专题1.5 不等式与不等式组章末重难点题型（举一反三）-2021-2022学年七年级下册数学举一反三系列（人教版）

专题1.5  不等式与不等式组章末重难点题型

【人教版】

【考点1  不等式的基本性质】

【方法点拨】不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【例1】（2019春•南平期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）＞1，一定能推出a＞b的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-1】（2018春•江汉区期末）若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|．其中一定成立的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1-2】（2019春•冠县期末）下列式子正确的是（　　）

A．若＜，则x＜y B．若bx＞by，则x＞y 

C．若＝，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y

【变式1-3】（2019春•宜宾县校级期中）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（　　）

A．由ax＜b，得x＜ B．由（a﹣b）x＞2，得x＞ 

C．由bx＜a，得x＞ D．由（b﹣a）x＜2，得x＜

【考点2  由实际问题抽象出一元一次不等式】

【方法点拨】由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．

【例2】（2019春•湘桥区期末）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（　　）

A．6折 B．7折 C．8折 D．9折

【变式2-1】（2019春•威远县校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（　　）

A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x 

C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8

【变式2-2】（2019春•肥城市期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（　　）

A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48 

C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48

【变式2-3】（2019•江北区一模）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（　　）

A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27 

C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27

【考点3  解一元一次不等式】

【方法点拨】解一元一次不等式组的步骤：
（1） 求出每个不等式的解集；
（2） 求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）
（3） 用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论）
【例3】（2019秋•鹿城区校级期末）解不等式＞﹣1，并把解集在数轴上表示出来．

【变式3-1】（2019春•黄州区校级期末）代数式的值不大于的值，求x的范围．

【变式3-2】（2018•海淀区二模）解不等式x﹣＜，并把解集在数轴上表示出来．

【变式3-3】（2019•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．

【考点4  解一元一次不等式组】

【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）。

口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解

【例4】（2019•呼和浩特）求不等式组：的整数解．

【变式4-1】（2019•黔东南州）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．

【变式4-2】（2019•苏州模拟）解不等式组：，并求它的整数解的和．

【变式4-3】（2019春•资阳期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并求不等式组的整数解．

【考点5  根据不等式（组）的解集求参数】

【例5】（2019春•兰州期中）已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，求a的取值范围．

【变式5-1】若不等式组的解集为3≤x≤4，求不等式ax+b＜0的解集．

【变式5-2】（2019春•简阳市期末）若不等式组①有解；②无解．请分别探讨a的取值范围．

【变式5-3】（2019春•宁德期末）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式x＜﹣3的解都是不等式x＜﹣1的解，则x＜﹣3是x＜﹣1的蕴含不等式．

（1）在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的蕴含不等式的是　   　；

（2）若x＞﹣6是3（x﹣1）＞2x﹣m的蕴含不等式，求m的取值范围；

（3）若x＜﹣2n+4是x＜2的蕴含不等式，试判新x＜﹣n+3是否是x＜2的蕴含不等式，并说明理由．

【考点6  利用整数解求参数】

【例6】已知不等式3x﹣m＜4（x+1）的负整数解有且只有三个，求m的取值范围．

【变式6-1】（2019春•耒阳市校级期末）已知关于x的不等式组的整数解有5个，求a的取值范围．

【变式6-2】（2018春•金牛区校级月考）关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．

【变式6-3】（2018春•东湖区校级期中）若不等式组

（1）当a＝2时，解这个不等式组；

（2）若这个不等式组的解集不是空集，求a的取值范围；

（3）若这个不等式组的解集有且只有2018个整数解，求a的取值范围．

【考点7  方程组的解构造不等式（组）求参数】

【例7】（2019春•西城区校级期中）若二元一次方程组的解x＞y，求k的取值范围．

【变式7-1】（2018春•沂源县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，则m的取值范围是什么？

【变式7-2】（2018春•邻水县期末）是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

【变式7-3】（2019春•德城区期末）已知关于xy的方程组的解满足x≥0，y＜1

（1）求m的取值范围；

（2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式2x﹣mx＞2﹣m的解集为x＜1？

【考点8  二元一次方程组与不等式的应用】

【例8】（2019•资阳）某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．

（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；

（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．

【变式8-1】（2019春•杭锦后旗期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：

（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

【变式8-2】（2019春•通城县期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．

（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．

（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？

【变式8-3】（2019春•南安市期末）泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如表所示：

根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元；若都买二等座动车票，则共需8820元．已知家长人数是教师人数的2倍．

（1）设参加活动的老师有m人，请直接用含m的代数式表示：教师和家长都购买一等动车票所需的总费用；

（2）求参加活动的教师、家长、学生各有多少人？

（3）如果二等座动车票共买到x张，其中学生全部购买二等座动车票，剩余的人员买一等座动车票，且买票的总费用不低于9000元，求x的最大值．

【考点9  利用不等式解分段计费问题】

【例9】（2018春•北海期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）

（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．

（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．

【变式9-1】（2018春•黄梅县期末）“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案．

甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；

乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费．

设某位顾客购买了x元的该种粽子．

（1）补充表格，填写在“横线”上：

（2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？

【变式9-2】（2019•宁阳县模拟）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费见价目表．例如：某居民元月份用水9吨，则应收水费2×6+4×（9﹣6）＝24元

（1）若该居民2月份用水12.5吨，则应收水费多少元？

（2）若该居民3、4月份共用15吨水（其中4月份用水多于3月份）共收水费44元（水费按月结算），则该居民3月、4月各用水多少吨？

【变式9-3】（2019秋•江汉区校级月考）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表所 示是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：

（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）

已知小明家2017年5月份用水 20 吨，交水费66元；6月份用水25吨交水费91元

（1）求a、b的值；

（2）为了节约开支，小明家计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小明家的月收入为9200元，则小明家7月份最多能用水多少吨？

【考点10  一元一次不等式组与方案设计问题】

【例10】（2019•德阳）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．

（1）求甲、乙商品每件各多少元？

（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，

①最多可采购甲商品多少件？

②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．

【变式10-1】（2019春•随县期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）

（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？

（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．

【变式10-2】（2019•泸州）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．

（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？

（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．

【变式10-3】（2018春•莒县期末）为解决中小学大班额问题，某县今年将改扩建部分中小学，根据预算，改扩建3所中学和2所小学共需资金6200万元，改扩建1所中学和3所小学共需资金4400万元

（1）改扩建1所中学和1所小学所需资金分别是多少万元？

（2）该县计划改扩建中小学共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过8400万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到中小学的改扩建资金分别为每所500万元和300万元，请问共有哪几种改扩建方案？