高中数学北师大版 必修第二册第六章 ——立体几何初步【知识梳理】
展开立体几何初步【知识梳理】
一、空间几何体的结构及其表面积、体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 | 棱柱 | 棱锥 | 棱台 |
图形 | |||
底面 | 互相平行且全等 | 多边形 | 互相平行且相似 |
侧棱 | 平行且相等 | 相交于一点，但不一定相等 | 延长线交于一点 |
侧面形状 | 平行四边形 | 三角形 | 梯形 |
(2)旋转体的结构特征
名称 | 圆柱 | 圆锥 | 圆台 | 球 |
图形 | ||||
母线 | 互相平行且相等，垂直于底面 | 相交于一点 | 延长线交于一点 |
|
轴截面 | 全等的矩形 | 全等的等腰三角形 | 全等的等腰梯形 | 圆 |
侧面展开图 | 矩形 | 扇形 | 扇环 |
|
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
| 圆柱 | 圆锥 | 圆台 |
侧面展开图 | |||
侧面积公式 | S圆柱侧＝2πrl | S圆锥侧＝πrl | S圆台侧＝π(r1＋r2)l |
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 | 表面积 | 体积 |
柱 体 (棱柱和圆柱) | S表面积＝S侧＋2S底 | V＝S底h |
锥 体 (棱锥和圆锥) | S表面积＝S侧＋S底 | V＝S底h |
台 体 (棱台和圆台) | S表面积＝S侧＋S上＋S下 | V＝(S上＋S下＋)h |
球 | S＝4πR2 | V＝πR3 |
二、平面的基本性质与推论
1.平面的基本性质
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
| 直线与直线 | 直线与平面 | 平面与平面 | |
平行关系 | 图形 语言 | |||
符号 语言 | a∥b | a∥α | α∥β | |
相交关系 | 图形 语言 | |||
符号 语言 | a∩b＝A | a∩α＝A | α∩β＝l | |
独有关系 | 图形 语言 |
| ||
符号 语言 | a，b是异面直线 | a⊂α |
| |
3.异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
三、空间中的平行关系
1.平行直线
(1)平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(2)基本性质4(空间平行线的传递性)
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
| 文字语言 | 图形表示 | 符号表示 |
判定定理 | 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 | a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α | |
性质定理 | 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 | a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b |
3.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
| 文字语言 | 图形表示 | 符号表示 |
判定定理 | 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 | a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β | |
性质定理 | 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 | α∥β，a⊂α⇒a∥β | |
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 | α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b |
四、空间的垂直关系
1.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论
| 文字语言 | 图形语言 | 符号语言 |
判定定理 | 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 | ⇒l⊥α | |
推论1 | 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 | ⇒b⊥α | |
推论2 | 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 | ⇒a∥b |
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
| 文字语言 | 图形语言 | 符号语言 |
判定定理 | 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 | ⇒α⊥β | |
性质定理 | 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 | ⇒l⊥α |
