第二篇专题六第3课时导数的简单应用 2022版高考数学复习讲义

  第二篇 专题六　第3课时　导数的简单应用导数的运算1．已知f(x)在R上连续可导，f′(x)为其导函数，且f(x)＝ex＋e－x－xf′(1)·(ex－e－x)，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝(　　)A．4e2＋4e－2     B．4e2－4e－2C．0        D．4e2【解析】选C.函数f(－x)＝e－x＋ex－(－x)f′(1)·(e－x－ex)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，两边对x求导数，得－f′(－x)＝f′(x).即f′(－x)＝－f′(x)，则f′(x)是R上的奇函数，则f′(0)＝0，f′(－2)＝－f′(2)，即f′(2)＋f′(－2)＝0，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝0.2．设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________．【解析】f′(x)＝，f′(1)＝＝，解得a＝1.答案：13.(2021·平凉一模)法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y＝f(x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上是连续不断的；(2)在区间(a，b)上都有导数．则在区间(a，b)上至少存在一个数ξ，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)，其中ξ称为拉格朗日中值．则g(x)＝ex在区间[0，1]上的拉格朗日中值ξ＝________.【思维通关】关键点拉格朗日中值的定义障碍点由拉格朗日中值定义得出g′(ξ)＝＝e－1易错点由eξ＝e－1得到ξ＝ln (e－1)的值【解析】g(x)＝ex，则g′(x)＝ex，所以g′(ξ)＝eξ，由拉格朗日中值的定义可知，g′(ξ)＝＝e－1，即eξ＝e－1，所以ξ＝ln (e－1).答案： ln (e－1)　求解导数运算问题的解题策略(1)先观察函数解析式是什么运算(加减乘除)，然后选择适当的运算法则；(2)在运算过程中，注意是哪个基本初等函数的导函数，再进行运算；(3)注意是否含有复合函数运算．导数的几何意义及其应用 1.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－2    B．2    C．－e    D．e【思维通关】关键点直线过点(0，－e)，并不一定是切点障碍点切点坐标的确定易错点误认为点(0，－e)为切点【解析】选B.函数f(x)＝x ln x的导数为f′(x)＝ln x＋1，设切点为(m，n)，则n＝m ln m，可得切线的斜率为k＝1＋ln m，所以1＋ln m＝＝，解得m＝e，k＝1＋ln e＝2.2．(2021·湖北八市联考)已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选C.设切点为(x0，ln x0).因为(ln x)′＝，所以曲线y＝ln x在点(x0，ln x0)处的切线的斜率为，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝＋ln x0－1.因为切线方程为y＝ax，所以解得3．若曲线y＝ln (x＋a)的一条切线为y＝ex－b(e为自然对数的底数)，其中a，b为正实数，则＋的取值范围是(　　)A．[2，e)     B．(e，4]C．[2，＋∞)    D．[e，＋∞)【解析】选C.因为y＝ln (x＋a)，所以y′＝，设切点为(x0，y0)，则所以ea＋b＝2，所以＋＝(ea＋b)＝(2＋＋).因为a，b，e>0，所以 原式≥＝2，当且仅当＝，即a＝，b＝1时等号成立，即＋≥2.4．(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为__________.【解析】f′(x)＝，f′(－1)＝5，f(－1)＝＝－3，所以切线方程为：y＋3＝5(x＋1)，所以y＝5x＋2.答案：y＝5x＋21．求切线方程(1)已知切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；(2)已知过点P(x0，y0)(非切点)，可设切点为(x1，y1)，由求出切点坐标，再求切线方程．2．已知斜率k，求切点(x1，f(x1))应先解方程f′(x1)＝k得出x1，然后求出f(x1)即可．1．曲线y＝sin x－cos x在x＝处切线斜率的大小为(　　)A．1    B．2    C．0    D．－1【解析】选A.因为y＝sin x－cos x，所以y′＝cos x＋sin x，所以y′|x＝＝cos ＋sin ＝1.2．若函数f(x)＝x3－x＋3的图象在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(　　)A．(1，3)        B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)     D．(1，－3)【解析】选C.f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，即3x2－1＝2⇒x＝1或－1，又f(1)＝3，f(－1)＝3，所以P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1，3)或(－1，3).3．设曲线y＝2ax－ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________．【解析】由已知得y′＝2a－(x>－1)，所以y′|x＝0＝2a－1＝2，解得a＝.答案：导数的简单应用　1．函数f(x)(x>0)的导函数f′(x)，若xf′(x)＋f(x)＝ex，且f(1)＝e，则(　　)A．f(x)的最小值为eB．f(x)的最大值为eC．f(x)的最小值为D．f(x)的最大值为【解析】选A.设g(x)＝xf(x)－ex，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－ex＝0，所以g(x)＝xf(x)－ex为常数函数．因为g(1)＝1×f(1)－e＝0，所以g(x)＝xf(x)－ex＝g(1)＝0，所以f(x)＝，f′(x)＝，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝e.2．(多选题)(2021·长沙三模)已知函数f(x)＝2a ln x＋x2＋b.(　　)A．当a＝－1时，f(x)的极小值点为(1，1＋b)B．若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则a∈[－1，＋∞)C．若f(x)在定义域内不单调，则a∈(－∞，0)D．若a＝－且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝－ex相切，则b＝－2【解析】选BC.根据极值点定义可知，极小值点是一个实数，A错误；由f′(x)＝＋2x≥0(x≥1)得a≥－x2，因为－x2≤－1，所以a≥－1，B正确；因为f′(x)＝＋2x＝(x>0)，当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，当a＜0时，f′(x)＞0不恒成立，函数不单调，C正确；a＝－，f′(x)＝－＋2x，所以f′(1)＝－1，f(1)＝1＋b，所以切线方程为y－(1＋b)＝－(x－1)，即y＝－x＋b＋2，设切点横坐标为x0，则－ex0＝－1，故x0＝0，切点(0，－1)，代入y＝－x＋b＋2得b＝－3，D错误．3.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(0)＝，则不等式f(x)－ex<0的解集为________．【思维通关】关键点由已知f′(x)<f(x)，联想到分式函数的导函数障碍点构造函数g(x)＝易错点g′(x)的求解【解析】构造函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为f′(x)<f(x)，所以g′(x)<0，故函数g(x)在R上为减函数，又f(0)＝，所以g(0)＝＝，则不等式f(x)－ex<0可化为<，即g(x)<＝g(0)，所以x>0，即所求不等式的解集为(0，＋∞).答案：(0，＋∞)　导数简单应用的三个注意点(1)注意题设条件与导数有何关系；(2)注意题设条件与其他知识的交汇点，进而寻找解题的突破口；(3)注意其他数学知识的应用条件．1．已知f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x－3x，则曲线y＝f(x)在点(－1，－3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于(　　)A．1    B．    C．    D．【解析】选C.当x>0时，f′(x)＝－3，因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数，故在(－1，－3)处切线的斜率k＝f′(－1)＝－f′(1)＝2，所以切线方程为y＋3＝2(x＋1)，该切线与x轴，y轴的交点分别为，(0，－1)，所以该切线与两坐标轴围成图形的面积等于××1＝.2．已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则f(x)的极大值点为(　　)A．    B．1    C．e    D．2e【解析】选D.因为f(x)＝2ef′(e)ln x－(x＞0)，所以f′(x)＝－，所以f′(e)＝－＝2f′(e)－，因此f′(e)＝，所以f′(x)＝－，由f′(x)＞0，得0＜x＜2e；由f′(x)＜0，得x＞2e.所以函数f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，因此f(x)的极大值点为x＝2e.3．(多选题)(2021·潮州一模)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数．记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　)A．f(x)＝sin x－cos xB．f(x)＝ln x－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x【解析】选BC.对于选项A，由f(x)＝sin x－cos x，得f′(x)＝cos x＋sin x，所以f″(x)＝－sin x＋cos x＝cos ，因为x∈，所以当x＝时，f″(x)＝cos ＝0，这与f″(x)在定义域中小于0不符，故A错误；对于选项B.由f(x)＝ln x－2x，得f′(x)＝－2，所以f″(x)＝－2，因为x∈，所以f″(x)＜0在上恒成立，故B正确；对于选项C.由f(x)＝－x3＋2x－1，得f′(x)＝－3x2＋2，所以f″(x)＝－6x，因为x∈，所以f″(x)＝－6x＜0恒成立，故C正确；对于选项D.由f(x)＝－xe－x，得f′(x)＝e－x(x－1)，所以f″(x)＝e－x(2－x)，因为x∈时，2－x＞0，e－x＞0，所以f″(x)＞0恒成立，与f″(x)在定义域中小于0不符，故D错误．4．已知函数f(x)＝＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为中心的中心对称图形，g(x)＝ex＋ax2＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝________．【解析】由f(0)＋f(－2)＝－2，得1＋a－1－1－2＋a－1＝2a－4＝－2，解得a＝1，所以f(x)＝＋x.又f′(x)＝－＋1，所以f′(1)＝.因为g(x)＝ex＋x2＋bx，g′(x)＝ex＋2x＋b，g′(0)＝1＋b，由(1＋b)＝－1，得1＋b＝－，即a＋b＝－.答案：－