专题2.5生活中的轴对称（压轴培优强化卷）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】

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2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】
专题2.5生活中的轴对称压轴培优强化卷
班级：_________ 姓名：______________ 座号：__________ 分数：___________
注意事项：
本试卷共30题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级、座号填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•汇川区期末）在下列标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（2020秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（　　）

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可．
【解析】
根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，
所以EF上的点到M、N的距离相等，
即发射塔应该建在C处，
故选：C．
3．（2020秋•遵义期末）“折叠”是数学上常见构造新图形的重要方法如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿图中标示的DE折叠，点A恰好落在边BC的点G处，若∠CDG＝52°，则∠DEG的度数为（　　）

A．73° B．71° C．68° D．52°
【分析】由长方形的性质可知∠CDG＝52°，则可得出∠ADE的度数，根据折叠的性质，折叠后的图形与原图形全等，即可得出答案．
【解析】∵∠CDG＝52°，
∴∠ADG＝90°﹣∠CDG＝90°﹣52°＝38°，
又∵∠ADE＝∠GDE=12∠ADG=12×38°=19°，∠DAE＝∠DGE＝90°，
∴∠DEG＝90°﹣∠GDE＝90°﹣19°＝71°．
故选：B．
4．（2020秋•邹城市期末）如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（　　）

A．20° B．15° C．12° D．10°
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形和等边三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解析】∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∵AB＝BC＝CD．
∴△ABC和△BCD为等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，
∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°，
∴∠A＝15°．
故选：B．
5．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平分线．若△ABC的周长为18，线段AE的长度为4，则△BCD的周长为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．14
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝2AE＝8，DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵△ABC的周长为18，
∴AC+BC+AB＝18，
∵DE为线段AB的垂直平分线，AE＝4，
∴AB＝2AE＝8，DA＝DB，
∴AC+BC＝10，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，
故选：A．
6．（2020秋•扶余市期末）如图，点P是射线ON上一动点，∠AON＝30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数一定不可能是（　　）

A．120° B．75° C．60° D．30°
【分析】分三种情形讨论即可：a、当点O为等腰三角形顶点．b、当点A为等腰三角形顶点．C、当点P为顶点．
【解析】当点O为等腰三角形顶点时，∠A＝75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A＝120°，
当点P为顶点时，∠A＝30°，
综上，∠A的度数为30°或75°或120°，一定不可能等于60°，
故选：C．
7．（2019秋•江夏区期末）如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离到达C、D两地，若C与B的距离为a千米，则D与B的距离为（　　）

A．a千米 B．12a千米 C．2a千米 D．无法确定
【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等．
【解析】∵AB⊥CD，AC＝AD，
∴AB垂直平分CD，
∴BC＝BD＝a千米，
故选：A．
8．（2019秋•南岸区校级期末）对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°．则小意同学判断的依据是（　　）

A．等角对等边
B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．
【解析】由作图可知，CE＝CD，
∵OE＝OD，
∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一），
∴∠AOB＝90°．
故选：D．
9．（2020秋•昌平区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是（　　）

A．不变 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【分析】由“AAS”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，BE＝CD，可得△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解．
【解析】∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∴点D在BC边上从B至C的运动过程中，
∴AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，
故选：D．
10．（2020秋•封开县期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′．
【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，
∴AD＝DC＝3.5cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5cm，
∴QD＝DQ′＝1.5（cm），
∴CQ′＝BP＝2（cm），
∴AP＝AQ′＝5（cm），
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5（cm），
∴PE+QE的最小值为5cm．
故选：C．

二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．（2020秋•淮安区期末）等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为　10　．
【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解析】①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，三角形的周长为10．
故答案为：10．
12．（2020秋•泰兴市期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于　4　．

【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形面积公式计算即可．
【解析】作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC=12×AB×DE+12×BC×DF=12×(AB+BC)⋅DE=12×(16+14)⋅DE=60，
∴DF＝DE＝4．
故答案为：4．

13．（2020秋•滦州市期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝　22.5　°．

【分析】求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABD＝∠BAD＝45°，根据角平分线的定义求出∠2，再根据等腰三角形的性质得出∠BEA＝∠ADB＝90°，根据三角形的内角和定理求出∠2＝∠3即可．
【解析】∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD=12（180°﹣∠ADB）＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2=12∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠3＝∠2＝22.5°．
故答案为：22.5°．
14．（2020秋•历城区期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠CBD＝34°，则∠ABC＝　73°　．

【分析】根据折叠的性质得出∠ABC即可．
【解析】如图，由折叠的性质可得：∠ABC'＝∠ABC，
∵∠ABC'+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABC＝73°，
故答案为：73°．
15．（2021春•浦东新区期中）一张长方形纸片沿直线AB折成如图所示图案，已知∠1＝50°，则∠OBA＝　65°　．

【分析】根据折叠的性质可得出2∠OBA+∠1＝180°，代入∠1的度数即可得出答案．
【解答】解：由折叠可得出2∠OBA+∠1＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠OBA＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
16．（2019秋•雨花区校级期末）在△ABC中MP，NO分别垂直平分AB，AC．若∠BAC＝106°，则∠PAO的度数是　32°　．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C＝74°，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠B，∠OAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．
【解析】∵∠BAC＝106°，
∴∠B+∠C＝180°﹣106°＝74°，
∵MP是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠B，
同理，∠OAC＝∠C，
∴∠PAO＝∠BAC﹣（∠PAB+∠OAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝32°，
故答案为：32°．
17．（2020秋•鼓楼区校级期末）如图，△ABD和△ABC关于直线AD对称，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积为　6　．

【分析】根据轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABD和△ABC关于直线AD对称，
∴S△BEF＝S△CEF，
∴S阴＝S△ADC=12S△ABC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（2019秋•锦江区校级期末）如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝　25s　．

【分析】根据相遇问题的数量关系求得第一次两点相遇的时间为1秒和以后每相遇一次的时间1.5秒，设P、Q相遇次数为n次，则当6×1+6×1.5（n﹣1）＝10k（k为正整数）时，P、Q两点就在三角形ABC的顶点处相遇，由此关系求得k的最小两个整数，便可得t1和t2的值．
【解析】∵等边三角形ABC的周长为30cm，
∴△ABC的边长为10cm，
由题意知，P、Q第一次时间为20÷（6+14）＝1（秒）
以后每隔30÷（6+14）＝1.5秒，P、Q就会相遇一次，
设P、Q相遇次数为n次，则
当6×1+6×1.5（n﹣1）＝10k（k为正整数）时，P、Q两点就在三角形ABC的顶点处相遇，
整理得，9n＝10k+3，
∴n=10k+39=k+k+39（k为正整数）
∴当k＝6时，即n＝6+1＝7时，P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇，
则t1＝1+1.5（n﹣1）＝10（秒）；
当k＝15时，即n＝15+2＝17时，P、Q两点第二次在三角形ABC的顶点处相遇，
则t2＝1+1.5（n﹣1）＝25（秒）．
故答案为：25s．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（2020秋•市中区期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标．
（3）点P是y轴上一点且S△PAB＝4，请求出点P的坐标．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）结合（1）所画图形即可写出A1、B1、C1的坐标．
（3）根据点P是y轴上一点且S△PAB＝4，利用割补法即可求出点P的坐标．
【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）A1、B1、C1的坐标分别为：（1，﹣4）、（4，﹣2）、（3，﹣5）；
（3）∵点P是y轴上一点，
∴设P（0，y），
①如图，点P在点A下方，作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，

∴S△PAB＝S梯形AMNB﹣S△PAM﹣S△PBN
=12（1+4）×2-12×（4﹣y）×1-12×（2﹣y）×4
＝4，
解得y＝2，
∴点P的坐标为（0，2）；
②如图，点P在点A上方，作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，

∴S△PAB＝S△PBN﹣S△PAN﹣S△ABN
=12（y﹣2）×4-12×（y﹣2）×1-12×4×2
＝4，
解得y=223．
∴点P的坐标为（0，2）或（0，223）．
20．（2020秋•射阳县期末）如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．

【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，结合图形计算，得到答案；
（3）根据三角形的周长公式计算．
【解析】（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；
（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；
（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．
21．（2020秋•丹徒区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求∠EFB的度数．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BF＝CF，由直角三角形的性质可证CF＝EF；
（2）由垂直平分线的性质可证AE＝EC，由等腰三角形的性质可求∠B＝∠ACB＝67.5°，即可求解．
【解析】证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
又∵CE⊥AB，
∴CF＝EF；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AE＝EC，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝∠EAC＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∵EF＝CF＝BF，
∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，
∴∠EFB＝45°．
22．（2020秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解析】（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
23．（2019秋•永安市期末）已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；
（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．

【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可；
（2）根据三角形的内角和和平角的定义以及平行线的判定解答即可．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，
∴∠FDE＝∠DEB，
∴DF∥BC．
24．（2020秋•洮北区期末）如图，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠C＝21°，∠D＝28°，求∠MPN的度数．

【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质进而得出对应线段关系即可得出答案；
（2）直接利用轴对称图形的性质进而得出对应角关系即可得出答案．
【解析】（1）∵点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM＝CM，ND＝NP，
∵△PMN的周长＝PN+PM+MN，PN+PM+MN＝CD＝18cm，
∴△PMN的周长为：18cm；

（2））∵P关于OA、OB的对称，
∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD，
∴CM＝PM，PN＝DN，
∴∠C＝∠MPC，∠D＝∠NPD，
∵∠PRM＝∠PTN＝90°，
∴在四边形OTPR中，∠CPD+∠O＝180°，
∵∠D+∠C+∠CPD＝180°，
∴∠C+∠D＝∠O＝49°，
∴∠MPN＝180°﹣49°×2＝82°．

25．（2019秋•辛集市期末）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？

【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解析】（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；

（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t=103，
∴点M、N运动103秒后，可得到等边三角形△AMN．

26．（2019秋•涞水县期末）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；
（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN＝DN，求证：MB＝MN．

【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可；
（2）①根据要求画出图形即可；
②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题；
【解析】（1）解：如图1中，

在等边三角形△ACD中，
∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．
∵E为AC的中点，
∴∠ADE=12∠ADC＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD＝AB，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，
∴∠ADB＝∠ABD＝10°，
∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．

（2）①补全图形，如图所示．

②证明：连接AN．
∵CM平分∠ACB，
∴设∠ACM＝∠BCM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α． 在等边三角形△ACD中，
∵E为AC的中点，
∴DN⊥AC，
∴NA＝NC，
∴∠NAC＝∠NCA＝α，
∴∠DAN＝60°+α，
在△ABN 和△ADN 中，
AB=ADBN=DNAN=AN
∴△ABN≌△ADN（SSS），
∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，
∴∠BAC＝60°+2α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴60°+2α+2α+2 α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，
∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，
∴∠MNB＝∠MBN，
∴MB＝MN．