第二篇专题三立体几何 2022版高考数学复习讲义

  专题三　立体几何考题统计考情解读年份考卷小题大题分值2021新高考全国Ⅰ卷3,1220221.考查内容:主要考查空间几何体的表面积和体积的计算,空间平行和垂直关系的判定及性质,空间角的计算.2.考查方式:(1)小题:主要通过多面体的展开图、截面,几何体的折叠,外接球等问题考查多面体、球的表面积和体积;(2)大题: 命题第一问主要考查证明平行和垂直关系,第二问求空间角.3.学科素养:直观想象、逻辑推理、数学运算新高考全国Ⅱ卷5,1019222020新高考全国Ⅰ卷4,162022新高考全国Ⅱ卷4,1620221．直观图斜二测画法的直观图面积与原图形的面积的关系为S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．2．空间几何体的表面积与体积(1)长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径；(2)n面体的表面积为S，体积为V，则内切球的半径r＝；(3)直三棱柱的外接球半径：R＝，其中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径：R′＝；(4)面积射影定理：设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC与△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在的平面与平面α所成的二面角为θ，则有： cos θ＝.备注：当二面角的范围为时，cos θ＝－.3．正四面体的常用结论假设正四面体的边长为a，则有：(1)h＝a，S表面积＝a2，V体积＝a3；(2)外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R＝a，球心到底面的距离为内切球的半径r＝a，因此R∶r＝3∶1.4．三角形的“心”三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O：(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的外心；(2)若PA，PB，PC与面ABC所成角相等，则点O是△ABC的外心；(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的垂心；(4)若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的垂心； (5)若P到△ABC的三边距离相等，则点O是△ABC的内心．(6)若侧面与底面所成的二面角相等，则点O是△ABC的内心．5．空间向量(1)对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．(2)对空间任一点O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．(3)平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为