2.三角函数及解三角形（B组） 2022版高考数学大题专项（含解析）

  2．三角函数及解三角形(B组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝.(1)求角B；(2)若b＝，求△ABC的周长取值范围．【解析】(1)因为＝，所以由正弦定理可得＝，所以a2－ac＝b2－c2，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝，又B为锐角，所以B＝.(2)由(1)知A＋C＝，所以C＝－A由＝＝＝＝2得，a＝2sin A，c＝2sin C，所以△ABC的周长a＋b＋c＝2sin A＋＋2sin C＝2sin A＋2sin (－A)＋＝2sin A＋2(sin cos A－cos sin A)＋＝2sin A＋2＋＝3sin A＋cos A＋＝2＋＝2sin ＋由题意可得，即，所以<A<，所以<A＋<，所以<sin (A＋)≤1，所以3<2sin ≤2，所以3＋<2sin ＋≤3，所以△ABC的周长的取值范围为(3＋，3].2．在①A＝C＋，②5c－4a＝15cos A，③△ABC的面积S＝3这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，且________，________，求c.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①②.因为5c－4a＝15cos A，b＝3，所以5c－4a＝5b cos A，由正弦定理得5sin C－4sin A＝5sin B cos A.因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以5cos B sin A＝4sin A.因为sin A>0，所以cos B＝，sin B＝＝.因为A＝C＋，A＋B＋C＝π，所以B＝－2C，所以cos2C＝cos ＝sin B＝，所以sin2C＝＝.因为C∈(0，π)，所以sin C＝，在△ABC中，由正弦定理得c＝＝＝.方案二：选条件①③.因为S＝ab sin C＝3，b＝3，所以a sin C＝2.因为A＝C＋，A＋B＋C＝π，所以B＝－2C.在△ABC中，由正弦定理得a＝＝＝，所以＝2，即3sin 2C＝4cos 2C.因为所以0<C<，0<2C<π，所以sin 2C>0，所以cos 2C>0.又sin22C＋cos22C＝1，所以cos2C＝，所以sin2C＝＝，所以sin C＝.在△ABC中，由正弦定理得c＝＝＝＝＝.方案三：选条件②③.因为5c－4a＝15cos A，b＝3，所以5c－4a＝5b cos A，由正弦定理得5sin C－4sin A＝5sin B cos A，因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以5cos B sin A＝4sin A.因为sin A>0，所以cos B＝，sin B＝＝.因为S＝ac sinB＝3，所以ac＝10.(ⅰ)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以a2＋c2＝25.(ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)解得c＝或c＝2.