第二篇专题三第1课时空间中的平行与垂直 2022版高考数学复习讲义

  立体几何解答题第1课时　空间中的平行与垂直空间中的平行关系的判断与证明【典例1】如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB＝2，DE＝BF，BF∥DE，M为棱AE的中点．求证：平面BMD∥平面EFC.【思维点拨】定目标证明面面平行，可证线面平行；证线面平行，要找线线平行．定关系根据中点找中位线．【证明】如图，连接AC，交BD于点N，所以N为AC的中点，连接MN，由M为棱AE的中点，则MN∥EC.因为MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，所以MN∥平面EFC.因为BF∥DE，BF＝DE，所以四边形BDEF为平行四边形．所以BD∥EF.又BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，所以BD∥平面EFC，又MN∩BD＝N，所以平面BMD∥平面EFC.1．证明线面平行问题的思路(1)利用线面平行的判定定理证明．(2)先证面面平行，再证线面平行．2．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行．　如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)若D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求的值.【解析】(1)因为点M，N分别为线段A1B，AC1的中点，连接A1C，交AC1于点N，则N是A1C的中点，所以MN∥BC，因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C；(2)因为DN∥平面ABB1A1，DN⊂平面A1BC，平面ABB1A1∩平面A1BC＝A1B，所以DN∥A1B，又N是线段A1C的中点，所以D是线段BC的中点，所以＝1.空间中的垂直关系的判断与证明【典例2】如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；【思维点拨】(1)定目标：要证明PA⊥BD，需要证明PA⊥平面ABC(2)定目标：要证平面BDE⊥平面PAC，转证BD⊥平面PAC，即可找关系：AB＝BC【证明】(1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)因为AB＝BC，AD＝DC，所以AC⊥BD，又PA⊥BD，AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，又BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.1．判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．2．面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理．(2)用面面垂直的定义．　如图，在四棱锥A­BCDE中，BC⊥平面ABE，DE∥BC，DE＝3BC＝6，∠BAC＝45°，∠DAE＝∠ABE＝60°.求证：平面ABC⊥平面ADE；【证明】因为DE∥BC，BC⊥平面ABE，所以DE⊥平面ABE.又因为AE⊂平面ABE，所以DE⊥AE.在Rt△ADE中，由∠DAE＝60°，DE＝6，得AE＝2.在Rt△ABC中，由∠BAC＝45°，BC＝2得AB＝2.在△ABE中，AE2＝AB2＋BE2－2AB·BE cos ∠ABE，解得BE＝4.所以BE2＝AB2＋AE2，即AB⊥AE.而BC⊥AE，AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，所以AE⊥平面ABC.又因为AE⊂平面ADE，所以平面ABC⊥平面ADE.