2022届甘肃省天水市一中高三上学期第三次考试数学（理）试题含答案

这是一份2022届甘肃省天水市一中高三上学期第三次考试数学（理）试题含答案，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
 天水一中高三级2021-2022学年度第一学期第三次考试数学试题（理科）   （满分：150分　　时间：120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设集合，，则（    ）A． B．（3，4] C．（3，4） D．（4，）2．欧拉恒等式(为虚数单位，为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在第（    ）象限．A．一 B．二 C．三 D．四3．已知，，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．4．使得成立的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．5．已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）A．  B． C． D．6．《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（    ）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米  7．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积等于（    ）A．8 B． C． D．8．已知是等比数列，是其前项积，若，则（    ）A．1024 B．512 C．256 D．1289．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数在的值域为（    ）A．  B． C． D．10．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．11．已知函数．若，都有，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．12．已知，，且，则下列结论一定正确的是（    ）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．观察下列数的特点1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，其中x为_____．14．设实数满足约束条件，则的最大值是_____．15．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为_____．16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题:共60分．17．（12分）在中，内角的对边分别为，已知．(1)求角；(2)若，求的最小值． 18．（12分）2021年秋，某市突发新冠疫情，随后经过各方的不懈努力，疫情得到全面控制，全市开始有序复工复产复学．该市某校高三年级为做好复学准备，对本年级的所有学生进行了问卷调查，其中一项为调查学生作业中的错题数量，为方便统计，现将调查结果分成了5组：[10,20)、[20,30)、[30,40)、[40,50) 、[50,60]，并得到如下频率分布直方图：    （1）请根据以上信息，求a的值，并求这组数据的中位数(结果保留两位小数)；（2）为做进一步的了解，需从每组中抽取若干人进行电话专访．已知错题数在[30,40)和[50,60)的学生中利用分层抽样的方式共抽取了5人，再从5人中随机抽取3人进行电话专访，错题数在[30,40)的回答3个问题，错题数在[50,60)的回答5个问题，各个问题均不相同．用X表示抽取的3名学生回答问题的总个数，求X=13的概率． 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值． 20．（12分）在① ，；② ，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列的前项和是，数列的前项和是，________________________．（1）求数列，的通项公式；（2）设，证明：．（注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则按第一个解答计分） 21．（12分）已知函数．（1）若，求函数的极值点；（2）若函数存在两个不同的零点，，证明：． （二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，点在倾斜角为的直线上，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为．（1）写出的参数方程及的直角坐标方程；（2）设与相交于两点，求的最小值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数的最小值为．（1）求的值；（2）若，，，求证． 天水一中高三级2021-2022学年度第一学期第三次考试数学答案（理科）一、选择题(本题共12题，每小题5分，共60分)题号123456789101112答案CBCDABDBACBD 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.﹣11       14.7              15.36π           16.四、解答题 ：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．解：(1) ∵中，，∴由正弦定理知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．(2) 由 (1)及得，所以当且仅当时取等号，所以的最小值为18．解：（1）根据频率分布直方图可得，解得，因为，所以中位数位于[30,40)之间，设中位数为，则，解得，故中位数为（2）因为[50,60)和[30,40)频率比为，按照分层抽样抽取5人，则[50,60)中抽2人，[30,40)中抽3人；因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在[50,60)的回答5道题，年龄[30,40)的回答3道题，回答题目总个数为个，则从[50,60)的2人中抽2人，从[30,40)的3人中抽1人，则概率19．解：（1）因为底面为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，面，所以平面，因为面，所以，又因为是正三角形，是的中点，所以，所以平面.因为，所以平面；（2）过在平面内作的垂线，知与，两两垂直，以为坐标原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，有，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，，，所以；设平面的法向量为，，，则，即，所以，令，可得，所以；设二面角的平面角为，，所以，所以，所以二面角的正弦值为.20．解：选条件①：（1）由可得，两式相减可得：，所以，在中令，可得，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，，故数列的通项公式为，数列的通项公式为；（2）由（1）知，设，，两式相减可得 所以，即；选条件②：（1）由可得两式相减可得：，即，所以，在中，令，可得：，所以，所以由，， ……，，所以，从而，所以，.故数列的通项公式为，数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以. 21.解：（1）由题易知，函数的定义域为，当时，，令函数，则.因为，所以，故函数在上单调递减，又，所以当时，，，单调递增，当时，，，单调递减.所以函数只有一个极大值点，没有极小值点.（2）由函数的两个零点分别为，，不妨令.所以，即，即，所以，.要证明，即证，即证.因为，所以即证，即证，也就是证.令，则，即证.令，则，故函数在上单调递增，所以，即，所以.22．解：（1）的参数方程为（为参数）．由得，的直角坐标方程是．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得．因为，，，所以．所以 ，当时等号成立．因此取最小值．  23．解：（1），取等号时，，即，故m=4．                                                （2）由（1）a+b=4，所以．因为，取等号时，，因为a+b=4，所以a=，．故．