(通用版)中考数学总复习专题4《三角形、四边形综合性问题探究》精练卷（2份，教师版+原卷版）

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2.如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EG分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连结ED，DG.
(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2eq \r(10)，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值.
解：(1)四边形EBGD是菱形.
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EDF＝∠GBF，,DF＝BF，,∠EFD＝∠GFB，))
∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，
∴BE＝ED＝DG＝GB，
∴四边形EBGD是菱形；
(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连结EC交BD于点H，此时HG＋HC最小.
在Rt△EBM中，
∵∠EMB＝90°，
∠EBM＝30°，EB＝ED＝2eq \r(10)，
∴EM＝eq \f(1,2)BE＝eq \r(10).
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM＝DN＝eq \r(10)，
MN＝DE＝2eq \r(10).
在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，
∠DCN＝45°，
∴∠NDC＝∠NCD＝45°，
∴DN＝NC＝eq \r(10)，∴MC＝3eq \r(10)，
在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，
EM＝eq \r(10)，MC＝3eq \r(10)，
∴EC＝eq \r(EM2＋MC2)＝eq \r(（\r(10)）2＋（3\r(10)）2)＝10.
∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，
∴HG＋HC的最小值为10.
3.如图，点O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度.
解：(1)∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝eq \f(1,2)BC.
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝eq \f(1,2)BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2)∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC＋∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°.
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6.
由(1)有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG＝EF＝6.
4.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连结C1B1，则C1B1与BC的位置关系为________；
(2)如图②，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转α，连结C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
(3)如图③，在图②的基础上，连结B1B，若C1B1＝eq \f(2,3)BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为________.
解：(1)平行；(2)C1B1∥BC.理由如下：
过点C1，作C1E∥B1C交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB.
由旋转性质可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，
∴∠C1BC＝∠C1EB，
∴C1B＝C1E.
∵BC1＝BC＝B1C，
∴C1E＝B1C.
又∵C1E∥B1C，
∴四边形C1ECB是平行四边形，
∴C1B1∥BC.
5.四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连结BF.
(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1，
①求点F到AD的距离；
②求BF的长；
(3)若BF＝3eq \r(10)，请直接写出此时AE的长.
解：(1)BF＝4eq \r(5)；
(2)①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H.
∵四边形CEFG是正方形，
∴EC＝EF，∠FEC＝90°，
∴∠DEC＋∠FEH＝90°.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DEC＋∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠FEH.
又∵∠EDC＝∠EHF＝90°，
∴△ECD≌△FEH，
∴FH＝ED.∵AD＝4，AE＝1，
∴ED＝AD－AE＝4－1＝3，
∴FH＝3，
即点F到AD的距离为3；
②延长FH交BC的延长线于点K，
∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°，
∴四边形CDHK为矩形，
∴HK＝CD＝4，
∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.
∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4，
∴AE＝DH＝CK＝1，
∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.
在Rt△BFK中，BF＝eq \r(FK2＋BK2)＝eq \r(72＋52)＝eq \r(74)；
(3)AE＝2＋eq \r(41)或AE＝1.
6.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形.
(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的长；
(2)若AP＝eq \r(2)，求CF的长.
解：(1)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，AC＝eq \r(AD2＋DC2)＝10.
要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：
①当CP＝CD时，CP＝6，∴AP＝AC－CP＝4，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD.
∵∠PCD＋∠PAD＝∠PDC＋∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，∴PA＝PC，∴AP＝eq \f(AC,2)＝5；
③当DP＝DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ.
∵S△ADC＝eq \f(1,2)AD·DC＝eq \f(1,2)AC·DQ，
∴DQ＝eq \f(AD·DC,AC)＝eq \f(24,5)，
∴CQ＝eq \r(DC2－DQ2)＝eq \f(18,5)，∴PC＝2CQ＝eq \f(36,5)，
∴AP＝AC－PC＝eq \f(14,5).
综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或eq \f(14,5)；
(2)连结PF，DE，记PF与DE的交点为O，连结OC.
∵四边形ABCD和PEFD都是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
即∠ADP＋∠PDC＝∠PDC＋∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF.
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，∴OC＝eq \f(1,2)ED.
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝eq \f(1,2)PF.∵OP＝OF＝eq \f(1,2)PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC.
又∵∠OPC＋∠OFC＋∠PCF＝180°，
∴2∠OCP＋2∠OCF＝180°，∴∠PCF＝90°，
即∠PCD＋∠FCD＝90°.
在Rt△ADC中，∠PCD＋∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠FCD，∴△ADP∽△CDF，
∴eq \f(CF,AP)＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(3,4).∵AP＝eq \r(2)，
∴CF＝eq \f(3 \r(2),4).