专题15 概率初步（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

专题15 概率初步

知识网络

重难突破

知识点一  可能性大小

1、事件的分类

（1）确定事件：在一定的条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件．

（2）随机事件：在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．

2、事件发生的可能性

（1）必然事件发生的可能性是1（或100%）；

因为必然事件一定发生，所以其可能性为100%，一般用1表示.

（2）不可能事件发生的可能性是0；

因为不可能事件一定不发生，所以其发生的可能性为0.

（3）不确定事件发生的可能性大于0且小于1；

因为不确定事件有可能发生，也有可能不发生。

典例1

（2020春•罗湖区校级期中）下列事件是必然事件的是　　

A．阴天一定会下雨 

B．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播 

C．购买一张体育彩票，中奖 

D．任意画一个三角形，其内角和是

【解答】解：、阴天不一定会下雨，是不确定事件；

、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件；

、购买一张体育彩票，中奖是不确定事件；

、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件；

故选：．

典例2

（2019春•盐田区期末）下列事件中，是确定事件的是　　

A．古筝弹得好歌就唱得好 B．昨天太阳从西边升起 

C．网红看过电影《少年的你》 D．雨后有彩虹

【解答】解：古筝弹得好歌，歌唱得不一定好，因此选项的事件为随机事件，

太阳不会从西边升起，因此是确定事件，

网红不一定看过电影《少年的你》，因此是随机事件；

雨后不一定有彩虹，因此是随机事件，

故选：．

知识点二  频率的稳定性

1、频率的定义

在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率．

2、频率的稳定性

在大量重复试验的情况下，事件的频率会呈现稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动。随着试验次数的增加，摆动的幅度将越来越小．

3、用频率估计概率

（1）一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定于某个常数，那么事件发生的概率．

（2）试验的所有可能结果不是有限个或者可能出现的结果发生的可能性不一定相等时，都可以通过统计频率来估计概率．

（3）注意点：一般地，用频率估计概率时，试验次数应该尽可能多，试验次数越多，结果越接近事件发生的概率．

（4）概率是通过大量重复试验中频率的稳定性得到的介于0~1的常数，它反映了事件发生的可能性大小．

典例1

（2020秋•龙岗区期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是　　

A．14 B．12 C．6 D．4

【解答】解：由题意可得，

（个，

即袋子中红球的个数最有可能是6个，

故选：．

典例2

（2021•深圳模拟）如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为　　

A．20 B．30 C．40 D．60

【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，

据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，

所以根据袋中红色球的个数为（个，

故选：．

知识点三  等可能事件的概率

1、概率定义

一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件发生的概率，记为．

必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；随机事件发生的概率是0与1之间的一个常数．

2、古典概型概率的计算方法

一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为．

3、几何图形中的概率

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积或度数）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

典例1

（2020•永嘉县模拟）在一个不透明的袋中，装有1个白球、2个红球、2个黄球、3个黑球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出：一个球，可能性最大的是　　

A．白球 B．红球 C．黄球 D．黑球

【解答】解：不透明的袋中，装有1个白球、2个红球、2个黄球、3个黑球，共有8个球，

摸出白球的概率是，

摸出红球的概率是，

摸出黄球的概率是，

摸出黑球的概率是，

，

从袋中任意摸出：一个球，可能性最大的是黑球；

故选：．

典例2

（2020•山西模拟）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：随意投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是：．

故选：．

典例3

（2019•江夏区校级模拟）元旦期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖，指向其余数字不中奖．

（1）转动转盘中奖的概率是多少？

（2）元旦期间有1000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？

【解答】解：（1）数字8，2，6，1，3，5的份数之和为6份，

转动圆盘中奖的概率为：；

（2）根据题意可得，获得一等奖的概率是，

则元旦这天有1000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数为：（人．

典例4

（2020春•历下区期末）如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种．

（1）任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向红色区域的概率是多少？

（2）甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗？为什么？

【解答】解：（1）一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有4个扇形，

指针指向红色的概率为：；

（2）公平，

理由：一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种，黄和绿色的都有3个扇形，

指针指向黄色区域的概率是：，指针指向绿色区域的概率是：，

这个游戏对甲、乙公平．

巩固训练

一、单选题（共8小题）

1．（2020春•商河县期末）下列事件中，是必然事件的是　　

A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 

B．将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上 

C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 

D．如果，那么

【解答】解：、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件；

、将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件；

、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；

、如果，那么是随机事件；

故选：．

2．（2020春•历下区期中）下列事件是必然事件的是　　

A．乘坐公共汽车恰好有空座 

B．购买一张彩票，中奖 

C．同位角相等 

D．三角形的三条高所在的直线交于一点

【解答】解：、乘坐公共汽车恰好有空座是随机事件，不符合题意；

、购买一张彩票，中奖是随机事件，不符合题意；

、同位角相等是随机事件，不符合题意；

、三角形的三条高所在的直线交于一点是必然事件，符合题意，

故选：．

3．下列说法正确的是　　

A．要了解我市居民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法 

B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2 

C．“掷一枚硬币正面朝上的概率是 ”，表示每抛硬币2次就有1次正面朝上 

D．随机抽取甲乙两名同学的5次数学成绩，平均分都是90分，方差分别是，，说明乙的成绩较为稳定

【解答】解：．要了解我市居民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法，此选项正确；

．一组数据2，2，3，6的众数是2，中位数是2.5，此选项错误；

．“掷一枚硬币正面朝上的概率是 “，表示每抛硬币2次可能有1次正面朝上，此选项错误；

．随机抽取甲乙两名同学的5次数学成绩，平均分都是90分，方差分别是，，说明甲的成绩较为稳定；

故选：．

4．（2020秋•天桥区期末）不透明布袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球是白球的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：一个不透明的布袋中装有1个红球和2个白球，

共有个，

从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为；

故选：．

5．（2021•长兴县模拟）如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在白色区域的概率等于　　

A． B． C． D．无法确定

【解答】解：以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，白色区域有4个，因此，

故选：．

6．（2020秋•历下区期末）如图，正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区城内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.8左右，据此可估计白色部分的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：落入黑色部分的频率稳定在0.8左右，

落入白色部分的概率约为0.2，

估计白色部分的面积为，

故选：．

7．（2020•郑州二模）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有　　

A．5个 B．10个 C．15个 D．25个

【解答】解：设袋中白球有个，根据题意得：

，

解得：，

经检验：是分式方程的解，

答：袋中白球约有10个．

故选：．

8．（2020秋•光明区期末）小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是　　

A．抽出的是“朝”字 B．抽出的是“长”字 

C．抽出的是独体字 D．抽出的是带“”的字

【解答】解：．抽出的是“朝”字的概率是，不符合题意；

．抽出的是“长”字的概率是，不符合题意；

．抽出的是独体字的概率是，不符合题意；

．抽出的是带“”的字的概率为，符合题意；

故选：．

二、填空题（共4小题）

9．（2019春•成都期末）如果在和中，，，，那么这两个三角形全等，这个事件是　   　事件．（填“随机”“不可能”或“必然”

【解答】解：如果在和中，，，，那么这两个三角形全等，这个事件是随机事件．

故答案为：随机

10．（2020春•龙泉驿区期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向　 　颜色的可能性最小．

【解答】解：转动一次转盘后，指针指向红色的概率，指针指向黄色的概率，指针指向绿色的概率，

所以转动一次转盘后，指针指向绿颜色的可能性最小．

故答案为绿．

11．（2020秋•天河区期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是　 　个．

【解答】解：设袋子中红球有个，

根据题意，得：，

解得，

即袋子中红球的个数可能是5个，

故答案为：5．

12．（2020秋•元阳县期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：

这种油菜籽发芽的概率的估计值是　   　．（结果精确到

【解答】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，

则这种油菜籽发芽的概率的估计值是0.95，

故答案为：0.95．

三、解答题（共2小题）

13．（2020春•顺德区校级期末）小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，共做了100次实验，实验的结果如下：

（1）计算“4点朝上”的频率．

（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？

（3）小明投掷一枚骰子，计算投掷点数小于3的概率．

【解答】解：（1）“4点朝上”的频率为；

（2）小明的说法错误；

因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；

（3）．

14．（2020春•天桥区期末）小芳和小刚都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小芳提议：将一个转盘9等分，分别将9个区间标上1至9九个号码，随意转动一次转盘，根据指针指向区间决定谁去参加活动．具体规则：若指针指向偶数区间，小刚去参加活动；若指针指向奇数区间，小芳去参加活动

（1）求小刚去参加活动的概率是多少？

（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．

【解答】解：（1）因为转盘被均匀地分成9个区间，其中是偶数的区间有4个，

因此（小刚去参加活动），

所以小刚去参加活动的概率是．

（2）这个游戏不公平．

理由：因为转盘被均匀地分成9个区间，其中是奇数的区间有5个，

因此，（小芳去参加活动）．

因为，

所以（小刚去参加活动）（小芳去参加活动），

所以这个游戏不公平．