沪科版数学八下 解题技巧专题：勾股定理与面积问题

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1．(2017·芜湖繁昌县期中)一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为( )
A．13 B.eq \f(13,2) C.eq \f(60,13) D.eq \f(12,5)
2．(芜湖期中)如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为( )
A.eq \f(4,5)eq \r(5) B.eq \f(2,3)eq \r(5)
C.eq \f(2,5)eq \r(5) D.eq \f(4,3)eq \r(3)
eq \a\vs4\al(◆)类型二 结合乘法公式巧求面积或周长
3．(芜湖繁昌县期末)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( )
A．7cm B．10cm
C．(5＋eq \r(37))cm D．12cm
5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
eq \a\vs4\al(◆)类型三 巧妙割补求面积
6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2.求四边形ABCD的面积．【方法11】
eq \a\vs4\al(◆)类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积
8．(合肥瑶海区期中)如图是一株美丽的勾股树，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．21 C．47 D．196

第8题图 第9题图
9．(2017·蚌埠市五校期中)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若S1＋S4＝100，S3＝36，则S2的值为( )
A．136 B．64 C．50 D．8
10．★五个正方形按如图放置在直线l上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S5＝________．
参考答案与解析
1．C
2．A 解析：由图可知AC＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2＝2.又∵BD⊥AC，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(5)×BD＝2，解得BD＝eq \f(4,5)eq \r(5).故选A.
3．A 4.D 5.C
6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(52＋122)＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝eq \r(AC2－AE2)＝eq \r(132－52)＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq \f(1,2)AB·BC＋eq \f(1,2)AD·CE＝eq \f(1,2)×(12×5＋10×12)＝90.
7．解：延长AD，BC交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°，∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝eq \r(AE2－AB2)＝eq \r(82－42)＝4eq \r(3).∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝eq \r(CE2－CD2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝eq \f(1,2)AB·BE－eq \f(1,2)CD·DE＝eq \f(1,2)×(4×4eq \r(3)－2×2eq \r(3))＝6eq \r(3).
8．C
9．B 解析：由题意可知S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2.连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AD2＋AB2，在Rt△BCD中，BD2＝CD2＋BC2，∴S1＋S4＝S3＋S2，∴S2＝100－36＝64.故选B.
10．1 解析：如图，由题意得AC＝CE，∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABC和△CDE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠1＝∠3，,∠ABC＝∠CDE，,AC＝CE，))∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴AB＝CD.同理可得△FGH≌△HMN.∴FG2＝HM2＝NH2－MN2＝5－2＝3，∴DE2＝FG2＝3，∴CD2＝CE2－DE2＝4－3＝1，∴AB2＝1，∴S5＝AB2＝1.