中考数学二轮复习专题提升卷11《以平行四边形为背景的计算与证明》(教师版)

专题提升(十一)　以平行四边形为背景的计算与证明

类型之一　以平行四边形为背景的计算与证明

【经典母题】

已知：如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AEB＝∠CFD，∵AB＝CD，

∴Rt△AEB≌Rt△CFD，∴BE＝DF.

【思想方法】　

(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；

(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．

【中考变形】

1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE.

求证：AF＝CE.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD.

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF.

∴△AED≌△CFB(AAS)．∴AE＝CF.

∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.

2．如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH，

∵E，F分别为AD，BC边的中点，

∴AE＝DE＝AD，CF＝BF＝BC，

∵AD＝BC，∴AE＝CF＝DE＝BF.

∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，

∴BE∥DF，∴∠AEG＝∠ADF，

∴∠AEG＝∠CFH，

在△AEG和△CFH中，

∴△AEG≌△CFH(ASA)，∴AG＝CH.

【中考预测】

如图，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，且AD＝BC，

∵BE＝DF，∴AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形；

(2)如答图，∵四边形AECF是菱形，

∴AE＝EC，

∴∠1＝∠2，

∵∠BAC＝90°，

∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，

∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，

∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.

类型之二　以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明

【经典母题】

如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．

解：如答图，连结AC.

∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点，

∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD，

∴△ABC，△ACD均为等边三角形，

∴菱形ABCD的四个内角度数分别为∠B＝∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°.

【思想方法】　要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．

【中考变形】

1．如图6，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.

(1)求证：△DCA≌△EAC；

(2)只需添加一个条件，即__AD＝BC__，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．

解：(1)证明：在△DCA和△EAC中，

 ∴△DCA≌△EAC(SSS)；

(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由如下：

∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，

∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，

由(1)得△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，

∴四边形ABCD为矩形．故答案为AD＝BC(答案不唯一)．

2．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴AB∥DC，OB＝OD，

∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，

 ∴△BOE≌△DOF(ASA)，

∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，

设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6－x，

在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，

∴x2＝42＋(6－x)2，

解得x＝，∵BD＝＝2，

∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF，

∴OE＝＝，∴EF＝2EO＝.

3．如图，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，

∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，

∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠BDC，

∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF，

又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，理由：

∵BE平分∠ABD，

∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，

∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，

又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．

4．如图，在正方形ABCD中，BC＝3，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连结AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点．

(1)求证：△ADF≌△ABE；

(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．

解：(1)证明：正方形ABCD中，

∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠ADF＝∠ABE＝90°，

在△ADF与△ABE中，

AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE，

∴△ADF≌△ABE(SAS)；

(2)在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，

∴AE＝，ED＝＝5，

∵S△AED＝ED·AH＝AD·BA＝，

∴AH＝，

在Rt△AHD中，DH＝＝，

∴EH＝ED－DH＝，∴tan∠AED＝＝.

5．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．

证明：(1)在△ADE与△CDE中，

 ∴△ADE≌△CDE(SSS)，∴∠ADE＝∠CDE，

∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，

∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，

∵AD＝CD，∴BC＝AD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；

(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，

∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，

∴∠CBE＝180×＝45°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是正方形．

6．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形；

(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；

(3)求四边形EFGH面积的最小值．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA，

∵AE＝DH＝BF，∴BE＝AH，∴△AEH≌△BFE(SAS)，

∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF，同理，FE＝GF＝HG，

∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形，

∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，

∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形；

(2)直线EG经过正方形ABCD的中心．

理由：如答图，连结BD交EG于点O.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AB＝DC，

∴∠EBD＝∠GDB，

∵AE＝CG，∴BE＝DG，

∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD(AAS)，

∴BO＝DO，即O为BD的中点，

∴直线EG经过正方形ABCD的中心；

(3)设AE＝DH＝x，则AH＝8－x，

在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，

∵S四边形EFGH＝EH·EF＝EH2，

∴四边形EFGH面积的最小值为32 cm2.

【中考预测】

如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.

(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；

(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

解：(1)证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.

∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，

∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD.

又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE；

(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.

又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.

∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形；

(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：

∵四边形ABCD为菱形，

∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.

又∵CF为公共边，

∴△BCF≌△DCF(SAS)，

∴∠CBF＝∠CDF.

∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，

∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD，

∴∠EFD＝∠BCD.