数学七年级下册3 旋转对称图形教学设计及反思

七年级数学下册  10.3 旋转利用旋转妙解正方形问题

素材（新版）华东师大版

利用旋转妙解正方形问题

正方形是最特殊的四边形，具有高度的对称性。因此，在正方形中的线段证明和计算

等问题上，    利用旋转变换可巧妙地拼接图形，        使条件发生转化并相对集中，       可达到化难为易

的目的。现举例如下。

例 1     如图    正方形  ABCD中，   E、  F 分别是  AD、   CD边上两点，

A

BF 平分∠ EBC。求证：     BE=AE+CF。

F

分析：四边形   ABCD是正方形，    AB=BC，  ∠ A=∠C=90°，

把△BCF绕点  B逆时针旋转   90°到△ BAG 的位置，如图，

此时 AG=CF，只需再证   BE=GE即可，由于∠ GBE=∠ FBE=∠GBA，

所以∠ GBE=∠ ABF=∠BFC=∠G。因而     BE=GE。证明略。

C

评注：本题将△ BCF 绕点 B 进行旋转变换，使线段     CF与 AE巧妙

拼接，并与   BE组成三角表，从而利用等腰三角形的知识解题。

C

例2     如图  P为正方形  ABCD内一点，    PA=1，   PB=2，

∠APB=135°，求   PC的长。

A

分析：由  AB=BC，  ∠ABC=90°，可将△ BAP 绕点 B 按顺时针方向旋

转 90°， 得△BCP′，  如图连结  PP′， 则△BPP′是等腰直角三角形。     因为 PB=P′B==2，

根据勾股定理，得    PV′2    2  。又因为∠ CP′B=∠APB=135°，∠ PP′B=45°，所以

∠CP′P=90°，即△ CP′P   是直角三角形，从而    PC=    （2   2  ）  2+12  =3 。

A

评注：   本题通过旋转变换，将线段     PC、  P′与 PP′巧妙构成直角三角形，且使已知条件

相对集中，并与结论沟通起来，达到了化难为易的目的。

1

以下两题供同学们练习：

1、如图，在正方形    ABCD中，   E、  F 是 BC、  CD边上的两点，

B

∠ EAF=45°。求证：     EF=BE=DF。

E

2、如图，正方形   ABCD的边长为   1，  BC、  CD边上各角

C

一点 E、  F，若△ CEF 的周长为   2，求∠ EAF 的度数。

F

A

D

2