专题4.8大题能力提升期末考前必做30题（压轴篇）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】

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姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2021春•大丰区月考）计算：
（1）(-13)-2+(19)0+(-5)3÷(-5)2．
（2）0.252020×42021×（﹣8）100×0.5300．
（3）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2．
（4）（﹣a2）2•a5+a10÷a﹣（﹣2a3）3．
【分析】（1）根据负整数指数幂的定义，零指数幂的定义以及同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据积的乘以运算法则的逆向运用即可计算；
（3）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则化简即可．
【解析】（1）原式＝9+1﹣5
＝5；
（2）原式=(14×4)2020×4×(-2)300×(12)300
=12020×4×(-2×12)300
＝1×4×（﹣1）300
＝4×1
＝4；
（3）原式＝（m﹣1）7﹣（m﹣1）7
＝0；
（4）原式＝a4•a5+a9+8a9
＝a9+a9+8a9
＝10a9．
2．（2021春•新吴区月考）计算：
（1）（m4）2÷m3；
（2）﹣t3•（﹣t）4•（﹣t）5；
（3）（x﹣y）3•（y﹣x）2；
（4）（﹣x）3+（﹣4x）2x．
【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接化为同底数，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（3）直接化为同底数，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（4）直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则计算得出答案．
【解析】（1）（m4）2÷m3＝m8÷m3
＝m5；
（2）﹣t3•（﹣t）4•（﹣t）5
＝t3•t4•t5
＝t12；
（3）（x﹣y）3•（y﹣x）2
＝（x﹣y）3•（x﹣y）2
＝（x﹣y）5；
（4）（﹣x）3+（﹣4x）2x
＝﹣x3+16x3
＝15x3．
3．（2020春•越城区校级期中）化简或计算：
（1）（﹣3x2y）2÷（﹣3x2y2）；
（2）（2a﹣b）2﹣（2a﹣b）（2a+b）；
（3）(12)-5×(12)3÷(-12)2；
（4）（2×109）÷（5×103）．
【分析】（1）首先利用积的乘方运算计算，再利用单项式除以单项式计算法则进行计算即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式进行计算，然后再计算加减即可；
（3）利用负整数指数幂的性质、乘方的意义进行计算即可；
（4）利用单项式除以单项式法则进行计算即可．
【解析】（1）原式＝9x4y2÷（﹣3x2y2）＝﹣3x2；
（2）原式＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+b2＝2b2﹣4ab；
（3）原式＝32×18÷14=4×4＝16；
（4）原式＝0.4×106＝4×105．
4．（2021春•北仑区期中）（1）先化简，再求值：6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1；
（2）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．分别求a2+b2，a+b的值．
【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式、多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．
【解析】（1）原式＝（﹣12x3y2+6x2y4）÷xy2
＝﹣12x2+6xy2，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝﹣12×4+12＝﹣36；
（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝49﹣24＝25；
（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25﹣24＝1，
∴a+b＝±1．
5．（2021春•泰兴市月考）（1）已知2x＝3，2y＝5，求：2x﹣2y+1的值；
（2）x﹣2y﹣1＝0，求：2x÷4y×8的值．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【解析】（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x﹣2y+1＝2x÷（2y）2×2
＝3÷52×2
=625；
（2）∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣2y＝1，
∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8
＝2x﹣2y×8
＝2×8．
＝16．
6．（2021春•鼓楼区校级月考）求值：
（1）已知42x＝23x﹣1，求x的值．
（2）已知a2n＝3，a3m＝5，求a6n﹣9m的值．
（3）已知3•2x+2x+1＝40，求x的值．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解析】（1）∵42x＝23x﹣1，
∴24x＝23x﹣1，
∴4x＝3x﹣1，
∴x＝﹣1；
（2）∵a2n＝3，a3m＝5，
∴a6n﹣9m
＝a6n÷a9m
＝（a2n）3÷（a3m）3
＝33÷53
=27125；
（3）∵3•2x+2x+1＝40，
∴3•2x+2•2x＝40，
∴5•2x＝40，
∴2x＝8，
∴x＝3．
7．（2021春•江阴市校级月考）若(x+3p)(x2-x+13q)的积中不含x项与x2项．
（1）求p、q的值；
（2）求代数式p2019q2020的值．
【分析】（1）将多项式乘以多项式展开，合并同类项，因为不含x项与x2项，就让这两项的系数等于0，解出p，q的值；
（2）将p，q的值代入，逆用积的乘方法则计算．
【解析】（1）（x+3p）（x2﹣x+13q）
＝x3﹣x2+13qx+3px2﹣3px+pq
＝x3+（3p﹣1）x2+（13q﹣3p）x+pq，
∵不含x项与x2项，
∴3p﹣1＝0，13q﹣3p＝0，
∴p=13，q＝3；
（2）当p=13，q＝3时，
原式＝（13）2019×32020
＝（13）2019×32019×3
＝（13×3）2019×3
＝12019×3
＝1×3
＝3．
8．（2020春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，EF∥AD，分别交AB、BC于点E、F，DG平分∠ADC，交AC于点G，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DG∥AB；
（2）若∠B＝32°，求∠ADC的度数．
【分析】（1）由平行线的性质和∠1+∠2＝180°，可推出DG∥AB；
（2）由（1）的结论和DG平分∠ADC，可得结论．
【解析】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠2+∠3＝180°．
∵∠1+∠2＝180°．
∴∠1＝∠3．
∴DG∥AB；
（2）∵DG平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠1＝2∠4．
由（1）知DG∥AB，
∴∠4＝∠B＝32°，
∴∠ADC＝2∠4＝64°．
9．（2021•嘉兴二模）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ∠B＝∠E ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B＝∠1，∠1＝∠E，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠B+∠1＝180°，∠1＝∠E，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【解析】（1）∠B＝∠E，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠1
∵BC∥EF，
∴∠1＝∠E，
∴∠B＝∠E；
（2）∠B+∠E＝180°．
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1＝180°，
∵BC∥EF，
∴∠E＝∠1，
∴∠B+∠E＝180°．
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
10．（2020春•西湖区校级期中）如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1．
（1）直接写出图中与∠A构成的同旁内角．
（2）求证：DF∥AC．
（3）若∠BDE+∠CDF＝215°，求∠B+∠C的值．
【分析】（1）根据同旁内角定义即可写出图中与∠A构成的同旁内角；
（2）根据平行线的性质和∠A＝∠1．即可证明DF∥AC；
（3）根据两直线平行，同旁内角互补和已知条件即可求出∠B+∠C的值．
【解析】（1）与∠A构成的同旁内角：∠AFD，∠AED，∠B，∠C；
（2）证明：∵DE∥AB，
∴∠BFD＝∠1，
∵∠A＝∠1，
∴∠BFD＝∠A，
∴DF∥AC；
（3）∵DE∥AB，
∴∠B+∠BDE＝180°，
∵DF∥AC，
∴∠CDF+∠C＝180°，
∴∠B+∠BDE+∠CDF+∠C＝180°+180°，
∵∠BDE+∠CDF＝215°，
∴∠B+∠C＝145°．
11．（2021春•下城区校级期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如图，C是线段AB上的一点以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为16，求△AFC的面积．
【分析】（1）根据完全平方公式的适当变形即可解答；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，根据题目表示出面积与长度，进而利用完全平方公式变形可解答．
【解析】（1）∵（9﹣x）（x﹣6）＝1，（9﹣x）+（x﹣6）＝3
∴[（9﹣x）+（6﹣x）]2＝9，2（9﹣x）（x﹣6）＝2，
∴（9﹣x）2+（x﹣6）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝（9﹣x）2+（6﹣x）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝9，
∴（9﹣x）2+（6﹣x）2＝9﹣2＝7；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，
∴a+b＝6，a2+b2＝16，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+b2+2ab＝36，
∴ab＝10，
∴S△ACF=12ab=12×10＝5．
12．（2020秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12
∵a2+a＝3
∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9
∴a2（a﹣4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．
（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【分析】（1）直接将原式变形进而把已知代入得出答案；
（2）直接将原式变形进而把已知代入得出答案．
【解析】（1）∵a2﹣a﹣10＝0，
∴a2﹣a＝10，
2（a+4）（a﹣5）
＝2（a2﹣a﹣20）
＝2×（10﹣20）
＝﹣20；
（2）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x＝1，
2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
＝2x2（x2+4x）﹣4x2﹣8x+1
＝2x2﹣4x2﹣8x+1
＝﹣2x2﹣8x+1
＝﹣2（x2+4x）+1
＝﹣2+1
＝﹣1．
13．（2021•长春模拟）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止2020年5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．根据图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 20 万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为 72° ．
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图．
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为40岁以下的概率．
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
【分析】（1）由60﹣79岁的人数及其所占百分比可得总人数，再用360°乘以40﹣59岁感染人数所占比例即可得；
（2）先求出20﹣39岁人数，再补全折线图；
（3）利用频率估计概率即可得；
（4）利用加权平均数的定义求解可得．
【解析】（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），
扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×420=72°，
故答案为：20，72；
（2）20﹣39岁人数为20×10%＝2（万人），
补全的折线统计图如图所示；
（3）该患者年龄为40岁以下的概率为：2+0.520=18；
（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：0.5×1%+2×2.75%+4×3.5%+9×4%+4.5×20%20×100%＝10%．
14．（2021春•招远市期中）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选中一个翻牌，请解决下面的问题：
（1）直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（2）每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（3）请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是49．
【分析】（1）用“手机”的数量除以总数量即可；
（2）第二次的抽取机会一共有8种可能，第二次抽到“手机”奖品的结果有2种，根据概率公式求解即可；
（3）根据概率公式求解即可．
【解析】（1）由图可得，抽到“手机”奖品的可能性是：29；
（2）由题意可得，第二次的抽取机会一共有8种可能，第二次抽到“手机”奖品的结果有2种，
即第二次抽到“手机”奖品的可能性是29-1=28=14；
（3）设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一）．
15．（2021春•芝罘区期中）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
（2）小明说：“很据试验，一次试验中出现了3点朝上的频率最大”，小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”小明和小亮的说法正确吗？为什么？
（3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
【分析】（1）由共做了100次实验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为15，13，即可求得“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率．
（2）由一次实验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【解析】（1）“1点朝上”的频率为15÷100＝0.15；
“6点朝上”的频率为13÷100＝0.13；
（2）小明的说法错误；
因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
小亮的判断是错误的；因为事件发生具有随机性；
（3）P（不小于4）=36=12．
16．（2021春•和平区校级月考）2018年5月14日川航3U8633航班挡风玻璃在高空爆裂，机组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生．下面表格是成都当日海拔h（千米）与相应高度处气温t（℃）的关系（成都地处四川盆地，海拔较低，为方便计算，在此题中近似为0米）．
根据上表，回答以下问题：
（1）由上表可知海拔5千米的上空气温约为 ﹣10 ℃；
（2）由表格中的规律请写出当日气温t与海拔高度h的关系式为 t＝20﹣6h ；
如图是当日飞机下降过程中海拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用的时间关系．根据图象回答以下问题：
（3）返回途中飞机在2千米高空大约盘旋了 2 分钟．
（4）飞机发生事故16分钟后所在高空的温度是 14℃ ．
【分析】（1）由表中数据即可得；
（2）由海拔高度每上升1千米，气温下降6℃求解可得；
（3）从图象上看，h＝2时，持续的时间为2分钟，即可求解；
（4）当h＝2时，y＝20﹣12＝8，即可求解．
【解析】（1）由上表可知海拔5千米的上空气温约为﹣10℃，
故答案为：﹣10；
（2）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，
所以当日气温t与海拔高度h的关系式为t＝20﹣6h，
故答案为：t＝20﹣6h；
（3）从图象上看，h＝2时，持续的时间为2分钟，
即返回途中飞机在2千米高空水平大约盘旋了2分钟；
故答案为：2；
（4）设当12≤t≤20时，h与t的函数关系式为h＝kt+b（k≠0），
则12k+b=220k+b=0，
解答k=-14b=5，
∴h=-14t+5，
当t＝16时，h＝1，
当h＝1时，y＝20﹣6＝14，
即飞机发生事故时所在高空的温度是14℃，
故答案为：14℃．
17．（2021春•正定县期中）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体质量x的一组对应值．
（1）上表反应了哪两个变量之间的关系，并指出谁是自变量，谁是因变量．
（2）当悬挂物体的重量为4千克时，弹簧长 26cm ；不挂重物时弹簧长 18cm ．
（3）弹簧长度y所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为： y＝18+2x ．
（4）求挂12kg物体时弹簧长度及弹簧长40cm时所挂物体的重量．
【分析】（1）反映了弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系，所挂物体质量x是自变量，弹簧长度y是因变量；
（2）从表格中可以得到：当悬挂物体的质量为4千克时，弹簧的长度为26cm；不挂重物时，也就是x＝0时，弹簧长为18cm；
（3）观察表格发现，所挂物体的质量增加1千克，弹簧就伸长2厘米，根据弹簧长度＝原始长度+伸长长度即可求解；
（4）当x＝12时求y；当y＝40时求x即可．
【解析】（1）反映了弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系，所挂物体质量x是自变量，弹簧长度y是因变量；
（2）从表格中可以得到：当悬挂物体的质量为4千克时，弹簧的长度为26cm；不挂重物时，也就是x＝0时，弹簧长为18cm；
故答案为：26cm，18cm；
（3）观察表格发现，所挂物体的质量增加1千克，弹簧就伸长2厘米，
∴y＝18+2x；
故答案为：y＝18+2x；
（4）当x＝12时，y＝18+2×12＝42（cm），
当y＝40时，40＝18+2x，解得x＝11．
答：挂12千克物体时弹簧长度为42cm，弹簧长40cm时所挂物体的质量是11kg．
18．（2021春•深圳期中）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需要交水费y元，收费标准如表所示：
（1） 用水量 是自变量， 水费 是因变量；
（2）若用水量达到15吨，则需要交水费 31.5 元；
（3）用户5月份交水费54元，则所用水为 23 吨；
（4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式．
【分析】（1）用水量为自变量，水费为因变量；
（2）不超过12吨的部分，每吨2元，超过12吨不超过18吨的部分，每吨2.5元，分段收费即可；
（3）根据题意，列出方程，解方程即可；
（4）三段费用加起来即可．
【解析】（1）用水量为自变量，水费为因变量，
故答案为：用水量，水费；
（2）2×12+2.5×（15﹣12）＝31.5（元），
故答案为：31.5；
（3）根据水费为54元，显然用水量超过18吨了，
根据题意得：2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）＝54，
解得：x＝23，
故答案为：23；
（4）当x＞18时，
y＝2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）
＝24+15+3x﹣54
＝3x﹣15．
19．（2021•龙湾区二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，E，F是边BC上的两点，且BE＝CF．
（1）求证：△ABF≌△DCE．
（2）若∠APE＝70°，求∠ADP的度数．
【分析】（1）利用等式性质即可得到BF＝CE，再根据SAS即可判定△ABF≌△DCE．
（2）利用全等三角形的对应边相等以及等式性质，即可得到AP＝DP，再根据三角形外角性质即可得到∠ADP的度数．
【解析】（1）∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠PEF＝∠PFE，AF＝DE，
∴PE＝PF，
∴AF﹣PF＝DE﹣PE，即AP＝DP，
∴∠ADP＝∠DAP，
∵∠APE是△ADP的外角，
∴∠APE＝∠ADP+∠DAP＝70°，
∴∠ADP＝35°．
20．（2020秋•来宾期末）如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD．
（1）请你添加一个与角有关的条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠CAD＝65°，∠B＝110°，求∠BAE的度数．
【分析】（1）添加∠BAC＝∠EDA，根据SAS即可判定两个三角形全等；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用三角形内角和定理，即可得到∠BAE的度数．
【解析】（1）添加一个角方面的条件为：∠BAC＝∠EDA，使得△ABC≌△DEA，理由如下：
在△ABC和△DEA中，
AB=DE∠BAC=∠EDAAC=AD，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
（2）在（1）的条件下，
∵△ABC≌△DEA，
∴∠ACB＝∠DAE，
∵∠CAD＝65°，∠B＝110°，
∴∠ACB+∠BAC＝180°﹣∠B＝70°，
∴∠DAE+∠BAC＝∠ACB+∠BAC＝70°，
∴∠BAE＝∠DAE+∠BAC+∠CAD＝70°+65°＝135°．
21．（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC中，OE⊥AB与点E，OF⊥AC与点F，且OE＝OF．
（1）如图①，当O为BC中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．
【分析】（1）证Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），得∠B＝∠C，即可得出AB＝AC；
（2）由等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB，再证Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），得∠ABO＝∠ACO，则∠ABC＝∠ACB，即可得出结论．
【解析】（1）说明如下：∵O为BC中点，∴BO＝CO，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
OB=OCOE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
（2）解：AB＝AC，理由如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
OB=OCOE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠ABO＝∠ACO，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
22．（2020秋•光明区期末）直角三角形纸板COE的直角顶点O在直线AB上．
（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝ 15 °；
（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝ 40 °；
（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF＝56°，求∠BOE的度数．
【分析】（1）根据平角的定义求解即可；
（2）根据∠COF＝20°，先求解∠EOF＝70°，再根据OF平分∠AOE，求解∠AOE＝140°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可；
（3）根据∠COF＝56°，先求解∠EOF＝34°，由OF平分∠AOE，可得到∠AOE＝68°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可．
【解析】（1）∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝165°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝15°，
故答案为：15；
（2）∵∠COE＝90°，∠COF＝20°，∠COE＝∠COF+∠EOF，
∴∠EOF＝90°﹣20°＝70°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°，
故答案为：40；
（3）∵∠COE＝90°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∠COF＝56°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF＝90°﹣56°＝34°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝68°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝112°．
23．（2020秋•临河区期末）点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；
（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC=14∠AOM，求∠NOB的度数．
【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数．
（2）根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC＝65°可以求得∠BOM的度数，由∠NOM＝90°，可得∠BON的度数，从而可得∠CON的度数．
（3）由∠BOC＝65°，∠NOM＝90°，∠NOC=14∠AOM，从而可得∠NOC的度数，由∠BOC＝65°，从而得到∠NOB的度数．
【解析】（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，
∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，
∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，
∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，
即∠BON＝40°，∠CON＝25°；
（3）∵∠NOC=14∠AOM，
∴∠AOM＝4∠NOC．
∵∠BOC＝65°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，
∴4∠NOC+∠NOC＝25°，
∴∠NOC＝5°，
∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．
24．（2021春•佛山校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，∠EAF＝60°，求AD的长．
【分析】（1）先利用角平分线的性质得DE＝DF，利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE＝AF，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论．
（2）先利用三角形的面积和可求得DE的长，根据（1）中的全等可得∠DAF＝∠BAD＝30°，可得AD的长．
【解析】证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF．
（2）∵DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD=12AB•ED+12AC•DF=12DE（AB+AC）＝15，
∵AB+AC＝10，
∴12×10DE＝15，
∴DE＝3，
∵∠EAF＝60°，
∴∠DAF＝∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE＝6．
25．（2021春•万柏林区校级月考）课堂上，老师给出如下命题：
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
（1）如图是小明画出的图形，请你将已知、求证、证明的过程补充完整．
已知，在△ABC中， AB＝AC，BD⊥AC于D ．
求证： ∠CBD=12∠BAC ．
证明： 过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CAE=12∠BAC． ．
（2）利用（1）中的结论解答问题，若等腰三角形的一个内角为40度，则该等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 50或20 度．
【分析】（1）根据题意写出已知和求证；根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAE＝∠CAE=12∠BAC，根据同角的余角相等即可证得∠CBD＝∠CAE=12∠BAC；
（2）分两种情况：底角为40°顶角为40°，根据（1）的结论分别求出的高与底边的夹角即可．
【解析】已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，
求证：∠CBD=12∠BAC，
证明：过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CAE=12∠BAC．
故答案为：AB＝AC，BD⊥AC于D；
∠CBD=12∠BAC；
过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CAE=12∠BAC；
（2）①当∠ABC＝∠C＝40°时，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝100°，
由（1）知，∠CBD=12∠BAC，
∴∠CBD=12×100°＝50°，
②当∠BAC＝40°时，则∠CBD=12∠BAC=12×40°＝20°，
综上所述：∠BAC的度数是50°或20°，
故答案为50或20．
26．（2021春•中原区校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM＝CM，BN＝CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可．
【解析】（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
27．（2021春•金牛区校级期中）如图，在ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE＝∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若∠CAE＝∠B，AD＝3，求AC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质计算，得到答案．
【解析】（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，即∠B+30°+∠B+∠B＝90°，
解得，∠B＝20°；
（2）∵∠CAE＝∠B，
∴3∠B＝90°，
解得，∠B＝30°，
∵DE垂直平分AB，AD＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC=12AB＝3．
28．（2021春•深圳期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）利用网格线在直线l上求作一点P，使得PA+PC最小，请在直线l上标出点P位置．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）连接AC1交直线l于点P，点P即为所求作．
【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作．
29．（2020春•江都区月考）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ∠AEP+∠PFC＝∠EPF ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360° ．
（2）如图3，当∠EPF＝90°，FP平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；
（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150° ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点P作PG∥AB，利用平行线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质得∠AEF+∠EFC＝180°，由三角形的内角和可得∠PEF+∠EFP＝90°，可得出∠PEA+∠CFP＝90°，由角平分线的定义得∠EFP＝∠CFP，即可得出结论；
（3）①若当P点在EF的左侧时，由（1）的结论可得∠EQF＝∠BEQ+∠QFD，∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，利用角平分线的定义即可得∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝150°；
②如图3，由条件可得∠EPF＝180°﹣2∠BEQ+180°﹣2∠DFQ＝360°﹣2（∠BEQ+∠PFD），由∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF＝360°．
【解析】（1）如图1，过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠EPG＝∠AEP，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG＝∠PFC，
∴∠AEP+∠PFC＝∠EPF；
如图2，当P点在EF的右侧时，过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠EPG+∠AEP＝180，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG+∠PFC＝180°，
∴∠AEP+∠PFC+∠EPG+∠FPG＝360°，
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠PFC＝∠EPF，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC＝180°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠PEF+∠EFP＝90°，
∴∠PEA+∠CFP＝90°，
∵FP平分∠EFC，
∴∠EFP＝∠CFP，
∴∠PEF＝∠PEA，
∴EP平分∠AEF；
（3）①∵∠EPF＝60°，
∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ=12∠PEB，∠QFD=12∠PFD，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD=12 （∠PEB+∠PFD）=12×300°＝150°；
故答案为：150°；
②∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ=12∠PEB，∠QFD=12∠PFD，
则∠EPF＝180°﹣2∠BEQ+180°﹣2∠DFQ＝360°﹣2（∠BEQ+∠PFD），
∵∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∴∠EPF+2∠EQF＝360°．
30．（2021春•宝应县月考）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+12∠A的理由．
解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝ 12∠ABC （角平分线定义）．
同理：∠2＝ 12∠ACB ．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（ 三角形的内角和等于180° ），
所以∠D＝ 180°-12（∠ABC+∠ACB） （等式性质）．
即：∠D＝90°+12∠A．
（2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由：
（i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D＝90°-12∠A ．
（ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D=12∠A ．
【分析】（1）、（2）关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于180°”及等式的性质分析求解．
【解析】（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1=12∠ABC （角平分线定义）．
同理：∠2=12∠ACB．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（ 三角形的内角和等于180° ），
所以∠D＝180°-12（∠ABC+∠ACB） （等式性质）．
即：∠D＝90°+12∠A．
故答案为：12∠ABC，12∠ACB，三角形的内角和等于180°，180°-12（∠ABC+∠ACB）．
（2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°-12∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A﹣2∠D＝180°，
∴∠D＝90°-12∠A，
故答案为：∠D＝90°-12∠A；
（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=12∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝∠DBC+∠D，
∵∠A+2∠DBC＝2∠DCE
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D
∴∠A＝2∠D
即：∠D=12∠A．
故答案为：∠D=12∠A．朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
15
14
25
20
13
13
海拔高度h（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
…
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
18
20
22
24
26
28
月用水量x吨
不超过12吨部分
超过12吨不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
2.50
3.00