高中物理第一章 动量守恒定律5 弹性碰撞和非弹性碰撞学案设计

弹性碰撞和非弹性碰撞

1．知道弹性碰撞、非弹性碰撞的特点。

2．知道弹性碰撞的相关结论。

3．能利用动量和能量的观点分析、解决一维碰撞的问题。

知识点一　弹性碰撞和非弹性碰撞

[情境导学]

牛顿摆是由法国物理学家伊丹马略特(Edme Mariotte)最早于1676年提出的，如图甲所示，五个质量相同的钢球由等长的吊绳固定，彼此紧密排列。当摆动最左侧的球并在回摆时碰撞紧密排列的另外四个球，会出现最左侧和中间的三个钢球保持不动，仅有最右边的球被弹出，如图乙所示。请思考为什么？

提示：质量相等的两个钢球发生弹性碰撞，碰后两球交换速度。

[知识梳理]

1．弹性碰撞：系统在碰撞前后动能不变的碰撞。

2．非弹性碰撞：系统在碰撞后动能减少的碰撞。

3．实例：(1)钢球、玻璃球碰撞时，机械能损失很小，它们的碰撞可看作弹性碰撞；

(2)橡皮泥球之间的碰撞、碰撞后两物体粘在一起运动的碰撞均为非弹性碰撞。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)发生碰撞的两物体动量是守恒的。(√)

(2)发生碰撞的两物体，机械能一定守恒。(×)

(3)碰撞后两物体能分开的碰撞一定是弹性碰撞。(×)

(4)碰撞后两个物体粘在一起，动量是守恒的，但机械能损失是最大的。(√)

2．现有甲、乙两滑块，质量分别为3m和m，以相同的速率v在光滑水平面上相向运动，发生了碰撞。已知碰撞后，甲滑块静止不动，那么这次碰撞是(　　)

A．弹性碰撞　　　　　　 B．非弹性碰撞

C．完全非弹性碰撞 D．条件不足，无法确定

解析：选A　以甲滑块的运动方向为正方向，由动量守恒定律得3mv－mv＝0＋mv′，所以v′＝2v，

碰撞前总动能Ek＝×3mv2＋mv2＝2mv2，

碰撞后总动能Ek′＝mv′2＝2mv2，

Ek＝Ek′，所以A正确。

知识点二　弹性碰撞的实例分析

[情境导学]

两个小球发生弹性碰撞，如图甲、乙所示。

(1)图甲中两球碰撞前后速度方向有什么特点？系统动量守恒吗？

(2)图乙中两球碰撞前后速度方向有什么特点？系统动量守恒吗？

提示：(1)碰撞前后两球速度在同一直线上，系统动量守恒。

(2)碰撞前后两球速度不在同一直线上，系统动量守恒。

[知识梳理]

1．正碰：两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线，这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞。

2．弹性正碰实例分析

(1)问题情境

如图所示，质量为m1的物体以速度v1与原来静止的质量为m2的物体发生弹性正碰，碰后它们的速度分别为v1′和v2′。

(2)碰撞过程遵循的规律

①系统动量守恒：m1v1＝m1v1′＋m2v2′。

②系统没有动能损失：m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2。

(3)碰撞后两物体的速度

v1′＝v1，v2′＝v1。

(4)结果分析讨论

①若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1，简记为“质量相等，交换速度”；

②当m1>m2时，v1′>0，v2′>0，且v2′>v1′，当m1≫m2时，v1′＝v1，v2′＝2v1；

③当m1<m2时，v1′<0，v2′>0，当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)发生正碰的两个小球，碰撞前后两球均沿同一直线运动。(√)

(2)斜碰过程中系统动量仍守恒，但机械能一定不守恒。(×)

(3)发生弹性正碰的两球碰后一定交换速度。(×)

(4)质量相等的两球弹性碰撞后可能会交换速度。(√)

2．思考题。

如图所示，打台球时，质量相等的母球与目标球发生碰撞，两个球一定交换速度吗？碰撞一定是对心碰撞吗？

提示：不一定。只有质量相等的两个物体发生一维弹性碰撞时，系统的总动量守恒，总机械能守恒，才会交换速度，否则不会交换速度。母球与目标球碰撞时，对心碰撞和非对心碰撞都有可能发生。

[问题探究]

冰壶比赛中的情境如图所示。两个冰壶间的碰撞可以看成弹性碰撞吗？其碰撞一定是正碰吗？

提示：由于冰面的摩擦力比较小，两个冰壶间的碰撞可以看成弹性碰撞，其碰撞不一定是正碰，也可能是斜碰。

[要点归纳]

1．碰撞过程的五个特点

(1)时间特点：在碰撞现象中，相互作用的时间很短。

(2)作用力特点：在相互作用过程中，相互作用力先是急剧增大，然后急剧减小，平均作用力很大。

(3)动量特点：系统的内力远远大于外力，所以系统即使所受合外力不为零，但外力可以忽略，系统的总动量守恒。

(4)位移特点：碰撞过程是在一瞬间发生的，时间极短，在物体发生碰撞的瞬间，可忽略物体的位移，认为物体在碰撞前后仍在同一位置。

(5)能量特点：碰撞过程系统的总动能不增加，即碰撞前总动能Ek与碰撞后总动能Ek′满足Ek≥Ek′。

2．碰撞的广义理解

物理学里所研究的碰撞，包括的范围很广，只要通过短时间作用，物体的动量发生了明显的变化，都可视为碰撞。例如：两个小球的撞击，子弹射入木块，系在绳子两端的物体将松驰的绳子突然拉直，铁锤打击钉子，列车车厢的挂接，中子轰击原子核等均可视为碰撞问题。需注意的是必须将发生碰撞的双方(如两小球、子弹和木块、铁锤和钉子、中子和原子核等)包括在同一个系统中，才能对该系统应用动量守恒定律。

3．碰撞的分类

[例题1]　如图甲所示，在光滑水平面上的两小球发生正碰，小球的质量分别为m1和m2。图乙为它们碰撞前后的x­t(位移—时间)图像。已知m1＝0.1  kg。由此可以判断(　　)

A．碰前质量为m2的小球静止，质量为m1的小球向右运动

B．碰后质量为m2的小球和质量为m1的小球都向右运动

C．m2＝0.5  kg

D．两个小球的碰撞是非弹性碰撞

[解析]　由题中图乙可知，质量为m1的小球碰前速度v1＝4 m/s，碰后速度为v1′＝     －2 m/s，质量为m2的小球碰前速度v2＝0，碰后的速度v2′＝2 m/s，两小球组成的系统碰撞过程动量守恒，有m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，代入数据解得m2＝0.3  kg，所以选项A正确，选项B、C错误；两小球组成的系统在碰撞过程中的机械能损失为ΔE＝m1v12＋m2v22－＝0，所以碰撞是弹性碰撞，选项D错误。

[答案]　A

处理碰撞问题的三个关键点

(1)选取动量守恒的系统：若有三个或更多个物体参与碰撞时，要合理选取所研究的系统。

(2)弄清碰撞的类型：弹性碰撞、完全非弹性碰撞还是其他非弹性碰撞。

(3)弄清碰撞过程中存在的关系：能量转化关系、速度关系等。　　　　

[针对训练]

1．如图所示，在冰壶世锦赛上中国队以8∶6战胜瑞典队，收获了第一个世锦赛冠军，队长王冰玉在最后一投中，将质量为19  kg的冰壶推出，运动一段时间后以0.4 m/s的速度正碰静止的瑞典冰壶，然后中国队冰壶以0.1  m/s的速度继续向前滑向大本营中心。若两冰壶质量相等。则下列判断正确的是(　　)

A．瑞典队冰壶的速度为0.3 m/s，两冰壶之间的碰撞是弹性碰撞

B．瑞典队冰壶的速度为0.3 m/s，两冰壶之间的碰撞是非弹性碰撞

C．瑞典队冰壶的速度为0.5 m/s，两冰壶之间的碰撞是弹性碰撞

D．瑞典队冰壶的速度为0.5 m/s，两冰壶之间的碰撞是非弹性碰撞

解析：选B　两冰壶碰撞的过程中动量守恒，规定向前运动方向为正方向，根据动量守恒定律有mv1＝mv2＋mv3，代入数据得m×0.4 m/s＝m×0.1 m/s＋mv3，解得v3＝0.3 m/s。动能减小量ΔE＝mv12－mv22－mv32＝×19×(0.42－0.12－0.32)J＝0.57 J＞0，故系统动能减小，两冰壶之间的碰撞是非弹性碰撞，B正确。

2．一中子与一质量数为A(A>1)的原子核发生弹性正碰。若碰前原子核静止，则碰撞前与碰撞后中子的速率之比为(　　)

A．　　　　　　　 B．

C． D．

解析：选A　设中子的质量为m，因为发生的是弹性正碰，碰撞过程中动量守恒， 机械能守恒，规定中子初速度的方向为正方向，有mv1＝mv2＋Amv，mv12＝mv22＋×Amv2，两式联立解得＝，选A。

[问题探究]

如图所示，在光滑水平地面上有质量为m1、m2的两球，分别以速度v1、v2(v1>v2)运动。两球发生对心弹性碰撞后速度分别为v1′、v2′。

请思考：(1)碰撞前后两球的总动量有什么关系？

(2)碰撞前后两球的总动能有什么关系？

(3)两球碰后的速度v1′、v2′的大小有哪些特点？

提示：(1)碰撞前后两球的总动量守恒。

(2)碰撞前两球的总动能大于或等于碰撞后两球的总动能。

(3)两球碰后的速度v1′、v2′的大小：①v2′＞v2；②v1′≤v2′。

[要点归纳]

碰撞问题的三个原则

(1)动量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′。

(2)动能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′。

[例题2]　在光滑水平面上，有A、B两个小球向右沿同一直线运动，取向右为正，两球的动量分别是pA＝5 kg·m/s，pB＝7 kg·m/s，如图所示，若能发生正碰，则碰后两球的动量增量ΔpA、ΔpB可能的是(　　)

A．ΔpA＝－3 kg·m/s，ΔpB＝3 kg·m/s

B．ΔpA＝3 kg·m/s，ΔpB＝3 kg·m/s

C．ΔpA＝－10 kg·m/s，ΔpB＝10 kg·m/s

D．ΔpA＝3 kg·m/s，ΔpB＝－3 kg·m/s

[解析]　两球碰撞过程，系统的动量守恒，两球动量变化量应大小相等，方向相反，根据碰撞过程动量守恒定律，如果ΔpA＝－3 kg·m/s，ΔpB＝3 kg·m/s，则碰后两球的动量分别为pA′＝2 kg·m/s，pB′＝10 kg·m/s，根据碰撞过程总动能不可能增加，故A正确。若ΔpA＝3 kg·m/s，ΔpB＝3 kg·m/s，违反了动量守恒定律，不可能，故B错误。如果ΔpA＝－10 kg·m/s，ΔpB＝      10 kg·m/s，则碰后两球的动量分别为pA′＝－5 kg·m/s，pB′＝17 kg·m/s，可以看出，碰撞后A的动能不变，而B的动能增大，违反了能量守恒定律，不可能，故C错误。根据碰撞过程动量守恒定律，如果ΔpA＝3 kg·m/s，ΔpB＝－3 kg·m/s，则碰后两球的动量分别为pA′＝       8 kg·m/s，pB′＝4 kg·m/s，碰撞后两球的动量方向都与原来方向相同，A的动量不可能沿原方向增大，与实际运动不符，故D错误。

[答案]　A

处理碰撞问题的思路

(1)对一个给定的碰撞，首先要看动量是否守恒，其次看总动能是否增加。

(2)一个符合实际的碰撞，除动量守恒外还要满足动能不增加，同时注意碰后合理的速度关系。

(3)要灵活运用Ek＝或p＝，Ek＝pv或p＝几个关系式进行有关计算。　　　　

[针对训练]

1.如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动。两球质量关系为mB＝2mA，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为6 kg·m/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s，则(　　)

A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5

B．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10

C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5

D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10

解析：选A　规定向右为正方向，碰撞前A、B两球的动量均为6 kg·m/s，说明A、B两球的速度方向均向右，两球质量关系为mB＝2mA，所以碰撞前vA>vB，左方是A球；碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s，所以碰撞后A球的动量是2 kg·m/s，碰撞过程系统总动量守恒，有mAvA＋mBvB＝mAvA′＋mBvB′，可解得碰撞后B球的动量是10 kg·m/s，根据mB＝2mA，可知碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5。故选A。

2.如图所示，光滑水平地面上有两个小球甲和乙，质量分别是m和km，现让甲以初速度v0向右运动并与乙(静止)发生碰撞，碰后乙的速度为，若碰后甲、乙同向运动，则k的值可能是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　设甲与乙发生碰撞后甲的速度为v，由动量守恒定律得mv0＝mv＋km，解得v＝v0－v0，碰撞后甲、乙同向运动则有v>0，即v0－v0>0，解得k<2；碰后甲球不能越过乙球，因此有v≤，解得k≥1；又因为碰撞过程中动能不增加，所以有mv02≥mv2＋km2，解得0≤k≤3。综上可得1≤k<2，则B可能，A、C、D不可能。

爆炸问题与碰撞问题的综合

[示例]　如图所示，左侧MG为光滑半圆形轨道，与水平光滑轨道平滑相连，半径为2 m。水平轨道分为两段，MN为长L＝1.5 m的光滑水平轨道，NP部分粗糙且足够长，在水平轨道靠近N点处放着两个物块A、B，中间夹着炸药，储存了60 J的化学能，某时刻引爆炸药。已知两物块与NP间的动摩擦因数μ＝0.5，A、B质量分别为mA＝3 kg，mB＝5 kg。A、B可视为质点，假设化学能全部转化为机械能，且之后所有的碰撞为弹性碰撞。重力加速度g取10 m/s2。关于A、B的运动，下列说法正确的是(　　)

A．爆炸过程中，B受到的冲量大小为8 N·s

B．爆炸之后，A、B不会再次发生碰撞

C．爆炸之后，A、B会发生碰撞，且碰后向同一方向运动

D．最终A、B停止运动后的距离为1 m

[解析]　对爆炸过程，取向左为正方向，由动量守恒定律得mAvA－mBvB＝0，由能量守恒定律得mAvA2＋ mBvB2＝60 J，解得vA＝5 m/s，vB＝3 m/s，B受到的冲量为IB＝mBvB＝5×  3 N·s＝15 N·s，故A错误；爆炸结束后，假设A恰好能滑到与半圆轨道圆心等高处需要的速度为v0，由机械能守恒定律得mAgr＝ mAv02，解得v0＝＝2  m/s，因为 vA＜v0，所以碰撞后A滑不到与半圆轨道圆心等高处，根据机械能守恒定律知，A返回N点时速度大小等于vA，因为vA＞vB，所以爆炸之后，A、B会发生碰撞，碰撞时B已经静止，根据一动一静的完全弹性碰撞可得，A、B发生弹性碰撞，因A质量小于B的质量，碰后A、B运动方向相反，故B、C错误；对B，由动能定理得μmBgxB＝mBvB2，从爆炸结束后到与B碰撞前，对A，由动能定理得－μmAgxB＝mAvA02－mAvA2 ，A、B碰撞过程满足动量守恒、机械能守恒，有mAvA0＝mAvA′＋mBvB′ ，mAvA02＝mAvA′2＋mBvB′2，碰撞结束后，对A，由动能定理得－μmAgxA′＝0－mAvA′2，对B，由动能定理得－μmBgxB′＝0－mBvB′2，最终A、B间距d＝xA′＋xB′，代入数据解得d＝1 m，故D正确。

[答案]　D

 [拓展训练]

1．如图，两质量均为m的物块A、B紧绑在一起，中间夹有火药，它们沿光滑水平面以速度v0向右运动，某时刻火药爆炸，爆炸完成后，B与前方质量为2m的静止的物体C发生完全非弹性碰撞，之后A、B、C三物块速度相同，不计火药质量和爆炸产生的气体质量，则(　　)

A．三物块最终的速度均为

B．火药爆炸后，B的速度为2v0

C．火药爆炸后， A、B组成的系统增加的机械能为mv02

D．最终整个系统的机械能不变

解析：选A　火药爆炸时，A、B组成的系统动量守恒，可设爆炸后A、B的速度分别为vA、vB，则2mv0＝mvA＋mvB，B与C的碰撞满足系统动量守恒，则mvB＝(m＋2m)v共，由题意知vA＝v共，联立以上三式得vA＝v共＝，vB＝ ，A正确，B错误；火药爆炸后，A、B组成的系统增加的机械能ΔE＝－×2mv02＝mv02，C错误；最初整个系统的机械能为×2mv02＝mv02，最终整个系统的机械能为×4mv共2＝mv02，D错误。

2.如图所示，可视为质点的小物块A、B的质量分别为m和3m，静止放在光滑水平地面上，物块A、B间夹有一小块炸药(炸药的质量可以忽略不计)。某时刻炸药爆炸使物块A、B脱离，然后物块A与一质量为2m且以速度v0向右滑动的物块C发生碰撞，物块A、C碰撞后，物块A、B、C具有相同的速度。若炸药爆炸释放的化学能全部转化为物块A、B的机械能，求炸药爆炸时释放的化学能。

解析：对炸药爆炸过程，以水平向右为正方向，由动量守恒定律得3mvB－mvA＝0，A、C碰撞过程有2mv0－mvA＝3mvB，联立解得vA＝v0，vB＝

由能量守恒定律，爆炸释放化学能得E＝mvA2＋×3mvB2，解得E＝mv02。

答案：mv02

1．下列对于碰撞的理解正确的是(　　)

A．碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生了显著变化的过程

B．在碰撞现象中，一般内力都远远小于外力，所以不能认为碰撞时系统的总动量守恒

C．如果碰撞过程中机械能也守恒，这样的碰撞叫作非弹性碰撞

D．微观粒子的碰撞由于不发生直接接触，所以不满足动量守恒的条件，不能应用动量守恒定律求解

解析：选A　碰撞过程中机械能守恒的碰撞为弹性碰撞，C错误。动量守恒定律是自然界普遍适用的规律之一，不仅低速、宏观物体的运动遵守这一规律，而且高速、微观物体的运动也遵守这一规律，D错误。碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生显著变化的过程，在碰撞现象中，内力一般远大于外力，可以认为系统的总动量守恒，A正确，B错误。

2．质量为m的小球a静止在光滑水平面上，一质量为2m的小球b以水平速度v与小球a发生弹性正碰，碰撞时间极短可忽略不计，碰后瞬时a、b两球速度大小之比为(　　)

A．4　　　 B．3　　　　

C．2　　　　 D．1

解析：选A　由弹性碰撞满足动量守恒和能量守恒，设b的速度为正方向，得2mv＝2mvb＋mva，×2mv2＝×2mvb2＋mva2，解得va＝，vb＝，则有＝4，故选A。

3．新型冠状病毒肺炎疫情期间，一些宅在家里久了的朋友有些耐不住寂寞，想要出门逛逛，但是又担心受到感染，因此绞尽脑汁来自我保护。如图所示，一对母女穿着同款充气“防护服”出来散步，由于两人初次穿充气服，走起路来有些控制不好平衡，所以两人发生了碰撞。若妈妈的质量为3m，女儿的质量为m，且以相同的速率v在光滑水平面上发生相向碰撞，碰撞后妈妈静止不动，则这次碰撞属于(　　)

A．弹性碰撞

B．非弹性碰撞

C．完全非弹性碰撞

D．条件不足，无法确定

解析：选A　设碰撞后女儿的速度为v′，根据动量守恒定律可得3mv－mv＝mv′，故碰后女儿的速度为v′＝2v；碰前母女俩的总动能为Ek＝×3mv2＋mv2＝2mv2，碰后母女俩的总动能为Ek′＝mv′2＝2mv2，由于碰撞前后总动能相等，所以母女俩的碰撞为弹性碰撞，选A。

4.如图所示，半径和动能都相等的两个小球相向而行。甲球质量   m甲大于乙球质量m乙，水平面是光滑的，两球做对心碰撞以后的运动情况可能是下述哪种情况？(　　)

A．甲球速度为零，乙球速度不为零

B．两球速度都为零

C．乙球速度为零，甲球速度不为零

D．两球都以各自原来的速率反向运动

解析：选A　根据两球动能相等有m甲v甲2＝m乙v乙2 ，得出两球碰前动量大小之比＝ ，因m甲＞m乙，则p甲＞p乙，则系统的总动量方向向右。根据动量守恒定律可以判断，碰后两球运动情况可能是A所述情况，而B、C、D情况是违背动量守恒的，故B、C、D情况是不可能的。