第二篇专题六第1课时函数的图象与性质 2022版高考数学复习讲义

  第二篇 专题六　第1课时　函数的图象与性质函数及其表示1．函数f(x)＝－的定义域是(　　)A．[－3，－1)∪(－1，3]B．[－2，－1)∪(－1，3]C．(－2，－1)∪(－1，3]D．(－2，3]【解析】选C.要使函数f(x)＝－有意义，只需，解得，即－2＜x≤3，且x≠－1，所以函数f(x)的定义域是(－2，－1)∪(－1，3].2．已知函数f(x)＝则f的值是(　　)A．0    B．1    C．    D．－【解析】选C.因为f(x)＝且0＜＜1，＞1，所以f＝f()＝log2＝.3．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　　)A．－     B．－1或2C．1      D．－3或1【解析】选A.由题意得f(1)＝20＝1，即f(a)＝－1，又f(x)＝2x－1>0恒成立，所以a－＝－1，即a＝－.4．(2021·呼和浩特联考)已知函数f(x)＝则f(6)＝________．【解析】因为函数f(x)＝所以f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＝1.答案：1若本题中的条件不变，则f(x)的值域是________．【解析】因为当x，x－3，x－3×2，…，x－3(n－1)为正数时，f(x)＝f(x－3)＝f(x－6)＝……＝f(x－3n)，直至x－3n≤0，又因为，当x≤0时0<2x≤1，所以f(x)的值域是(0，1].答案：(0，1]1．函数的定义域问题给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同．2．分段函数问题常见类型及解题策略(1)求函数值：必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；(2)求函数最值：先求出每个区间上的最值，然后依据“大中取大小中取小”的原则求值域；(3)求参数：“分段处理”，即采用代入法列出各区间上的方程，求解即可；(4)解不等式：常依据分段函数的单调性或结合函数图象求解，注意函数的定义域．函数的性质及其应用　1．已知函数f(x)＝ax－ln (ex＋1)(a∈R)为偶函数，则实数a的值为(　　)A．1    B．2    C．    D．3【解析】选C.方法一：(定义法)由f(－x)＝f(x)得：－ax－ln ＝ax－ln (ex＋1)，化简得：ln (ex＋1)－ln ＝2ax，即x＝2ax，故a＝.方法二：(特值法)由f(－1)＝f(1)得：－a－ln ＝a－ln (e＋1)，解得a＝，当a＝时，f(x)＝－ln (e＋e－)经检验f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)A．f(－3)<f(－log313)<f(20.6)B．f(－3)<f(20.6)<f(－log313)C．f(20.6)<f(－log313)<f(－3)D．f(20.6)<f(－3)<f(－log313)【解析】选C.因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－log313)＝f(log313)，因为20.6<2＝log39<log313<log327＝3且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(20.6)<f(log313)<f(3)，所以f(20.6)<f(－log313)<f(－3).3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1<x2)，都有x2f(x1)>x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为(　　)A．a>b>c    B．b>a>cC．c>b>a    D．a>c>b【思维通关】关键点对x2f(x1)>x1f(x2)的变形障碍点由a，b，c的不等式以及x2f(x1)>x1f(x2)，联想到构造函数g(x)易错点函数g(x)单调性的判断【解析】选B.因为对任意两个正数x1，x2(x1<x2)，都有x2f(x1)>x1f(x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，又c＝－f(－3)＝f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c.4.(2021·平凉一模)设函数f(x)＝log2(x2＋1)－，则使得f>f(3x－1)成立的x的取值范围是________．【思维通关】关键点判断函数f(x)的单调性障碍点想到函数f(x)的奇偶性易错点3x－1应该取绝对值【解析】由题得函数的定义域为R.f(－x)＝log2[(－x)2＋1]－＝f(x)，所以函数是偶函数．当x>0时，y＝log2(1＋x2)，y＝－都是增函数，所以f(x)＝log2(x2＋1)－是增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．因为f>f(3x－1)，所以>|3x－1|，所以<x<.答案：函数性质的应用函数性质应用指南单调性(1)比较大小；(2)求函数最值；(3)解不等式；(4)证明方程根的唯一性周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解对称性①f(x)图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x).②f(a＋x)＋f(b－x)＝2c⇔f(x)图象关于点对称．1．若函数f(x)＝sin x ln (＋x)是偶函数，则实数a＝(　　)A．－1    B．0    C．1    D．【解析】选C.方法一：根据题意，函数f(x)＝sin x ln (＋x)且f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，即sin (－x)ln (－x)＝sin x·ln (＋x)，变形可得ln a＝0，则a＝1.方法二：根据题意可知g(x)＝ln (＋x)为奇函数，所以g(0)＝ln ＝0，所以a＝1.2．已知函数f(x)＝，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，则下列不等式恒成立的是(　　)A．b－a<2    B．a＋2b>2C．b－a>2    D．a＋2b<2【解析】选C.由题意得f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．又f(x)＝－＝－＝－1＋，故函数f(x)在R上单调递减．因为f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，所以f(2a＋b)>－f(4－3b)＝f(3b－4)，所以2a＋b<3b－4，所以b－a>2.3．(2021·新高考II卷)设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数， f(2x＋1)为奇函数，则(　　)A．f＝0     B．f(－1)＝0C．f(2)＝0      D．f(4)＝0【解析】选B.因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以，f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．4．已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．【解析】<0⇒f(x)是减函数⇒⇒a∈.答案：函数的图象及其应用1．(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝在[－6，6]上的图象大致为(　　)【解析】选B.因为y＝f(x)＝，所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项C.又因为f(4)＝≈＝8，根据图象进行判断，可知选项B符合题意．2．如图可能是下列哪个函数的图象(　　)A．y＝B．y＝C．y＝x2ln |x－1|D．y＝tan x·ln (x＋1)【解析】选C.由图象可知，y＝tan x·ln (x＋1)在上单调递增，故可排除D；当x＝时，A，B选项中的y＞0，C选项中的y＜0.3.若函数f(x)＝(x－1)3－与g(x)＝－x＋m的图象交点的横坐标之和为2，则m的值为________．【思维通关】关键点分析函数f(x)的图象特点障碍点得到函数f(x)的图象关于(1，0)对称易错点结合对称性求参数m的值【解析】因为y＝(x－1)3，y＝－的图象均关于点(1，0)对称，所以函数f(x)＝(x－1)3－的图象关于点(1，0)对称，且在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝(x－1)3－与g(x)＝－x＋m的图象交点的横坐标之和为2，所以直线y＝－x＋m经过点(1，0)，所以m＝1.答案：14．如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P′，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|－|表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(　　)【解析】选A.设PP′的中点为M，则|－|＝||＝2||，当x∈时，在Rt△OMP中，|OP|＝1，∠OPM＝∠POA＝x，所以cos x＝，所以|PM|＝cos x，|－|＝2cos x，即f(x)＝2cos x，x∈.从四个选项可知，只有选项A正确．　巧用函数的性质识图八技(1)定→定点、定义域．(2)奇→奇偶性．(3)极→极值点个数．(4)零→零点个数．(5)渐→渐近线．(6)趋→函数值变化趋势．(7)单→单调性．(8)符→函数值符号1．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是(　　)A.y＝x ln x       B．y＝x ln x－x＋1C．y＝ln x＋－1     D．y＝－＋x－1【解析】选D.对于选项A，当x＝2时，2ln 2＝ln 4>ln e＝1，由图象可知选项A不符合题意；对于选项B，当x＝e时，eln e－e＋1＝1，由图象可知选项B不符合题意；对于选项C，当x＝e时，ln e＋－1＝<1，由图象可知选项C不符合题意．2．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于点(1，2)对称B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称【解析】选A.因为f(x)＝＝＋2，所以函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，排除B；画出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象排除C，D.因为f(x)＋f(2－x)＝＋＝＋＝4，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)对称．3．(2021·苏州八校一模)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从图标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(　　)A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝D．f(x)＝【解析】选B.首先该函数是偶函数，排除A，其次该函数x≠±1，排除D，最后该函数过点(0，1)，排除C，综上选B.4．如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0，1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记＝x，直线AM与x轴交于点N(t，0)，则函数t＝f(x)的图象大致为(　　)【解析】选D.当x由0→时，t从－∞→0，且单调递增，当x由→1时，t从0→＋∞，且单调递增，所以排除A，B，C.