9.解析几何（A组） 2022版高考数学大题专项练含解析

  9．解析几何(A组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.已知F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，P是E上一点，PF1⊥PF2，△F1PF2的面积为3.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过F2作两条互相垂直的直线与E分别交于A，B和C，D，若M，N分别为AB和CD的中点．证明：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．【解析】(1)由F1，F2得：＝2，c＝1，由题意得：，则有4a2＝16，解得：a＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝，所以椭圆E的标准方程为：＋＝1.(2)当直线l1和l2斜率存在时，设直线l1方程为y＝k，交椭圆E两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以x1＋x2＝，则M(，)，因为l1⊥l2，将上式中的k换成－，同理可得：N，若≠，即k≠±1时kMN＝＝＝·＝·，直线MN的方程为：y－＝·，化简得：y＝·，此时直线MN恒过定点，若＝即k＝±1时，直线MN斜率不存在，则直线也过点；当直线l1或l2斜率不存在时，其中一条直线为x＝1，另一条为y＝0，直线MN过点；综上所述：直线MN恒过定点.2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①|FM|＋|FN|＝|MN|；②|OM|＝|ON|＝|MN|＝8；③直线MN的方程为y＝6p.(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；(2)若直线l与抛物线C相切于点P，l与椭圆D：＋＝1相交于A，B两点，l与直线y＝－交于点Q，以PQ为直径的圆与直线y＝－交于Q，Z两点，求证：直线OZ经过线段AB的中点．【解析】(1)若同时满足条件①②：由①|FM|＋|FN|＝|MN|知MN过焦点F，当|OM|＝|ON|时，|MN|＝2p，而|OM|＝|ON|＝p≠|MN|，所以①②不同时成立．若同时满足条件①③：由①|FM|＋|FN|＝|MN|知MN过焦点F，显然，直线y＝6p不可能过焦点F，所以①③不同时成立．只能同时满足条件②③：因为|OM|＝|ON|＝|MN|＝8，且直线MN的方程为：y＝6p，所以6p＝12，解得p＝2，拋物线C的标准方程为：x2＝4y.(2)设P，因为抛物线C：x2＝4y，所以y′＝，直线AB的斜率kAB＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为G，所以＋＝1，＋＝1，两式作差得：直线OG的斜率kOG＝＝－＝－＝－，因为PQ为直径，所以QZ⊥PZ，从而Z(t，－)，直线OZ的斜率kOZ＝－，所以kOG＝kOZ，所以O，G，Z共线，所以直线OZ经过线段AB的中点．