高中数学北师大版 必修第二册第六章 ——章末整合课件

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章末整合专题一专题二专题三专题四专题五专题一　直观图的画法 例1按图示的建系方法,画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图.画法(1)如图①,作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.(2)如图②,画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,专题一专题二专题三专题四专题五(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D'及坐标系,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).专题一专题二专题三专题四专题五方法技巧 斜二测画法的作图技巧(1)在已知图形中建立直角坐标系.理论上是在任何位置建立直角坐标系都行,但在实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量以原有直线为坐标轴,或以图形中互相垂直的直线为坐标轴,或以图形的对称中心为坐标原点等.(2)原图中与x轴或y轴或z轴平行的线段在直观图中依然与x'轴或y'轴或z'轴平行;在原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,画端点时作坐标轴的平行线为辅助线;在原图中的曲线段可以通过取一些关键点,利用上述方法作出直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而成.(3)在画一个水平放置的平面的直观图时,由于平面是无限延展的,通常我们只画出它的一部分来表示该平面.一般地,用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.专题一专题二专题三专题四专题五变式训练1用斜二测画法画出棱长为2 cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.① 画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.专题一专题二专题三专题四专题五(3)画侧棱.过A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).图② 专题一专题二专题三专题四专题五专题二　空间中的平行关系 例2如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.专题一专题二专题三专题四专题五解存在点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD,证明如下:如图,连接BD和AC交于点O,取PB中点F,连接FO,则PF= PB.因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是BD的中点.所以OF∥PD.又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,所以OF∥平面PMD.又MA∥PB,MA= PB,所以PF∥MA.又因为MA∥PB,PF=MA.所以四边形AFPM是平行四边形.所以AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD.所以AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC.所以平面AFC∥平面PMD.专题一专题二专题三专题四专题五方法技巧 1.判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行,因此掌握线面平行的判定方法是必要的,判定线面平行的两种方法:(1)利用线面平行的判定定理.(2)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面.2.判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).(3)利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β⇒α∥β).专题一专题二专题三专题四专题五变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)证明:EF∥平面PAD;(2)求三棱锥E-ABC的体积V.专题一专题二专题三专题四专题五(1)证明在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,所以EF∥BC.因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,所以EF∥AD.又因为AD⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)解如图,连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G.因为PA⊥平面ABCD,则EG⊥平面ABCD,且EG= PA.在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,专题一专题二专题三专题四专题五专题三　空间中的垂直关系 例3(2018全国Ⅲ高考)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M是 上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.专题一专题二专题三专题四专题五(1)证明由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为 上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.专题一专题二专题三专题四专题五方法技巧 1.判定线面垂直的方法(1)线面垂直定义(一般不易验证任意性).(2)线面垂直的判定定理(a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,a∩b=A⇒l⊥α).(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α⇒a⊥α).(4)面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a⊂β,a⊥l⇒a⊥α).2.判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义.(2)面面垂直的判定定理.专题一专题二专题三专题四专题五变式训练3如图所示,已知AF⊥平面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4.(1)求证:AC⊥平面BCE;(2)求证:AD⊥AE.专题一专题二专题三专题四专题五证明(1)在直角梯形ABCD中,AD=CD=2,AB=4,所以AC=BC=2 ,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD,AF∥BE,所以BE⊥平面ABCD,又AC⊂平面ABCD,所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BE∩BC=B,所以AC⊥平面BCE.(2)因为AF⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥AF.又因为∠DAB=90°,所以AD⊥AB.又AB⊂平面ABEF,AF⊂平面ABEF,AB∩AF=A,所以AD⊥平面ABEF,又AE⊂平面ABEF,所以AD⊥AE.专题一专题二专题三专题四专题五专题四　空间角问题 例4如图,正方体的棱长为1,B'C∩BC'=O,求:(1)异面直线AO与A'C'所成角的大小;(2)异面直线AO与平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.专题一专题二专题三专题四专题五解(1)因为A'C'∥AC,所以异面直线AO与A'C'所成的角就是∠OAC.因为AB⊥平面BC',OC⊂平面BC',所以OC⊥AB.又OC⊥BO,AB∩BO=B,AB,BO⊂平面ABO,所以OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,所以OC⊥OA.即AO与A'C'所成角为30°.专题一专题二专题三专题四专题五(2)如图,作OE⊥BC于E,连接AE.因为平面BC'⊥平面ABCD,平面BC'∩平面ABCD=BC,OE⊂平面BC',OE⊥BC,所以OE⊥平面ABCD,所以∠OAE为异面直线OA与平面ABCD所成的角.(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.又因为OC⊂平面AOC,所以平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.专题一专题二专题三专题四专题五方法技巧 1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).2.二面角的平面角的作法常有三种:(1)定义法;(2)三垂线法;(3)垂面法.专题一专题二专题三专题四专题五变式训练4(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,且CD=2AB.若AB=AD,直线PB与CD所成的角为45°,则二面角P-CD-B的大小为　　　　　. (2)(2020浙江杭州模拟)如图,已知四边形ABCD是正方形,AE⊥平面ABCD,PD∥AE,PD=AD=2EA=2,G,F,H分别为BE,BP,PC的中点.①求证:平面ABE⊥平面GHF;②求直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值.专题一专题二专题三专题四专题五(1)解析因为AB⊥AD,CD∥AB,所以CD⊥AD.又PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD,所以∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.又直线PB与CD所成的角为45°,所以∠PBA=45°,PA=AB.所以在Rt△PAD中,PA=AD,所以∠PDA=45°,即二面角P-CD-B的大小为45°.答案45°专题一专题二专题三专题四专题五(2)①证明因为AE⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以AE⊥BC.因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.又BA∩AE=A,BA,AE⊂平面ABE,所以BC⊥平面AEB.因为F,H分别为BP,PC的中点,所以FH为△PBC的中位线,所以FH∥BC,得FH⊥平面ABE,又FH⊂平面GHF,所以平面ABE⊥平面GHF;专题一专题二专题三专题四专题五②解因为AE⊥平面ABCD,PD∥AE,所以PD⊥平面ABCD,又BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC,因为四边形ABCD是正方形,所以CD⊥BC,又PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD,又BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PCD.连接DH,则DH⊥PC,因为平面PBC∩平面PCD=PC,所以DH⊥平面PBC,所以∠DHG为直线GH与平面PBC所成角的余角,即θ= -∠DHG.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题五　几何体的表面积与体积 例5如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G为垂足,若将△ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五方法技巧 1.空间几何体表面积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.专题一专题二专题三专题四专题五3.对于球的切接问题的处理涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(如接点、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解.专题一专题二专题三专题四专题五变式训练5(1)如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,则三棱锥B1-ABC1的体积为(　　)专题一专题二专题三专题四专题五(2)由题意画出三棱锥的图形,其中AB=BC=CD=BD=AC=2,AD=m;取BC,AD的中点分别为E,F,可知AE⊥BC,DE⊥BC,且AE∩DE=E,所以BC⊥平面AED,专题一专题二专题三专题四专题五答案(1)A　(2)B