新课标2022版高考数学总复习第二章函数第五节指数与指数函数练习含解析理

这是一份新课标2022版高考数学总复习第二章函数第五节指数与指数函数练习含解析理，共15页。试卷主要包含了了解指数函数模型的实际背景，01)0等内容，欢迎下载使用。

第五节　指数与指数函数
学习要求:1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.
4.知道指数函数是一类重要的函数模型.


　　1.指数幂的概念
(1)根式的概念:
根式的概念
符号表示
备注
如果①　xn=a(a∈R,n>1,n∈N*)　,那么x叫做a的n次方根 

n>1且n∈N*
当n为奇数时,正数的n次方根是一个②　正数　,负数的n次方根是一个③　负数　 
na
0的n次方根是0
当n为偶数时,正数的n次方根有④　两个　,它们互为⑤　相反数　 
±na
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式:
nan=⑥　a　,n为奇数,|a|=⑦　a　(a≥0),⑧　-a　(a<0),n为偶数;
(na)n=⑨　a　(注意:a必须使na有意义). 
2.有理数指数幂
(1)分数指数幂的表示:
(i)正数的正分数指数幂:
amn=⑩ nam　(a>0,m,n∈N*,n>1); 
(ii)正数的负分数指数幂:
a-mn= 1amn　=1nam(a>0,m,n∈N*,n>1); 
(iii)0的正分数指数幂是　0　,0的负分数指数幂无意义. 
(2)有理数指数幂的运算性质:
(i)aras=　ar+s　(a>0,r,s∈Q); 
(ii)(ar)s=　ars　(a>0,r,s∈Q); 
(iii)(ab)r=　arbr　(a>0,b>0,r∈Q). 
3.指数函数的图象与性质

a>1
0 图象


定义域
　R　 
值域
　(0,+∞)　 
性质
过定点　(0,1)　 
当x>0时,　y>1　; 
当x<0时,　0 当x>0时,　0 当x<0时,　y>1　 
在(-∞,+∞)上是
　单调增函数　 
在(-∞,+∞)上是
　单调减函数　 
知识拓展
　　指数函数的图象与底数大小的关系.下图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可以得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.



1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)nan与(na)n都等于a(n∈N*). (　　)
(2)函数y=23x与y=2x+1都不是指数函数. (　　)
(3)若am0,且a≠1),则m (4)当a<0时,(a2)32=a3. (　　)
(5)函数y=21+2x是减函数. (　　)
(6)函数y=11+3x的值域是(0,1). (　　)
答案　(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)√　(6)√
2.函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象必经过点 (　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,1)　　　　C.(2,0)　　　　D.(2,2)
答案　D　令x-2=0得x=2,则f(2)=a0+1=2,所以f(x)的图象必过点(2,2).
3.某种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的年产量y随年数x变化的函数解析式为 (　　)
A.y=a(1+p%)x(0 B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N)
C.y=a(1+xp%)(0 D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)
答案　B　设年产量经过x年增加到y件,则第一年为y=a(1+p%),第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)3,……,则y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).
4.32,54,88三个数从小到大的排列顺序是　　　　. 
答案　32<88<54
解析　32=213,54=225,88=238,所以32<88<54.
5.(2020湖南衡阳八中期中)已知指数函数f(x)=(a-1)x,若当x>0时,f(x)<1恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 
答案　(1,2)
解析　因为当x>0时,(a-1)x<1恒成立,所以0 6.(易错题)函数y=122x-x2的最小值为　　　　. 
答案　12
解析　令g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,所以函数y=122x-x2的最小值为12.
易错分析　对复合函数的单调性理解不透彻.

指数幂的运算
角度一　根式与指数幂
典例1　(1)a3a·5a4(a>0)的值是 (　　)
A.1　　　　B.a　　　　C.a15　　　　D.a1710
(2)3-22+3(1-2)3+4(1-2)4+5-26=　　　　. 
答案　(1)D　(2)3-1
角度二　化简求值
典例2　化简下列各式:
(1)2350+2-2×214-12-(0.01)0.5;
(2)56a13b-2·(-3a-12b-1)÷(4a23b-3)12.
解析　(1)原式=1+14×4912-110012=1+14×23-110=1+16-110=1615.
(2)原式=-52a-16b-3÷(4a23·b-3)12
=-54a-16b-3÷(a13b-32)
=-54a-12b-32
=-54·1ab3=-5ab4ab2.
规律总结
　　指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
▶提醒　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数,形式力求统一.

1.(a23b-1)-12a-12b136ab5=　　　　. 
答案　1a
解析　原式=a-13b12a-12b13a16b56=a-13-12-16·b12+13-56=1a.
2.32-13×-760+814×42--2323=　　　　. 
答案　2
解析　原式=2313×1+234×214-2313=2.
指数函数的图象及应用
典例3　(1)函数f(x)=-3|x|+1的大致图象是 (　　)

(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是　　　. 
答案　(1)A　(2)[-1,1]
解析　(1)因为函数f(x)=-3|x|+1,
所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x),
即函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D.
当x=0时,f(0)=-30+1=0,即函数f(x)的图象过原点,故排除C.故选A.
(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1≤b≤1.

◆变式探究　本典例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围.
解析　作出曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由该图得b的取值范围是(0,1).

方法技巧
　　应用指数函数图象的4个技巧
(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1a.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.
(4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.


1.函数y=ax-1a(a>0,且a≠1)的图象可能是 (　　)

答案　D　∵a>0,∴1a>0,∴函数y=ax需向下平移1a个单位长度,不过(0,1)点,所以排除A,
当a>1时,0<1a<1,所以排除B,
当01,所以排除C,故选D.
2.已知函数f(x)=ax-2+7(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的图象上,则幂函数g(x)的图象是 (　　)

答案　D　由题意知f(2)=a2-2+7=8,所以定点P的坐标为(2,8),设幂函数g(x)=xα,将P(2,8)代入得2α=8,故α=3,即g(x)=x3,故选D.
3.若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不相等的实数根,则a的取值范围是　　　　. 
答案　0,12
解析　方程|ax-1|=2a(a>0,a≠1)有两个不相等的实数根等价于函数y=|ax-1|的图象与y=2a的图象有两个交点.
当0 当a>1时,如图②,而y=2a>1,不符合题意.

所以0 指数函数的性质及应用
角度一　比较指数幂的大小
典例4　(1)已知a=1223,b=2-43,c=1212,则下列关系式中正确的是 (　　)
A.c C.a (2)设a=0.230.32,b=20.01,c=0.320.23,则a,b,c的大小关系为　　　　. 
答案　(1)B　(2)a 解析　(1)b=1243,且函数y=12x在R上为减函数,43>23>12,所以1243<1223<1212,即b (2)0.230.32<0.230.23<0.320.23<1<20.01,所以a 角度二　解简单指数型不等式
典例5　(1)已知函数f(x)=12x,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为 (　　)
A.(-4,1)　　　　B.(-1,4)　　　　
C.(1,4)　　　　D.(0,4)
(2)已知133x+1>91-x,则x的取值范围是　　　　. 
(3)已知4x-2x+1-8<0,则x的取值范围是　　　　. 
答案　(1)B　(2)(-∞,-3)　(3)(-∞,2)
角度三　指数函数性质的综合应用
典例6　(1)函数f(x)=ex-1ex+1(e为自然对数的底数)的值域为(　　)
A.(-1,1)　　　　B.(-1,+∞)
C.(-∞,1)　　　　D.(-1,0)∪(0,1)
(2)若函数y=2+x-x2的定义域为A,则函数y=4x-2x+1(x∈A)的值域为　　　　. 
答案　(1)A　(2)[-1,8]
解析　(1)f(x)=ex-1ex+1=1+-2ex+1,因为ex>0,所以ex+1>1,所以-2<-2ex+1<0,所以-1<1+-2ex+1<1,即f(x)的值域为(-1,1),所以选A.
(2)由2+x-x2≥0,解得-1≤x≤2,所以A=[-1,2].
函数y=4x-2x+1=22x-2·2x=(2x-1)2-1,x∈[-1,2],则12≤2x≤4,
当2x=1,即x=0时,ymin=-1;当2x=4,即x=2时,ymax=8,所以-1≤y≤8.所以函数y=4x-2x+1(x∈A)的值域是[-1,8].
典例7　(1)函数f(x)=12-x2+2x+1的单调减区间为　　　　　　　. 
(2)已知奇函数f(x)=a-2ex+1(a∈R,e为自然对数的底数).
①判断f(x)的单调性(不用证明);
②若对任意的实数x,f(x)>m2-4m+2恒成立,求实数m的取值范围.
答案　(1)(-∞,1]
解析　(1)令u=-x2+2x+1,
∵y=12u为减函数,∴函数y=12-x2+2x+1的单调减区间即函数u=-x2+2x+1的单调增区间.
又u=-x2+2x+1的单调增区间为(-∞,1],
∴函数f(x)的单调减区间为(-∞,1].
(2)①f(x)是R上的单调递增函数.
②∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴a-2e-x+1=-a+2ex+1,∴2a=2,∴a=1,
∴f(x)=1-2ex+1,令t=ex+1,∵ex>0,
∴t>1,又g(t)=1-2t在(1,+∞)上为增函数,
∴-1m2-4m+2对任意的实数x恒成立,∴m2-4m+2≤-1,即m2-4m+3≤0,∴1≤m≤3,故实数m的取值范围是[1,3].
规律总结
　　1.利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.

1.不等式12x2+ax<122x+a-2恒成立,则a的取值范围是　　　　　. 
答案　(-2,2)
2.求函数f(x)=3x2-5x+4的定义域、值域及单调区间.
解析　解不等式x2-5x+4≥0,得x≤1或x≥4,所以函数y=f(x)的定义域为(-∞,1]∪[4,+∞).因为x2-5x+4≥0,所以f(x)=3x2-5x+4≥30=1,则函数y=f(x)的值域为[1,+∞).令u=x2-5x+4,由二次函数的性质可知,u=x2-5x+4在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增,且y=3u为增函数,故函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[4,+∞).
3.(2019黑龙江大庆四中高一月考)已知函数f(x)=ax-2(a>0,a≠1,x≥0)的图象经过点(3,0.5).
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)=ax-2(x≥0)的值域.
解析　(1)∵函数f(x)=ax-2的图象经过点(3,0.5),∴a3-2=0.5,∴a=12.
(2)由(1)可知f(x)=12x-2(x≥0),∵0<12<1,∴f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f(x)在x=0时,取得最大值,∴f(x)max=f(0)=12-2=4,又∵f(x)>0,∴函数f(x)的值域为(0,4].


A组　基础达标

1.已知a>0,则a3a2= (　　)
A.a12　　　　B.a32　　　　C.a23　　　　D.a13
答案　D
2.若3 A.7-2a　　　　B.2a-7　　　　C.1　　　　D.-1
答案　C
3.已知在同一平面直角坐标系下,指数函数y=ax和y=bx的图象如图所示,则下列关系中正确的是(　　)

A.ab>1　　　　D.b>a>1
答案　C　由题图知a,b均大于1,
因为y=ax与x=1的交点在y=bx与x=1的交点上方,所以bb>1.故选C.
4.(2020山东济宁二中期末)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),且f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,2]　　　　B.[2,+∞)
C.[-2,+∞)　　　　D.(-∞,-2]
答案　B　由f(1)=19得a2=19,解得a=13或a=-13(舍去),即f(x)=13|2x-4|.因为y=|2x-4|在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,且y=13x在R上为减函数,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.故选B.
5.(2019安徽肥东第二中学高一期中)若函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7是定义域内的单调递增函数,则实数a的取值范围是 (　　)
A.94,3　　　　B.94,3
C.(1,3)　　　　D.(2,3)
答案　B　∵函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7是定义域内的单调递增函数,
∴3-a>0,a>1,(3-a)×7-3≤a,解得94≤a<3,
∴实数a的取值范围是94,3.故选B.
6.已知函数f(x)=3x-3-x,则f(x) (　　)
A.是偶函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是增函数
C.是偶函数,且在R上是减函数
D.是奇函数,且在R上是减函数
答案　B　函数f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.又y=3x在R上是增函数,函数y=13x在R上是减函数,∴函数f(x)=3x-13x在R上是增函数.
7.(2020福建三明一中期末)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为(　　)

答案　A　因为x∈(0,4),所以x+1>1,
所以f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5≥2·(x+1)·9x+1-5=1,
当且仅当x=2时取等号,此时函数f(x)的最小值为1,所以a=2,b=1,
故g(x)=2|x+1|=2x+1,x≥-1,12x+1,x<-1,
函数g(x)的图象由函数y=2x,x≥0,12x,x<0的图象向左平移1个单位长度得到.
再结合指数函数的图象及选项可知A正确.
8.函数y=2x2x+1(x∈R)的值域为 (　　)
A.(0,+∞)　　　　B.(0,1)
C.(1,+∞)　　　　D.0,12
答案　B　y=2x2x+1=2x+1-12x+1=1-12x+1,
∵0<12x+1<1,∴-1<-12x+1<0,∴0<1-12x+1<1,即0 9.已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 (　　)
A.a<0,b<0,c<0　　　　B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c　　　　D.2a+2c<2
答案　D　作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图中实线所示,

∵af(c)>f(b),
∴结合图象知f(a)<1,a<0,0 ∴f(a)=|2a-1|=1-2a,
f(c)=|2c-1|=2c-1.
又f(a)>f(c),∴1-2a>2c-1,
即2a+2c<2,故选D.

B组　能力拔高

10.函数f(x)=a4-2x+3(a>0,且a≠1)的图象必过定点A,则点A的坐标是　　　　. 
答案　(2,4)
解析　∵指数函数的图象恒过定点(0,1),∴令4-2x=0,得x=2,∴f(2)=a0+3=4,∴点A的坐标是(2,4).
11.已知函数f(x)=2x,x>0,-x2-2x+1,x≤0,若f(f(a))=4,则a=　　　　. 
答案　1或-1
解析　令m=f(a),则f(m)=4,当m>0时,2m=4,解得m=2;当m≤0时,
-m2-2m+1=4,无解.故f(a)=2,当a>0时,2a=2,解得a=1;当a≤0时,-a2-2a+1=2,解得a=-1.综上,a=1或a=-1.
12.(2020上海高三专题练习)设函数f(x)=3x-1,x<1,2x,x≥1,若f(f(a))=2f(a),则a的取值范围是　　　　. 
答案　23,+∞
解析　令f(a)=t,则f(t)=2t,
当t<1时,3t-1=2t,
作出直线y=3t-1(t<1)和函数y=2t(t<1)的图象如图所示.

由图象可知,当t<1时,3t-1=2t无解,
当t≥1时,2t=2t恒成立,由f(a)≥1得
当a<1时,3a-1≥1,解得23≤a<1,
当a≥1时,2a≥1,解得a≥1.
综上,a的取值范围是23,+∞.
13.函数f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为　　　　. 
答案　13或3
解析　令t=ax(a>0,且a≠1),则原函数可转化为f(t)=(t+1)2-2(t>0).
①当0 ②当a>1,x∈[-1,1]时,t∈1a,a,
因为f(t)在1a,a上是增函数,所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上,a=13或3.

C组　思维拓展

14.已知函数f(x)=10x-10-x10x+10-x.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)证明:函数f(x)在定义域内是增函数;
(3)求函数f(x)的值域.
解析　(1)易知f(x)的定义域为R,且f(-x)=10-x-10x10-x+10x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
(2)证明:f(x)=10x-10-x10x+10-x=102x-1102x+1=1-2102x+1,
任取x1,x2∈R,且x2>x1,则
f(x2)-f(x1)=1-2102x2+1-1-2102x1+1
=2×102x2-102x1(102x2+1)(102x1+1).
因为x2>x1,所以102x2-102x1>0,又102x2+1>0,102x1+1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以函数f(x)在定义域内是增函数.
(3)令y=f(x),由y=10x-10-x10x+10-x,解得102x=1+y1-y,因为102x>0,所以-1 15.已知函数f(x)=1-42ax+a(a>0,且a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)当x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2恒成立,求实数t的取值范围.
解析　(1)因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).
所以1-42a-x+a=-1+42ax+a,即a=2.
(2)记y=f(x),即y=2x-12x+1,所以2x=1+y1-y.由2x>0得1+y1-y>0,
解得-1 (3)由tf(x)≥2x-2得t2x-t2x+1≥2x-2,
即(2x)2-(t+1)2x+t-2≤0.令u=2x,
因为x∈(0,1],所以u∈(1,2],
即当u∈(1,2]时,u2-(t+1)u+t-2≤0恒成立.
所以12-(t+1)×1+t-2≤0,22-(t+1)×2+t-2≤0,解得t≥0.
故实数t的取值范围是[0,+∞).