2022届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（含解析）

哈尔滨市第六中学2019级高三上学期10月份月考

文科数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集运算求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：C

2. 在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】对复数进行化简，得到复数在复平面内所对应的坐标，即可判断复数对应点位于第几象限

【详解】令，在复平面内，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标，所以复数所对应的坐标为，位于第二象限

故选：B

3. 设向量，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量坐标分别求出向量的模，数量积，以及利用坐标判断向量的平行和垂直关系．

【详解】

,故选项A错误；

，故选项B错误；

故选项C错误；

故．

故选：D

4. 在正方体中，则直线与直线所成角大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设正方体的棱长为，连接，证明可得或其补角即为直线与直线所成角，在中求即可求解.

【详解】设正方体的棱长为，连接，

因为且，所以四边形是平行四边形，

可得，

所以或其补角即为直线与直线所成角，

在中，，所以，

所以直线与直线所成角大小为，

故选：C.

5. 已知数列中，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，从而可求出数列的 通项，即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，

所以，

所以，

所以.

故选：C.

6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的单调性可得关于的不等式，从而可求的取值范围.

【详解】因为函数是定义在上的偶函数，故，

而在区间上单调递增，故等价于，

所以即，

故选：C.

7. 已知函数的最小正周期为，则（    ）

A. 1 B.  C. 0 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由最小正周期求参数，再代值运算即可

【详解】因函数的最小正周期为，则，

，

故选：D

【点睛】本题考查由函数的最小正周期求参数，函数具体值的求解，属于基础题

8. 往正方形内随机放入n个点，恰有m个点落入正方形的内切圆内，则π的近似值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】令正方形边长为2，利用几何概型中的面积型列式即可得解.

【详解】令正方形边长为2，其内切圆半径为1，则正方形面积，圆面积为，

由几何概型的面积型得：，解得，

所以π的近似值为.

故选：A

9. 某几何体三视图如图所示，则其表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由三视图还原直观图，易知几何体由一个圆柱和一个长方体组成，利用面积公式求几何体表面积即可.

【详解】由三视图知该几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的．

这个几何体的表面积．

故选：A．

10. 设数列满足：，，记数列的前项之积为，则的值为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由的值确定数列周期为，利用周期的性质得出.

【详解】因为，，

所以，

，

，

，

，

，

可知数列是以为周期的周期数列，

所以

，

故选：B.

11. 某船从A处向北偏东方向航行千米后到达B处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（    ）

A. 千米 B. 千米 C. 3千米 D. 6千米

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设条件画出图形，结合图形利用余弦定理计算即得.

【详解】如图，在中，，

由余弦定理得：，

所以A处与C处之间的距离为千米.

故选：B

12. 已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求得导函数，问题化为只有一个解，分离参数，转化为研究函数的单调性、极值，函数的变化趋势，结合函数图象从而得参数范围，注意检验函数极值．

【详解】易知函数的导数，

令，得，即．

设，则，

当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．

故选：A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 已知向量，，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用求出m，即可求出，进而求出.

详解】向量，，，

所以，所以m=-2.

所以，

所以.

故答案为：1

14. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】写出命题的否定，由命题的否定是真命题，即一元二次不等式恒成立可得．

【详解】由题意：是真命题，

所以，即．

故答案为：．

15. 已知，且是第四象限的角，则的值为______________.

【答案】

【解析】

【分析】利用同角三角函数关系求出，再利用正弦二倍角公式求解.

【详解】因为，且是第四象限的角，所以，

所以.

故答案为：

16. 一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为___.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意画出图形，结合图形求得正四棱锥外接球的直径，利用球的表面积公式公式，即可求解.

【详解】如图所示，正四棱锥中，其中为正四棱锥的高，

根据对称性，可得正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，

延长交球面于一点，连接，

由球的性质可知为直角三角形，且，

由射影定理可得，

因为，所以侧棱长，，

所以，所以，所以，

所以球的表面积为.

故答案为：.

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知正项的等比数列的前 n 项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前 n 项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）设等比数列的公比为q，进而根据题意列方程求解得，再结合通项公式求解即可；

（2）结合（1）得，进而，再根据裂项求和法求和即可得答案.

【详解】解：（1）由题意知，，
，得，
设等比数列的公比为q，又，
，化简得，解得，
.
（2）由（1）知，.
，
.

18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）证明，即可得平面，由面面垂直的判定定理即可求证；

（2）连接，相交于点，由线面平行的性质定理可得，再由平行线分线段成比例即可求解.

【详解】（1）因为，所以，又，所以，

因为平面，平面，所以，

又，在平面内，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）如图，连接，相交于点，

因为平面，面，面面，

所以，所以.

19. 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：

（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；

（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）有的把握；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用列联表中的数据计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；

（2）分析可知所抽取的位车主中，男性人，记为、、、，女性人，记为，，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）由题中数据可得.

所以有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.

（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，其中男性车主有人，记为，，，；

女性车主有人，记为，.

从这6位车主中随机抽取2位车主包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种；

至少有1位女性车主包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9种.

故所求概率.

20. 在中，角，，对边分别为，，，且满足．

（1）求角；

（2）若，的中线，求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化角为边再整理可得，由余弦定理即可求解；

（2）延长至点，使，连接，，可得，等边三角形，进而可得，再由三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）由正弦定理及已知条件，得，

两边同乘，得．

由余弦定理得．

∵，∴

（2）延长至点，使，连接，，

则所得四边形是平行四边形，∴．

又∵，，可得为等边三角形，

∴，∴．

∴．

21. 如图，在棱长为6的正方体中，点是的中点，点在棱上，且，设直线，相交于点.

（1）证明：平面.

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）连接，证明，平面即得证；

（2）设到平面的距离为，由，即得解.

【详解】（1）证明：如图，连接，因为，所以，

所以，从而.

又由条件知，所以，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）解：设到平面的距离为，由，得.

又，所以三棱锥的体积.

设到平面的距离为，在中，，

，，

所以，，.

由，得，解得，

即点到平面的距离为.

22. 已知函数，．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：．

【答案】（1）；（2）；证明见解析．

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线方程；

（2）根据极值点的导数为0求出的取值范围；根据极值点得到，通过构造函数，，利用函数的单调性证明即可.

【详解】（1）当时，，，

则，又，

曲线在点处的切线方程为，即．

（2），

令，

在区间上有唯一的极值点，

又，所以只需，解得，

由，得，即，

，．

令，，

，即在上单调递增，且，

，

．