)＝(0.046 7＋0.033 3)×5＝0.4，所以X的分布列为X1 0002 0003 000P0.20.40.4(2)设一天的进货量为n千克，则1 000≤n≤3 000。①当1 000≤n<2 000时，若最高气温不低于25 ℃，则Y＝8n；若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n。此时E(Y)＝0.8×8n＋0.2×(14 000－6n)＝5.2n＋2 800<13 200。②当2 000≤n≤3 000时，若最高气温不低于30 ℃，则Y＝8n；若最高气温位于[25,30)内，则Y＝2 000×8－(n－2 000)×6＝28 000－6n；若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n。此时E(Y)＝0.4×8n＋0.4×(28 000－6n)＋0.2×(14 000－6n)＝14 000－0.4n≤13 200，当且仅当n＝2 000时取等号。综上，当一天的进货量为2 000千克时，E(Y)取到最大值。 解答概率统计与函数交汇问题的两个关注点(1)恰当构造函数：一般是利用概率统计问题的背景与信息，以某个量为自变量，得到目标函数。(2)灵活利用函数的性质：解决问题时要灵活利用函数的性质，如利用导数及函数的单调性求最值，利用二次函数求最值；若是双变量，也可考虑利用基本不等式求最值。 提分攻略十二　导数中的“隐零点问题”隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来。这种情况，在我们解比较复杂的导数大题时常会遇到，那么，隐零点问题具体是什么？如果遇到隐零点问题，我们最常见的处理思路是什么呢？下面我们通过一道例题说明：【例】　已知函数f(x)＝－ln x－x2＋x，g(x)＝(x－2)ex－x2＋m(其中e为自然对数的底数)。当x∈(0,1]时，f(x)>g(x)恒成立，求正整数m的最大值。【解】　当x∈(0,1]时，f(x)>g(x)，即m<(－x＋2)ex－ln x＋x。令h(x)＝(－x＋2)ex－ln x＋x，x∈(0,1]，所以h′(x)＝(1－x)，当0<x≤1时，0≤1－x<1，设u(x)＝ex－，则u′(x)＝ex＋>0，所以u(x)在(0,1]上单调递增。因为u(x)在区间(0,1]上的图象是一条不间断的曲线，且u＝－2<0，u(1)＝e－1>0，所以存在x0∈，使得u(x0)＝0，即ex0＝，所以ln x0＝－x0。当x∈(0，x0)时，u(x)<0，h′(x)<0；当x∈(x0,1]时，u(x)>0，h′(x)≥0。所以函数h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,1]上单调递增，所以h(x)min＝h(x0)＝(－x0＋2)e x0－ln x0＋x0＝(－x0＋2)·＋2x0＝－1＋＋2x0。因为y＝－1＋＋2x在x∈(0,1)上单调递减，又x0∈，所以h(x0)＝－1＋＋2x0∈(3,4)，所以当m≤3时，不等式m<(－x＋2)ex－ln x＋x对任意的x∈(0,1]恒成立，所以正整数m的最大值是3。 导数问题中遇到隐零点问题的解决方法第一步：利用特殊点处的函数值、零点存在定理、函数的单调性、函数的图象等，判断零点是否存在以及取值范围；第二步：把导数零点处导数值等于0作为条件带回原函数，进行化简或消参  提分攻略十三　分类讨论法确定恒成立问题中的参数问题用导数的方法解决恒成立问题大多数情况下分离参数法不适合，所以分类讨论法成为解决求参数取值范围问题的主要方法。【例】　设函数f(x)＝ax2－xln x－(2a－1)x＋a－1(a∈R)。若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围。【解】　解法一：f′(x)＝2ax－1－ln x－(2a－1)＝2a(x－1)－ln x(x>0)。易知当x∈(0，＋∞)时，ln x≤x－1，则f′(x)≥2a(x－1)－(x－1)＝(2a－1)(x－1)。当2a－1≥0，即a≥时，由x∈[1，＋∞)得f′(x)≥0恒成立，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(1)＝0，符合题意；当a≤0时，由x∈[1，＋∞)得f′(x)≤0恒成立，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0，显然不符合题意，a≤0舍去；当0<a<时，由ln x≤x－1，得ln≤－1，即ln x≥1－，则f′(x)≤2a(x－1)－＝(2ax－1)，因为0<a<，所以>1。当x∈时，f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在上单调递减，所以当x∈时，f(x)≤f(1)＝0，显然不符合题意，0<a<舍去。综上可得，a∈。解法二：f′(x)＝2ax－1－ln x－(2a－1)＝2a(x－1)－ln x(x>0)，f″(x)＝2a－＝。当a≥时，0<≤1，f″(x)≥0在[1，＋∞)恒成立，f′(x)在[1，＋∞)上单调递增，又f′(1)＝0，所以f′(x)≥f′(1)＝0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)＝0，符合题意。当a≤0时，f″(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以f′(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)≤f′(1)＝0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)≤f(1)＝0，所以不符合题意。当0<a<时，f′(x)在上单调递减，f′(x)≤f′(1)＝0，所以f(x)在上单调递减，所以x∈时，f(x)≤f(1)＝0，不符合题意。综上可得，a∈。本题根据参数a的取值范围确定函数的单调性是关键点，其中①f(1)＝0需要有一定的观察能力；②在a≤0时，f(x)≤0恒成立，0<a<时，存在x∈使f(x)≤0是本题的难点与关键。由以上分析知分类讨论法是求解恒成立问题中参数取值范围的重要方法，要切实理解与掌握。  提分攻略十四　高考中导数与三角函数的结合问题导数的引入，为函数问题、不等式问题、方程问题、三角问题、解析几何问题的研究和解决提供了新视角、新方法、新途径，拓宽了解题空间和命题空间。近年来，高考导数题正从整式函数、分式函数、指数函数、对数函数及其复合型函数形式，向三角复合型函数转变，“三角问题”正成为高考对导数考查的新热点，并置于客观题或主观题靠后的位置。下面结合部分典型例题予以介绍。 类型一 考查三角复合型函数单调性【例1】　若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)内单调递增，则实数a的取值范围是(　　)A．[－1,1]  B.C.  D.【解析】　取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不满足在(－∞，＋∞)内单调递增的条件，排除A，B，D。故选C。【答案】　C 这里取a为三个选择支中都含有的－1这个特殊值，求导后又取x的特殊值0，立即发现a＝－1不适合条件。特殊与一般的关系是：一般寓于特殊之中，“命题在一般情况下为真，则在特殊情况下也为真”，“命题在特殊情况下为假，则在一般 情况下也为假”。对于某些有关函数的图象、参数范围、最值等选择题，有时运用“特殊值法”，能迅速排除错误答案，快速获解。本题也可以利用“参变分离法”和“换元法”，根据f′(x)≥0在(－∞，＋∞)内恒成立处理，但都没有上述“特殊值法”简单快捷。类型二 考查三角复合型函数最值【例2】　已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________。【解析】　f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(cos x＋1)(2cos x－1)。当cos x>，即2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)时，f′(x)>0；当cos x<，即2kπ－<x<2kπ－(k∈Z)时，f′(x)<0。所以，当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值，f＝2sin＋sin 2＝－。【答案】　－ 本题的原函数无法转化成asin2x＋bsin x＋c或acos2x＋bcos x＋c或asin x＋bcos x＋c的形式，必须用导数知识求解其最值。其导函数是形如acos2x＋bcos x＋c的二次形式，零点可求，且能 够判断其单调性，顺利实现解题目标。要特别注意三角函数零点和单调区间的周期性，确定单调区间端点的极值点类型(极大值点或极小值点)，否则极易出现错误。 类型三 考查三角复合型函数极值【例3】　已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)是f(x)的导函数。证明：f′(x)在区间内存在唯一极大值点。【证明】　因为f′(x)＝cos x－，x∈，所以f″(x)＝－sin x＋。由f″(x)＝0得sin x＝，画出函数y＝和y＝sin x在的图象，可知在区间内两函数的图象有唯一交点，设其横坐标是x0。显然，当－1<x<x0时，sin x<，f″(x)>0；当x0<x<时，sin x>，f″(x)<0，f′(x)在(－1，x0)为增函数，在为减函数。因此x0是函数f′(x)在区间内的唯一极大值点。f′(x)＝cos x－，f″(x)＝－sin x＋＝0的实数根无法直接求出，这让我们联想到：将方程－sin x＋＝0“一分为二”成两个函数，利用函数y＝和y＝sin x的图象的交点个数来处理问题。解题过程果然简单快捷。 类型四 考查三角复合型函数不等式的证明【例4】　设f(x)＝x－sin x，x∈R，f(x)的导函数是f′(x)。(1)求f′(x)的极值；(2)若x∈[0，π]，θ∈(0，π)，试证明：≥f。【解】　(1)f′(x)＝1－cos x，f″(x)＝sin x。由f″(x)＝sin x≥0得2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，由f″(x)＝sin x≤0得2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z。于是可得：f′(x)的单调增区间是[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，单调减区间是[2kπ－π，2kπ]，k∈Z。当x＝2kπ(k∈Z)时，f′(x)取极小值f′(2kπ)＝1－cos 2kπ＝0；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，f′(x)取极大值f′(2kπ＋π)＝1－cos(2kπ＋π)＝2。(2)－f＝[2(θ－sin θ)＋x－sin x]－＋sin＝－sin θ－sin x＋sin，令g(x)＝－sin θ－sin x＋sin，x∈[0，π]，则g′(x)＝－cos x＋cos＝。因为x∈[0，π]，θ∈(0，π)，所以∈(0，π)，而函数y＝cos x在(0，π)内单调递减，所以，由g′(x)＝0可得＝x，即x＝θ。当θ<x≤π时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当0≤x<θ时，g′(x)<0，g(x)单调递减。因此g(θ)是g(x)在[0，π]上的最小值。于是g(x)≥g(θ)＝0，即有－f≥0。所以，当x∈[0，π]，θ∈(0，π)时，≥f。 本题主要考查导数的运算、运用导数研究函数的性质、函数零点的意义、不等式的证明和坐标代换法等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想、抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力，难度较大。类型五 考查三角复合型函数的零点【例5】　已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)是f(x)的导函数，证明：f′(x)在区间(0，π)内存在唯一零点。【解】　因为f(x)＝2sin x－xcos x－x，所以f′(x)＝2cos x－cos x＋xsin x－1＝cos x＋xsin x－1，f″(x)＝－sin x＋sin x＋xcos x＝xcos x。因为x∈(0，π)，所以，当x∈时，f″(x)>0，f′(x)单调递增；当x∈时，f″(x)<0，f′(x)单调递减。所以f′(x)在区间(0，π)内的最大值是f′＝－1>0，又f′(π)＝－2<0，f′(0)＝0，所以f′(x)在区间内没有零点，在区间内有且仅有一个零点。故f′(x)在区间(0，π)内存在唯一零点。 证明f′(x)的零点，必须考虑f″(x)的符号，从而确定f′(x)的单调性和图象特征，其中f″(x)＝(f′(x))′，即f(x)的二阶导数，判断f′(x)的零点还需要利用零点存在定理。零点存在定理告诉我们：若f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)内至少有一个零点；若f(a)f(b)>0，则无法判断(a，b)内零点的个数。因此，解题过程中既要判定f(a)f(b)的符号，又要确定函数的单调性。