高中数学北师大版 必修第二册第一章 —— 弧度制【课件+同步练习】

§3弧度制【基础题】

一、单选题

1．角化为弧度等于（ 　　）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

,故选B．

2．把–化成角度是

A．–960° B．–480° C．–120° D．–60°

【答案】B

【解析】

∵π=180°，∴=–480°．

故选B．

3．在0到2π范围内，与角终边相同的角是（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】

试题分析：根据与角终边相同的角是  2kπ+（），k∈z，求出结果．

解：与角终边相同的角是  2kπ+（），k∈z，令k=1，可得与角终边相同的角是，

故选C．

考点：终边相同的角．

4．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（ ）

A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变

C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍

【答案】B

【解析】

试题分析：由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在的圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形的圆心角不变，故选B．

考点：本题主要考查弧度制的概念．

点评：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

5．把-1215°化成2kπ+(k∈Z,)的形式是(　  　).

A．-6π- B．-6π+ C．-8π- D．-8π+

【答案】A

【分析】

由1215°即得解.

【详解】

由题得1215°.

故选：A

【点睛】

本题主要考查角度值和弧度值的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6．化为弧度是（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】B

【解析】

试题分析：．故选B．

考点：角度制化弧度制．

7．–630°化为弧度为

A．– B． C．– D．–

【答案】A

【解析】

∵–630°=–630×=–．∴–630°化为弧度为–．

故选A．

8．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案.

【详解】

秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为，

因此，秒针的端点所走的路线长.

故选：C.

【点睛】

本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题.

9．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是

A．1 B．4 C． D．1或4

【答案】D

【解析】

解：因为设扇形的周长为6=l+2r，面积为2=1/2lr，l=r,则可知扇形中心角的弧度数是1或4,选D

10．给出下列3个结论，其中正确的个数是（    ）

①是第三象限角；②是第二象限角；③.

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【分析】

根据象限角的定义，以及角度制和弧度制互化公式，判断选项

【详解】

①，所以是第三象限角，正确；②，所以是第三象限角，故不正确；③，故不正确.

故选：C

11．如图，2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对应的弧长为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先确定圆的半径，再利用弧长公式，求解即可.

【详解】

过点作于点，

设圆的半径为，这个圆心角所对应的弧长为，

则，，，

，

则，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查了弧长公式，属于基础题.

12．(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ）

A．) B．()

C．() D．()

【答案】CD

【分析】

根据角度制与弧度制不可混用，可判定AB错误，利用终边相同角的关系可以判定CD正确.

【详解】

A，B中弧度与角度混用，不正确；

，所以与终边相同.

，所以也与终边相同，即与终边相同.

故选：.

【点睛】

本题考查终边相同的角，难度较易，注意角度制与弧度制不可混用.

二、填空题

13．在半径为2的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，则扇形的面积为________

【答案】

【分析】

根据已知条件求出扇形的弧长，即可求解.

【详解】

设扇形的弧长为，则，

扇形的面积为.

故答案为:

【点睛】

本题考查扇形的面积，属于基础题.

14．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．

【答案】

【分析】

先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.

【详解】

设扇形的半径为R,由题得.

所以扇形的面积为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．弧度数为2的角的终边落在第______象限.

【答案】二

【分析】

将弧度化为角度,即可判断出所在象限.

【详解】

根据弧度与角度关系可知

所以

则弧度数为2的角的终边落在第二象限

故答案为:二

【点睛】

本题考查了弧度与角度的关系,属于基础题.

16．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长_________.

【答案】

【分析】

根据扇形的弧长公式进行求解即可．

【详解】

∵扇形的圆心角α，半径为r＝5，

∴扇形的弧长l＝rα5．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查扇形的弧长公式的计算，熟记弧长公式是解决本题的关键，属于基础题．

三、解答题

17．一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角是多少弧度？

【答案】弧度

【分析】

设出圆的半径，利用弦长等于圆的半径，得到一个等边三角形，其内角为，从而求出弧所对的圆心角的度数．

【详解】

如图：

因为弦的两端点与圆心构成等边三角形，所以这条弦所对的圆心角为，即弧度.

【点睛】

本题考查圆心角、弧、弦的关系，考查计算能力，属于基础题.

18．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数.

【答案】

【分析】

设这个扇形中心角的弧度数为，半径为．利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．

【详解】

解：（方法一）：.

又，∴这个扇形中心角的度数为143.2°

（方法二）依题意

由①得，代入②得，解得.

【点睛】

本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．

19．时间经过4h，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？

【答案】时针转了，等于弧度；分针转了，等于弧度

【分析】

根据时针一小时转30度，分针一小时转360度 ，分析解决即可.

【详解】

时针一小时转30度，分针一小时转360度 ，4小时时针转了 ，分针转了 ，弧度分别是和.

【点睛】

解决此题从生活实际出发，分析时针与分针旋转时之间的变化关系，注意角度与弧度之间的转化.

20．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.

（2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

（3）若α＝， R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．

【答案】（1） cm （2）α＝2时，S最大为25 （3） cm2

【分析】

试题分析：（1）由弧长公式可求得弧长l.；（2）将扇形面积转化为关于半径R的函数式，结合函数性质可求得面积的最值及对应的圆心角；（3）将扇形面积减去等腰三角形面积可得到弓形的面积

试题解析：（1）α＝60°＝，l＝10×＝ cm.

（2）由已知得，l＋2R＝20，

所以S＝lR＝ （20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25.

所以当R＝5时，S取得最大值25，

此时l＝10，α＝2.

（3）设弓形面积为S弓．由题知l＝ cm.

S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin＝（） cm2.

考点：扇形弧长与面积