专题05 两条直线的位置关系（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

专题05 两条直线的位置关系

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重难突破

知识点一 对顶角、邻补角、互余、互补

1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．

相交线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．

2、对顶角

两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．

如图和是对顶角；和 是对顶角

对顶角的性质：对顶角相等．

注意：

①形成对顶角的前提条件是两条直线相交。对顶角不仅反映了角的数量关系，还反映了角的位置关系；

②对顶角必须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延长线．

③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．

3、邻补角

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

如图，和有公共顶点，有一条公共边，与互为反向延长线，所以和互为邻补角；

4、余角和补角

（1）定义：

如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．

如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．

（2）性质：

同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．

典例1

（2021春•福田区校级月考）下列四个图形中，与是对顶角的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、的两边不是的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意；

、的两边不是的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意；

、的两边是的两边的反向延长线，是对顶角，符合题意；

、的两边是没有公共顶点，不是对顶角，不合题意；

故选：．

典例2

（2020春•南山区期中）如图，直线与相交于点，为的角平分线，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

为的角平分线，

，

故选：．

典例3

（2020春•高明区期末）如图，直线于点，为过点的一条直线，则与的关系中一定成立的是　　

A．互为邻补角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为余角

【解答】解：图中，（对顶角相等），

又，

，

．

故选：．

知识点二 垂直、垂线段最短  

1、垂直

两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

如图，直线与互相垂直，记作或（），读作“垂直于”，垂足为；

注意：

两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况．

2、垂线的性质

平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

注意：

①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条；

②必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条；

③点到直线的距离，一定是线段的长度，不是线段．

典例1

（2020春•揭阳期中）若点到直线的距离为，点到直线的距离为，则线段的长度为　　

A． B． C．或 D．至少

【解答】解：从点作直线的垂线，垂足为点，当、、三点共线时，线段的长为，其它情况下大于，

当、在直线的两侧时，，

故选：．

典例2

（2020•金平区一模）能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是　　

A．两点之间线段最短 

B．两点确定一条直线 

C．垂线段最短 

D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【解答】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是两点确定一条直线，

故选：．

典例3

（2020•南海区校级模拟）如图，，，已知，那么的大小是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

，

故选：．

巩固训练

一、单选题（共8小题）

1．（2020春•五莲县期末）下列四个图中，与是对顶角的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：图中的两角没有公共顶点，不符合对顶角的条件；

图、满足两角有一个公共定点，但两个角的边不是互为反向延长线，

故不符合对顶角的条件；

只有中的两个角满足对顶角的定义．

故选：．

2．（2019•紫金县一模）如图，直线和直线相交于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

，

故选：．

3．（2019春•光明区期末）如图，，垂足为，，下列结论不正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，，

，

，

，

，

结论不正确的是：，

故选：．

4．（2020春•济阳区期末）如图，已知直线、相交于点，平分，，则的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：平分，，

，

．

故选：．

5．（2020秋•长春期末）如图，，，点是线段上的动点，则、两点之间的距离不可能是　　

A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5

【解答】解：，，

，即．

观察选项，只有选项符合题意．

故选：．

6．（2021春•历下区期中）如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是　　

A．两点确定一条直线 

B．两点之间线段最短 

C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 

D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

【解答】解：先过点作，垂足为点，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；

故选：．

7．（2020春•南海区期末）如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是　　

A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短 

C．两点之间线段最短 D．垂线段最短

【解答】解：某同学的家在处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择路线，是因为垂线段最短，

故选：．

8．如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，射线平分，

，

，

．

故选：．

二、填空题（共5小题）

9．（2021春•福田区校级期中）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是　　（用字母表示）．

【解答】解：，

由垂线段最短可知是最短的，

故答案为：．

10．（2019春•杏花岭区校级期中）如图，直线与直线相交于点，，　　．

【解答】解：依题意设，则，

，

，

解得，

．

故答案为：．

11．（2021春•南海区校级期中）如图，是直线上一点，，射线平分，，则　  　．

【解答】解：．

．

平分．

．

．

．

．

故答案为：20．

12．（2020春•金山区期中）如图，直线，相交于点，，过点作，则的度数为　　．

【解答】解：直线与直线相交，，

．

，

，

．

故答案为：．

13．（2021春•金牛区校级月考）已知与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的大小是　         ．

【解答】解：设是度，根据题意，得

①两个角相等时，如图

，

，

解得；

②两个角互补时，如图

，

所以，

．

故的大小是或．

故答案为：或．

三、解答题（共2小题）

14．（2021春•简阳市 月考）如图所示，直线、相交，于，且，求的度数和的度数．

【解答】解：，，

，

，

，

，

．

15．（2020秋•砚山县期末）如图，直线与相交于点，．

（1）如图1，若平分，求的度数；

（2）如图2，若，且平分，求的度数．

【解答】解（1），平分，

，

，

，

即的度数为；

（2）

设，，

，

平分，

，

，

，

，

即的度数为．