2022届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（含解析）

这是一份2022届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（含解析），共16页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知，，，则与的夹角为， 等差数列的前15项和，则， 已知向量，，则， 若 ，则， 在中，若，，，则等内容，欢迎下载使用。
哈师大附中2021-2022年度高三学年上学期第一次月考数学试卷（文科）一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 已知集合，则A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】详解】试题分析：由于,因此应选C.考点：集合的运算． 2. 已知，，，则与的夹角为（    ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°【答案】A【解析】【分析】结合平面向量数量积的定义求出，结合平面向量夹角的范围即可求出结果.【详解】因为，，，所以，所以，因为，故，故选：A.3. 等差数列的前15项和，则（    ）A. -2 B. 6 C. 10 D. 14【答案】B【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式及等差数列的性质即可得解.【详解】解：等差数列的前15项和，∴，解得，∴.故选：B.4. 已知向量，，则（    ）A.  B.  C.  D. 5【答案】A【解析】【分析】求出的坐标，再由模长公式即可求解.【详解】因为向量，，所以，所以，故选：A.5. 若 ，则A.  B.  C. 1 D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 6. 在中，若，，，则（　　）A.  B.  C. 3 D. 【答案】A【解析】【分析】运用同角平方关系可求，然后利用正弦定理，计算即可得到a．【详解】∵，，，∴，由正弦定理可得，，∴．故选：A7. 若数列的通项公式为,则数列的前n项和为A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据等比数列与等差数列的求和公式，用分组求和的方法，即可求出结果.【详解】因为，所以数列的前n项和.故选C【点睛】本题主要考查数列的求和，根据分组求和的方法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解，属于常考题型.8. 如图是函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|)的部分图象，则f()＝（    ）A. － B. －1 C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】根据“五点法”求得函数解析式，然后可求得函数值．【详解】由题意，所以，，，，又，所以，所以，．故选：A．9. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的面积.【详解】当时，，又因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，因为与两坐标轴的交点坐标为和，所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.故选：B.10. 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最小值是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】分析】根据三角函数的周期变换和平移变换规律，求出变换后的解析式，结合三角函数的性质即可求出的最小值．【详解】解：函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），可得，再向右平移个单位，可得，其图象关于直线对称，即，，所以 ，，当时，可得的最小值．故选：D．11. 函数的部分图象大致为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】通过函数的奇偶性，，，可分别排除D，C，B，即得解【详解】因为，所以是奇函数，排除D；当时，，．由，可排除C；，排除B故选：A12. 已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（    ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.【详解】因为数列的前n项和，当时，；当时，满足上式，所以，又，恒成立，所以，恒成立；令，则对任意，显然都成立，所以单调递增，因此，即的最小值为，所以，即实数的最大值是.故选：C【点睛】思路点睛：根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.二.填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数在上的最大值为_____.【答案】##【解析】【分析】求导分析单调性，可得在单调递减，单调递增，比较即得解【详解】由题意，令当，故在单调递增；当，故在单调递减；当，在单调递减，单调递增且故函数在上的最大值为故答案为：14. 已知，，则的值为________________【答案】【解析】【分析】由两边平方可求，再由平方关系求.【详解】由题得，，所以，又，所以，所以，所以.故答案为：.15. 已知奇函数满足，且当时，，则的值为___________.【答案】1【解析】【分析】根据题意，分析可得，即函数是周期为4的周期函数，由此可得，结合函数的奇偶性和解析式可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数满足，则，所以函数是以为4为周期的周期函数，则，又由为奇函数且当时，，则，所以，故答案为：1．16. 递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则_______.【答案】364【解析】【分析】由等比数列的性质将化为，再由可求出，然后列出关于的方程组，求出，进而可以求出结果【详解】设等比数列的公比为，由得，由，解得或，因为数列为递增数列，所以，所以，得，因为等比数列每一项都是正数，所以，所以，所以，故答案为：364三.解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17. 已知各项均为正数的等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，且a1＋2，a2＋5，a3＋13构成等比数列{bn}的前三项.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.【答案】（1）an＝2n＋1，bn＝5·2n－1；（2）Tn＝5[(2n－1)2n＋1].【解析】【分析】（1）根据已知条件分别求出等差数列的首项和公差，等比数列的首项和公比，从而让可求得数列的通项；（2）利用错位相减法即可求得数列的前n项和Tn.【详解】解：(1)设等差数列的公差为d，则由已知得：a1＋a2＋a3＝3a2＝15，即a2＝5，又(5－d＋2)(5＋d＋13)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，a1＝a2－d＝3，∴an＝a1＋(n－1)×d＝2n＋1，又b1＝a1＋2＝5，b2＝a2＋5＝10，∴q＝2，∴bn＝5·2n－1；(2)由（1）得，∵Tn＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1]，2Tn＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n]，两式相减得－Tn＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n]＝5[(1－2n)2n－1]，则Tn＝5[(2n－1)2n＋1].18. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若锐角满足，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据三角恒等变换的公式化简，然后根据最小正周期的计算公式求解出最小正周期；（2）先根据结合诱导公式求解出的值，然后根据二倍角公式求解出的值.【详解】（1）因为，所以，所以，所以最小正周期；（2）因为，所以，又因为，且为锐角，所以.19. 数列前项和为，，，等差数列的公差大于0.已知，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，利用数列通项公式和前n项和的关系，得到，再利用等比数列的定义求解；（2）根据和成等比数列，求得，再由，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）因为，所以，所以，即，当时，，所以，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.（2）设公差为，由，得，因为成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以，所以.所以，因为，所以，20. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，可得出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围．【详解】解：（1）由及正弦定理得，所以，所以，所以，由，可得；（2），，所以，所以：，因为为锐角三角形，则，解得，所以，，则，所以，.21. 已知抛物线：上的点到焦点的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解.（2）设直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，即可求解.【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离为，得，解得，所以抛物线的标准方程为．（2）设，，显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立消去得，由得，即．所以，．又因为，，所以，所以，即，解得，满足，所以直线的方程为．22. 已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）证明：对任意，都有．【答案】（1）在区间单调递减，在区间单调递增，极小值为，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，得到，再利用导数法求解；（2）先利用导数法得到，，然后将对任意，都有，转化为，，即，证明.【详解】（1）因为，所以，则函数的定义域为，而因为，令，解得；令，解得，所以在区间单调递减，在区间单调递增，故函数有极小值为，无极大值；（2）因为，，所以，因为，令，可得（舍）或，令，得，令，得，故在区间单调递减，在区间单调递增所以，，若对任意，都有，只需证，，即证，，，，令，，只需证，所以函数在单调递增，，对任意，都有，．【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式，这是用导数证明不等式的基本思路．