物理必修 第二册第4章 万有引力定律及航天第2节 万有引力定律的应用导学案

这是一份物理必修 第二册第4章 万有引力定律及航天第2节 万有引力定律的应用导学案，共4页。学案主要包含了地球附近的万有引力，天体质量与密度的计算等内容，欢迎下载使用。

班级 学号 姓名
天体质量的计算
1．计算地球的质量
地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝Geq \f(mm地,R2)，由此可解得m地＝eq \a\vs4\al(\f(gR2,G))。
2．计算太阳和行星的质量
(1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程Geq \f(mm太,r2)＝meq \f(4π2r,T2)，由此可解得m太＝eq \f(4π2r3,GT2) 。
(2)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝eq \f(4π2r3,GT2)。
一、地球附近的万有引力
1．万有引力和重力的关系
设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F，方向指向地心O，如图所示，由万有引力公式得F＝Geq \f(Mm,R2)。引力F可分解为两个分力：
(1)一个分力Fn，方向垂直于自转轴，为物体随地球自转做圆周运动的向心力。
(2)另一个分力就是物体的重力mg。
2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上，满足F＝Fn＋mg，即Geq \f(Mm,R2)＝mRω2＋mg，所以mg＝Geq \f(Mm,R2)－mRω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝Geq \f(Mm,R2)。
(3)其它位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg3．重力与高度的关系
地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小。
(1)在地面附近：mg＝Geq \f(Mm,R2)。
(2)距离地面h高度处：mgh＝Geq \f(Mm,R＋h2)(R为地球半径，gh为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，物体所受的重力也越小。
解答地球表面上物体的重力与万有引力关系问题的技巧
(1)如果考虑地球自转的影响，除两极外，重力是万有引力的一个分力。
(2)如果忽略地球自转的影响，重力等于万有引力。
二、天体质量与密度的计算
【特别提醒】注意区别轨道半径r与天体半径R
1．判断正误。
(1)地球表面的物体，其重力就是物体所受的万有引力。（ ）
(2)绕行星匀速转动的卫星，由万有引力提供向心力。（ ）
(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。（ ）
(4)观测卫星绕地球的运动情况可以计算出地球的质量。（ ）
2．随着我国航天事业的不断发展，未来某一天，我国宇航员降落在某星球上，测得该星球表面的重力加速度为g′。已知该星球半径为R，万有引力常量为G，忽略该星球自转造成的影响，则该星球的质量为( )
A. eq \f(g′R2,G) B. eq \f(GR2,g′)C. eq \f(g′R,G)D. eq \f(GR,g′)
3．[多选]用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，下列说法正确的是( )
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数F0＝Geq \f(Mm,R2)
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数F1＝Geq \f(Mm,R2)
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数F2＝Geq \f(Mm,R＋h2)
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数F3＝Geq \f(Mm,R＋h2)
4．宇航员王亚平在天宫一号航天器内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若航天器质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则航天器所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B. eq \f(GM,R＋h2)
C. eq \f(GMm,R＋h2)D. eq \f(GM,h2)
5．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。
(1)求该天体的质量和密度。
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T2，求该天体的质量和密度。
参考答案
1． (1) × (2) √ (3) × (4) √
2．选A：在星球表面忽略自转的情况下，物体所受的重力与万有引力相等，有mg′＝Geq \f(Mm,R2)，可得星球的质量M＝eq \f(g′R2,G)，故A正确。
3．选AC：物体在两极时，万有引力等于重力，有F0＝Geq \f(Mm,R2)，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，有F1＜Geq \f(Mm,R2)，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，有F2＝Geq \f(Mm,R＋h2)，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，有F3＜Geq \f(Mm,R＋h2)，故D错误。
4．选B：航天器受到的万有引力等于在该处所受的重力，即Geq \f(Mm,R＋h2)＝mg，得g＝eq \f(GM,R＋h2)，选项B正确。
5．[答案] (1)eq \f(4π2R3,GT12) eq \f(3π,GT12)(2)eq \f(4π2R＋h3,GT22) eq \f(3πR＋h3,GT22R3)：
设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星贴近天体表面运动时，有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T12)R，则该天体的质量M＝eq \f(4π2R3,GT12)。
根据数学知识可知天体的体积V＝eq \f(4,3)πR3，故该天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R3,GT12·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT12)。
(2)卫星距天体表面的高度为h时，有Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T22)(R＋h)，
则该天体的质量M＝eq \f(4π2R＋h3,GT22)，该天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R＋h3,GT22·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πR＋h3,GT22R3)。
—
方法
已知量
利用公式
表达式
说明
质量的计算
利用绕行天体的运动(环绕法)
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
利用天体表面重力加速度(重力加速度法)
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
—
密度的计算
利用绕行天体的运动(环绕法)
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度(重力加速度法)
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
—