新课标2022版高考数学总复习第二章函数第六节对数与对数函数课件文

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学习要求:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然 对数或常用对数;了解对数在化简运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特 殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=ax与对数函数y=lgax互为反函数(a>0,且a≠1).
1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果①    ax=N(a>0,且a≠1)    ,那么数x叫做以a为底N的对数,记作②    x=lgaN    ,其中③    a    叫做对数的底数,④    N    叫做真数.
(2)几种常见的对数:
2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质: =⑧    N    ;lgaaN=⑨    N    .(a>0,且a≠1)(2)对数的重要公式:换底公式:⑩    lgbN    = (a,b均大于0且不等于1);相关结论:lgab= ,lgab·lgbc·lgcd=     lgad    (a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).
(3)对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么lgaMN=     lgaM+lgaN    ;lga =     lgaM-lgaN    ;lgaMn=     nlgaM    (n∈R);l Mn= lgaM(m,n∈R,且m≠0).
3.对数函数的图象与性质
4.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数     y=lgax    (a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线     y=x    对称.
知识拓展　　对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函 数图象交点的横坐标为相应的底数,故01.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)lgaMN=lgaM+lgaN. (　　)(2)lgax·lgay=lga(x+y). (　　)(3)lg2x2=2lg2x. (　　)(4)若lgam0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1), ,函数图象经过第一、四象限. (　　)
2.lg525+1 = (　　)A. 　　　    B.6　　　    C. 　　　    D.9
3.下列各式中正确的是 (　　)A. =lga2　　　    B.lg 2+lg 5=lg 7C.(ln x)2=2ln x　　　    D.lg = lg x
4.已知a=lg23,b= ,c= ,则a,b,c的大小关系是 (　　)A.a5.(2020河北唐山期末)函数f(x)=lg(x-2)的定义域为 (　　)A.(-∞,+∞)　　　    B.(-2,2)　　　    C.[2,+∞)　　　    D.(2,+∞)
6.(易错题)已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=lgax的图象可能是 (　　) 
易错分析    忽视反函数的定义.
解析　由函数f(x)=ax与函数g(x)=lgax互为反函数,得图象关于y=x对称,从而 排除A,C,D.易知当a>1时,两函数图象与B选项中的图象相同.故选B.
考点一　对数的概念、性质与运算 
角度一　对数的概念与性质
典例1　(1)若lga2=m,lga5=n(a>0,且a≠1),则a3m+n= (　　)A.11　　　    B.13　　　    C.30　　　    D.40(2)已知2a=5b=10,则 =　　　    .(3)设 =9,则x=　　    .
典例2　计算:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25;(2)lg3 +lg 5+ +lg23·lg94+lg 2;(3)(lg32+lg92)·(lg43+lg83).
解析　(1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)·lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)·lg 2+2lg 5=(1+1)·lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2)原式=lg3 +lg 5+2+ · +lg 2= -1+(lg 5+lg 2)+2+1=- +1+3= .(3)原式=lg32·lg43+lg32·lg83+lg92·lg43+lg92·lg83= · + · + · + · = + + + = .
规律总结对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂 的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性 质,将其转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.
1.(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20-lg23·lg38+ =　　　    .
解析　原式=lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-lg23· +2· =1+1-3+10=9.
2.如果45x=3,45y=5,那么2x+y=　　　    .
解析　∵45x=3,45y=5,∴x=lg453,y=lg455,∴2x+y=2lg453+lg455=lg459+lg455=lg45(9×5)=1.
考点二　对数函数的图象及应用 
典例3　(1)函数f(x)=ln|x-1|的大致图象是 (　　) (2)当00,且a≠1),则a的取值范围是 (　　)A. 　　　    B. C.(1, )　　　    D.( ,2)
(3)已知函数f(x)=4+lga(x-1)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是 (2,4).
(2)当00,且a≠1),则a的取值范围是 (　　)A. 　　　    B. C.(1, )　　　    D.( ,2)
方法技巧对数函数图象的应用方法一些对数型方程、不等式的问题常转化为相应函数的图象问题,利用数形结 合求解.
1.(2020黑龙江齐齐哈尔第六中学模拟)函数f(x)=|lga(x+1)|(a>0,且a≠1)的大 致图象是 (　　) 
解析　函数f(x)=|lga(x+1)|的定义域为{x|x>-1},且对任意的x∈(-1,+∞),均有f(x)≥0,结合对数函数的图象可知选C.
2.函数y=x-a与函数y=lgax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象可能是 (   　) 
解析　当a>1时,对数函数y=lgax为增函数,当x=1时,函数y=x-a的值为负, 故A、D错误;当0考点三　对数函数的性质及应用 
角度一　比较对数值的大小
典例4　(1)(2018天津,5,5分)已知a=lg2e,b=ln 2,c=l  ,则a,b,c的大小关系为 (　　)A.a>b>c　　　    B.b>a>cC.c>b>a　　　    D.c>a>b
(2)已知f(x)满足f(x)-f(-x)=0,且在(0,+∞)上单调递减,若a= ,b= ,c=lg2 ,则f(a), f(b), f(c)的大小关系为 (　　)A.f(b)角度二　解简单的对数不等式
典例5　(1)函数f(x)= 的定义域为 (　　)A. 　　　    B.(2,+∞)C. ∪(2,+∞)　　　    D. ∪[2,+∞)(2)函数y= 的定义域是 (　　)A.[1,2]　　　    B.[1,2)C. 　　　    D. 
角度三　对数函数性质的综合应用
典例6　已知函数f(x)=lga(ax2-x+1)(a>0,且a≠1).(1)若a= ,求函数f(x)的值域;(2)当f(x)在区间 上为增函数时,求a的取值范围.
解析　(1)当a= 时,ax2-x+1= x2-x+1= [(x-1)2+1]>0恒成立,故函数f(x)的定义域为R,∵ x2-x+1= [(x-1)2+1]≥ ,且函数y=l x在(0,+∞)上单调递减,∴l  ≤l  =1,即函数f(x)的值域为(-∞,1].(2)依题意可知,①当a>1时,由复合函数的单调性可知,必有y=ax2-x+1在 上单调递增,且ax2-x+1>0对任意的x∈ 恒成立,
所以 解得a≥2;②当00对任意的x∈ 恒成立,所以 解得 1.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同 一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
2.对数不等式的类型及解法(1)形如lgax>lgab(a>0,且a≠1)的不等式,需借助y=lgax的单调性求解,如果a 的取值不确定,那么需分a>1与0b(a>0,且a≠1)的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式, 再求解.
1.设a=lg36,b=lg510,c=lg714,则 (　　)A.c>b>a　　　    B.b>c>aC.a>c>b　　　    D.a>b>c
2.(2019山东高考模拟)已知f(x)=ex-1+4x-4,若正实数a满足f <1,则a的取值范围是 (　　)A.a> 　　　     B.0 C.01　　　    D.a>1
解析　因为y=ex-1与y=4x-4都是R上的增函数,所以f(x)=ex-1+4x-4是R上的增函 数,又因为f(1)=e1-1+4-4=1,所以f <1等价于lga <1,所以lga 1时,y=lg ax在(0,+∞)上单调递增,所以a> ,故a>1,综上所述,a的取值范围是01.故选C.
3.(2020上海高三专题练习)函数y= 的定义域为　　 　　　    　    .
4.(2020河北新乐一中高二月考)函数f(x)=l (-x2+2x+3)的单调递增区间是    　　    .