1.三角函数及解三角形（A组） 2022版高考数学大题专项（含解析）

  1.三角函数及解三角形（A组）大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60°方向10 km处．(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．【解析】(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120° 根据余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 120°＝62＋102－2×6×10×＝196，所以AB＝14.故A，B两集镇间的距离为14 km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC，则OC⊥MN.设OM＝x，ON＝y，MN＝c，在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin 120°得×3c＝xy sin 120°，即xy＝2c，由余弦定理得c2＝x2＋y2－2xy cos 120°＝x2＋y2＋xy≥3xy, 所以c2≥6c，解得c≥6，当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值6.所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km. 2．已知函数f(x)＝2cos2＋2sin(x－)sin (x＋).(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)＝2cos2＋2sin (x－)sin ＝cos ＋1＋2sin sin (x＋－)＝cos (2x－)＋1＋2sin cos ＝cos 2x＋sin 2x＋sin ＋1＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin ＋1，最小正周期为：＝π，对称中心为(＋，1)，(2)因为x∈，所以2x－∈[－，]，当2x－＝，即x＝时函数有最大值2；当2x－＝－，即x＝0时函数有最小值.