第二篇专题六函数与导数 2022版高考数学复习讲义
展开专题六 函数与导数1.函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式:设任意x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是减函数;若函数f(x)和g(x)都是增函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是增函数;根据同增异减判断复合函数y=f(g(x))的单调性.2.函数的周期性(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T=2a(a≠0);(2)若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T=2a(a≠0);(3)若函数f(x)满足f(x+a)=,则f(x)是周期函数,其中一个周期是T=2a(a≠0);(4)若函数f(x)满足f(x+a)=-,则f(x)是周期函数,其中一个周期是T=2a(a≠0).3.函数图象的对称性(1)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称;(3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.4.函数图象的变换规则(1)平移变换:将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到y=f(x+a)的图象;将y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到y=f(x)+b的图象.(2)对称变换:①作y=f(x)关于y轴的对称图象得到y=f(-x)的图象;②作y=f(x)关于x轴的对称图象得到y=-f(x)的图象;③作y=f(x)关于原点的对称图象得到y=-f(-x)的图象;④将y=f(x)在x轴下方的图象翻折到上方,与y=f(x)在x轴上方的图象,合起来得到y=|f(x)|的图象;⑤将y=f(x)在y轴左侧部分去掉,再作右侧关于y轴的对称图象,合起来得到y=f(|x|)的图象.5.导数与函数的单调性若可导函数f(x)在区间M上单调递增(或递减),则f′(x)≥0(或≤0)在区间M上恒成立.