专题04 乘法公式（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

专题04 乘法公式

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重难突破

知识点一  平方差公式

1、公式的推导

2、两种表达方式

数学语言：；

文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

注意：

①平方差公式适用于两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项只是符号相反，计算结果是相同项的平方减去相反项的平方；

②运用公式时，关键是确定公式中的a和b，完全相同的项是a，符号相反的项是b，然后再套用公式；

③公式的拓展：公式中的两个二项式相乘可以拓展到两个多项式相乘，只要满足有完全相同的部分，其余部分正好符号相反即可套用平方差公式．

3、平方差公式的几何意义

4、利用平方差公式进行简便运算

典例1

（2021春•南山区校级期中）下列各式中不能用平方差公式进行计算的是　　

A． B． 

C． D．

典例2

（2020春•平阴县期末）如果，则的值为　　．

典例3

若．则　　．

典例4

（2021春•龙岗区月考）如图（1），从边长为的大正方形的四个角中挖去四个边长为的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到　　

A． B． 

C． D．

知识点二  完全平方公式  

1、完全平方公式

文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式．

速记口诀

首平方，尾平方，

乘积2倍放中央，

符号确定看前方。

注意：

①两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；

②公式的拓展：公式中的a，b可以是数，也可以是单项式或多项式；

③完全平方公式的变形公式：

2、完全平方公式的几何意义

            图①                   图②

表示图①中大正方形的面积，可以得到：

表示图②中左下正方形的面积，可以得到：

3、利用完全平方公式进行简便运算

典例1

（2021春•光明区期中）要使成为一个完全平方式，则的值是　　

A．10 B． C．20 D．

典例2

（2021春•盐田区校级期中）若，，则　　

A．184 B．196 C．208 D．212

典例3

（2020秋•淮南期末）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是　　

A． B． 

C． D．

知识点三  整式的化简求值  

化简求值的一般步骤：

第一步：运用相关的乘法公式将代数式展开；

第二步：寻找代数式中的同类项，合并成最简形式；

第三步：将字母的值代入化简后的代数式，并计算得出结果．

典例1

（2019春•罗湖区期中）先化简，再求值：，其中，．

典例2

（2021•平谷区二模）已知，求代数式的值．

巩固训练

一、单选题（共6小题）

1．（2021春•龙岗区月考）下列式子中一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

2．（2021春•盐田区校级期中）若，则　　

A． B． C．3 D．6

3．（2020春•龙岗区期末）已知，，则的值是　　

A．11 B．15 C．3 D．7

4．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为　　

A． B． 

C． D．

5．（2019春•惠来县期中）设，，，若，则的值是　　

A．16 B．12 C．8 D．4

6．（2021•龙岗区模拟）如图，矩形的周长是，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是　　

A． B． C． D．

二、填空题（共4小题）

7．（2021春•南山区校级期中）如果多项式是一个完全平方式，则的值是　　．

8．（2021春•盐田区校级期中）　　．

9．（2020春•福田区校级期末）若，，则　　．

10．（2020春•历下区期中）已知，则　　．

三、解答题（共3小题）

11．（2020春•南山区期中）计算下列各题：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

12．（2021春•龙岗区校级期中）先化简，再求值，其中，．

13．（2021春•深圳校级期中）若满足，求的值．

解：设，，则，，

．

请仿照上面的方法求解下面问题：

（1）若满足，求的值；

（2）如图，在长方形中，，，点．是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？