专题13 轴对称的性质（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

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专题13 轴对称的性质知识网络  重难突破知识点一  轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．  典例1（2021•宝安区模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是　　A． B． C． D．【解答】解：．是轴对称图形，故此选项不合题意；．不是轴对称图形，故此选项符合题意；．是轴对称图形，故此选项不合题意；．是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：． 典例2（2020春•郫都区期末）如图，与△关于直线对称，若，，则度数为　　A． B． C． D．【解答】解：与△关于直线对称，，，，故选：． 典例3下列说法：（1）线段的对称轴有两条；（2）角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；（3）两个全等的等边三角形一定成轴对称；（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；（5）到直线距离相等的点关于对称．其中说法不正确的有　　A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．4 个【解答】解：（1）线段的对称轴有两条，说法正确；（2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，说法错误；（3）两个全等的图形不一定组成轴对称图形，说法错误；（4）两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，说法错误；（5）到直线距离相等的两点不一定关于对称，说法错误；其中不正确的有4个；故选：． 知识点二  利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形． 典例1（2020春•济南期末）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在格点上，请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母．（1）作△，使得△与关于直线对称；（2）求△的面积（直接写出结果）．【解答】解：（1）如图所示： （2）△得面积：． 典例2（2021春•深圳期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与关于直线成轴对称的△；（2）利用网格线在直线上求作一点，使得最小，请在直线上标出点位置．【解答】解：（1）如图，△即为所求作．（2）如图，点即为所求作．知识点三  轴对称的应用（最短路径）基本问题：在直线上找一点，使得其到直线异侧两点、的距离之和最小．

  变式1：在直线上找一点，使得其到直线同侧两点、的距离之和最小．

  变式2：直线、交于，是两直线间的一点，在直线、上分别找一点、，使得的周长最短．      典例1（2019春•灵石县期末）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是　　A． B． C． D．【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于．根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，则所需管道最短．故选：． 典例2（2019春•南海区期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为　　．【解答】解：如图，连接．的周长，，的值最小时，的周长最小，垂直平分线段，，，的最小值为，的周长的最小值为．故答案为巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2020•南山区校级一模）下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是　　A． B． C． D．【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，故此选项正确；、不是轴对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：．2．（2020•罗湖区一模）下列智能手机的功能图标中，不是轴对称图形的是　　A． B． C． D．【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项符合题意；、是轴对称图形，故此选项不符合题意；、是轴对称图形，故此选项不符合题意；、是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：．3．（2020春•禅城区期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是　　A． B． C． D．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为．故选：．4．（2020春•天桥区期末）如图，与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：与关于直线对称，，直线垂直平分线段，直线垂直平分线段，，，，故选项，，正确，故选：．5．（2019秋•无为县期末）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画　　个．A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：如图，最多能画出7个格点三角形与成轴对称．故选：．6．（2020春•成华区期末）如图，在中，，，△与关于直线对称，，连接，则的度数是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，△与关于直线对称，，，，，，故选：．7．（2019•平度市一模）如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为　　A． B． C．3 D．【解答】解：在上取一点，使，则最小值时垂直时，的长度故选：．8．（2019春•高新区期末）如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，　　A． B． C． D．【解答】解：如图，作，且，连接交于，连接，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，当为与的交点时，如图2，的值最小，此时，，，故选：． 二、填空题（共3小题）9．（2020秋•李沧区期末）如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若，，则　  　．【解答】解：与关于边所在的直线成轴对称，，，，，，，，故答案为：70．10．（2020秋•海勃湾区期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，、两点落在、点处，若得，则的度数为　　．【解答】解：根据轴对称的性质得：又，可得．11．（2020春•双流区校级期末）如图，中，，，，，动点在边上运动（不与端点重合），点关于直线，对称的点分别为，．则在点的运动过程中，线段的长的最小值是　    　．【解答】解：如图，连接，点关于直线，对称的点分别为，，，线段的长等于，如图所示，当时，的长最小，此时线段的长最小，，，，，，线段的长的最小值是9.6，故答案为：9.6．三、解答题（共2小题）12．（2020秋•海淀区校级月考）在等边中，点、是边上的两个动点（不与点，重合），点在点的左侧，且，点关于直线的的对称点为，连接，，求证：．【解答】证明：，，是等边三角形，，，，，点关于直线的对称点为，，，，，，，，，是等边三角形．13．（2021春•南山区校级期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的△；（2）在上画出点，使最小；（3）在上画出点，使最大．【解答】解：（1）如图，△即为所求作．（2）如图，点即为所求作．（3）如图点即为所求作．