天津市河西区2019-2020学年高一第二学期数学期中试卷(含解析)

这是一份天津市河西区2019-2020学年高一第二学期数学期中试卷(含解析)，共37页。试卷主要包含了选择题 .，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2019-2020 学年高一第二学期期中数学试卷
一、选择题（共 9 小题） .
1．如果 ， 是两个单位向量，则 与 一定（ ）
A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等
2．若复数 z＝（ x2 ﹣ 1） +（x ﹣ 1） i 为纯虚数，则实数 x 的值为（ ）
A．﹣ 1 B． 0 C． 1 D．﹣ 1 或 1
3．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级 1000 名学生收看比赛的情况用随
机抽样方式进行调查，样本容量为 50，将数据分组整理后，列表如表：
观看场数
观看人数占调查人数
的百分比
0
8%
1
10%
2
20%
3
26%
4
m%
5
12%
6
6%
7
2%
从表中可以得出正确的结论为（ ）
A．表中 m的数值为 8
B．估计观看比赛不低于 4 场的学生约为
C．估计观看比赛不低于 4 场的学生约为
D．估计观看比赛场数的众数为 2
360 人
720 人
4．甲、乙两个元件构成一并联电路，设 E＝“甲元件故障”， F＝“乙元件故障“，则表示电路
故障的事件为（ ）
A． E∪ F B． E∩ C． D． E∩ F
5．若 a， b∈R， i 为虚数单位，且（ a+i ） i ＝b+i ，则（ ）
A． a＝ 1， b＝ 1 B． a＝﹣ 1， b ＝1 C． a＝ 1， b＝﹣ 1 D． a＝﹣ 1， b＝﹣ 1
6．小波一星期的总开支分布图如图
蛋开支占总开支的百分比为（
1 所示，一星期的食品开支如图 2 所示，则小波一星期的鸡
）
A． 30% B． 10% C． 3% D．不能确定
7．设 A、 B是两个概率大于 0 的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件 A? B，则 P（A）＜ P（B）
B．若 A和 B互斥，则 A和 B一定相互独立
C．若 A和 B相互独立，则 A和 B 一定不互斥
D． P（A） +P（B）≤ 1
8．设△ ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 bcsC+ccsB＝asin A，则△ ABC的形状 为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
9．已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量 m 3 与 （2 ﹣ m） 共线，则实数 m的值为
（ ）
A．﹣ 1 或 3 B． C．﹣ 1 或 4 D． 3 或 4
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分 .
10． i 是虚数单位，复数 ．
11．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校
四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查， 已知该校一年级、 二年级、 三年级、
四年级的本科生人数之比为 4： 5： 5： 6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．
12．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6）先后抛掷两次，记
第一次出现的点数为 x，第二次出现的点数为 y．则事件“ x+y≤3”的概率为 ．
13．在三角形
＝
14．已知 ，
的值为
ABC中，角
．
是夹角为
．
A， B， C 所对应的长分别为 a， b， c，若 a＝2， B ， c ＝2 ，则 b
的两个单位向量， 2 ， k ，若 ? 0，则实数 k
15．如图，在平面四边形 ABCD中， AB⊥BC， AD⊥ CD， ∠BAD＝ 120°， AB＝AD＝ 1．若点 E 为边 CD
上的动点，则 ? 的最小值为 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 49 分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．
16．随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
30， 42， 41， 36， 44， 40， 37， 37， 25， 45， 29， 43， 31， 36， 49， 34， 33， 43， 38， 42，
32， 34， 46， 39， 36．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[25， 30]
（ 30， 35]
（ 35， 40]
（40， 45]
（45， 50]
3 0.12
5 0.20
8 0.32
n1 f \l "_bkmark1" 1
n2 f \l "_bkmark2" 2
（ 1）确定样本频率分布表中 n1， n2， f 1 和 f 2 的值；
（ 2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（ 3）根据样本频率分布直方图， 求在该厂任取 4 人， 至少有 1 人的日加工零件数落在区间 （30， 35] 的概率．
17．在一次猜灯谜活动中，共有 20 道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了
对了 8 个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（ 1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（ 2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
18．在△ ABC中的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 B＝30°， b
三角形．
12 个，乙同学猜
， c ＝2，解这个
19．已知 （2， 1）， （1， 7）， （5， 1），设 C是直线 OP上的一点（其中 O为
坐标原点）
（ 1）求使 取到最小值时的 ；
（ 2）根据（ 1）中求出的点 C，求 cs∠ACB．
20．设 z1 是虚数， z2 ＝z1 是实数，且﹣ 1≤z2 ≤l．
（ 1）求 | z1| 的值以及 z1 的实部的取值范围；
（ 2）若 ω ，求证 ω 为纯虚数；
（ 3）求 z2 ﹣ ω 的最小值．2
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果 ， 是两个单位向量，则 与 一定（ ）
A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等
【分析】根据 ， 是两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．
解：因为 ， 是两个单位向量；
只能得到其模长相等，其他没法确定；
故选： D．
2．若复数 z＝（ x2 ﹣ 1） +（x ﹣ 1） i 为纯虚数，则实数 x 的值为（ ）
A．﹣ 1 B． 0 C． 1 D．﹣ 1 或 1
【分析】复数 z＝（ x2 ﹣ 1） +（x ﹣ 1） i 为纯虚数，复数的实部为 0，虚部不等于 0，求解即可． 解：由复数 z＝（ x2 ﹣ 1） + （x ﹣ 1） i 为纯虚数，
可得 x＝﹣ 1
故选： A．
3．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级 1000 名学生收看比赛的情况用随
机抽样方式进行调查，样本容量为 50，将数据分组整理后，列表如表：
观看场数
观看人数占调查人数
0
8%
1
10%
2
20%
3
26%
4
m%
5
12%
6
6%
7
2%
的百分比
从表中可以得出正确的结论为（ ）
A．表中 m的数值为 8
B．估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 360 人
C．估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 720 人
D．估计观看比赛场数的众数为 2
【分析】由频率分布表的性质，求出 m＝ 12；先由频率分布表求出观看比赛不低于 4 场的学生
所占比率为 36%，由此估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 360 人；出现频率最高的为 3．
解：由频率分布表的性质，得：
m＝ 100 ﹣ 8 ﹣ 10 ﹣ 20 ﹣ 26 ﹣ 16 ﹣ 6 ﹣ 2＝ 12，故 A错误；
∵观看比赛不低于 4 场的学生所占比率为： 16%+12%+6%+2＝%36%，
∴估计观看比赛不低于 4 场的学生约为： 1000 ×36%＝360 人，故 B正确， C错误；
出现频率最高的为 3．故 D错误；
故选： B．
4．甲、乙两个元件构成一并联电路，设 E＝“甲元件故障”， F＝“乙元件故障“，则表示电路
故障的事件为（ ）
A． E∪ F B． E∩ C． D． E∩ F
【分析】由并联电路性质得：电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障．
解：甲、乙两个元件构成一并联电路，设 E＝“甲元件故障”， F＝“乙元件故障“，
则电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障，
∴表示电路故障的事件为 E∩F．
故选： D．
%，
5．若 a， b∈R， i 为虚数单位，且（ a+i ） i ＝b+i ，则（ ）
A． a＝ 1， b＝ 1 B． a＝﹣ 1， b ＝1 C． a＝ 1， b＝﹣ 1 D． a＝﹣ 1， b＝﹣ 1
【分析】 根据所给的关于复数的等式，
条件，即实部和虚部分别相等，得到
解：∵（ a+i ） i ＝b+i，
∴ ai ﹣ 1＝ b+i ，
∴ a＝ 1， b＝﹣ 1，
整理出等式左边的复数乘法运算， 根据复数相等的充要
a， b 的值．
故选： C．
6．小波一星期的总开支分布图如图
蛋开支占总开支的百分比为（
1 所示，一星期的食品开支如图 2 所示，则小波一星期的鸡
）
A． 30% B． 10% C． 3% D．不能确定
【分析】 计算鸡蛋占食品开支的百分比， 利用一星期的食品开支占总开支的百分比，
一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比
解： 根据一星期的食品开支图， 可知鸡蛋占食品开支的百分比为
∵一星期的食品开支占总开支的百分比为 30%，
∴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 30%× 10%＝3%．
故选： C．
7．设 A、 B 是两个概率大于 0 的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
即可求得
A．事件 A? B，则 P（A）＜ P（B）
B．若 A和 B互斥，则 A和 B一定相互独立
C．若 A和 B相互独立，则 A和 B 一定不互斥
D． P（A） +P（B）≤ 1
【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概型与性质进行判断．
解：若事件 B包含事件 A，则 P（A）≤ P（B），故 A错误；
若事件 A、 B互斥，则 P（AB）＝ 0，
若事件 A、
若事件 A，
故选： C．
B相互独立，则 P（AB）＝ P（A） P（B）＞ 0，故 B 错误， C正确；
B相互独立，且 P（A） ， P（B） ，则 P（A） +P（B）＞ 1，故 D错误．
8．设△ ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 bcsC+ccsB＝asin A，则△ ABC的形状 为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【分析】由条件利用正弦定理可得 sin BcsC+sin CcsB＝ sin Asin A，再由两角和的正弦公式、
诱导公式求得 sin A＝ 1，可得 A ，由此可得△ ABC的形状．
解：△ ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，
∵ bcsC+ccsB＝asin A，则由正弦定理可得 sin BcsC+sin CcsB＝sin Asin A，
即 sin （B+C）＝ sin Asin A，可得 sin A＝ 1，故 A ，故三角形为直角三角形，
故选： B．
9．已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量 m 3 与 （2 ﹣ m） 共线，则实数 m的值为
（ ）
3
A．﹣ 1 或 3 B． C．﹣ 1 或 4 D． 3 或 4
【分析】利用向量共线定理即可得出．
解：∵向量 m 3 与 （2 ﹣ m） 共线，
∴存在实数 k 使得： m k[
（2 ﹣ m） ] ，
化为：（ m﹣ k） [ ﹣ 3 ﹣ k （2 ﹣ m） ] ，
∵向量 ， 是两个不共线的向量，
∴ ，解得 m＝3 或﹣ 1．
故选： A．
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分 .
10． i 是虚数单位，复数 4 ﹣ i ．
【分析】根据复数的运算法则计算即可．
解： 4 ﹣ i ，
故答案为： 4 ﹣ i
11．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校
四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查， 已知该校一年级、 二年级、 三年级、
四年级的本科生人数之比为 4： 5： 5： 6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生．
【分析】 先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例， 再用样本容量乘以该比列， 即为
所求．
解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 ，
故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300 60，
故答案为： 60．
12．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6）先后抛掷两次，记
第一次出现的点数为 x，第二次出现的点数为 y．则事件“ x+y≤3”的概率为 ．
【分析】基本事件总数 n＝6×6＝ 36，利用列举法求出事件“ x+y≤3”包含的基本事件（ x， y） 有 3 个，由此能求出事件“ x+y≤3”的概率．
解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6）先后抛掷两次，
记第一次出现的点数为 x，第二次出现的点数为 y．
基本事件总数 n＝ 6× 6＝36，
事件“ x+y≤3”包含的基本事件（ x， y）有：
（ 1， 1），（ 1， 2），（ 2， 1），共 3 个，
则事件“ x+y≤3”的概率为 p ．
故答案为： ．
13．在三角形 ABC中，角 A， B， C 所对应的长分别为 a， b， c，若 a＝2， B ， c ＝2 ，则 b
＝ 2 ．
【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出 b 即可．
解：由余弦定理可知 b2 ＝a2+c2 ﹣ 2accsB＝ 22
因为 b 是三角形的边长，所以 b＝ 2．
故答案为： 2．
14．已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，
的值为 ．
2× 2×2 4．
2 ， k ，若 ? 0，则实数 k
【分析】利用向量的数量积公式求出 ；利用向量的运算律求出 ，列出方程求出 k．
解：∵ 是夹角为 的两个单位向量
∴
∴
∵
∴
解得
故答案为：
15．如图，在平面四边形 ABCD中， AB⊥BC， AD⊥ CD， ∠BAD＝ 120°， AB＝AD＝ 1．若点 E 为边 CD
上的动点，则 ? 的最小值为 ．
【分析】可建立坐标系，然后根据给的条件求出 A， B， E的坐标，再设 E（0， m），则可将
? 整理成 m的函数，然后求其最小值．
解：因为 AB⊥BC， AD⊥CD， ∠ BAD＝ 120°， AB＝AD＝ 1．
故如图，建立如图所示的坐标系．则 A（1， 0），连接 AC，易证 Rt △ACD≌RtACB，
∴∠ DAC＝∠ DAB＝ 60°＝∠ BAx＝ 60°，∴ ． xB ＝ 1+1 ，
．∴ ．
设 E（0， m），（ ）．
∴ ， ．
∴ （m ） 2 ．
故当 时， ? 的最小值 ．
故答案为： ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共
16．随机观测生产某种零件的某工厂
30， 42， 41， 36， 44， 40， 37，
32， 34， 46， 39， 36．
49 分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．
25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
37， 25， 45， 29， 43， 31， 36， 49， 34， 33， 43， 38， 42，
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
[25， 30]
（ 30， 35]
（ 35， 40]
（40， 45]
（45， 50]
频数 频率
3 0.12
5 0.20
8 0.32
n1 f \l "_bkmark3" 1
n2 f \l "_bkmark4" 2
（ 1）确定样本频率分布表中 n1， n2， f 1 和 f 2 的值；
（ 2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（ 3）根据样本频率分布直方图， 求在该厂任取 4 人， 至少有 1 人的日加工零件数落在区间 （30，
35] 的概率．
【分析】（ 1）利用所给数据，可得样本频率分布表中 n1， n2， f 1 和 f 2 的值；
（ 2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；
（ 3）利用对立事件可求概率．
解：（ 1）（ 40， 45] 的频数 n1＝ 7，频率 f 1＝ 0.28 ；（ 45， 50] 的频数 n2＝ 2，频率 f 2 ＝0.08；
（ 2）频率分布直方图：
（ 3）设在该厂任取 4 人，没有一人的日加工零件数落在区间（ 人的日加工零件数落在区间（ 30， 35] 为事件，
30， 35] 为事件 A，则至少有一
已知该厂每人日加工零件数落在区间（ 30， 35] 的概率为 ，
∴ P（A） 0.4096，
∴ P（ ）＝ 1 ﹣ P（A）＝ 1 ﹣ 0， 4096＝ 0.5904，
∴在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30， 35] 的概率 0.5904．
17．在一次猜灯谜活动中，共有 20 道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了 12 个，乙同学猜
对了 8 个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（ 1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（ 2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
【分析】（ 1）设事件 A表示“甲猜对”，事件 B表示“乙猜对”，则 P（A） ， P（B）
，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为： P（A ）＝ P（A） P（ ） +P（ ）
P（B），由此能求出结果．
（ 2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为 P（ ）＝ P（ ） P（ ）．由此能求出结果
解：（ 1）设事件 A表示“甲猜对”，事件 B表示“乙猜对”，
则 P（A） ， P（B） ，
∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
P（A ）＝ P（A） P（ ） +P（ ） P（B） （1 ） ．
（ 2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P（ ）＝ P（ ） P（ ）＝（ 1 ）（ 1 ） ．
18．在△ ABC中的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 B＝30°， b ， c ＝2，解这个
三角形．
【分析】根据正弦定理求得 C，进而得到 A，根据余弦定理求得 a 即可．
解：由正弦定理可得 sin C sin B ，
因为 b＜c，则 C＝ 135°或 45°，所以 A＝ 15°或 105°；
根据余弦定理可得 csB ，即 ，解得 a 1 （ 1 舍），
故该三角形 a 1， A＝ 15°， C＝135°或 a 1， A＝105°， C＝45°．
19．已知 （2， 1）， （1， 7）， （5， 1），设 C是直线 OP上的一点（其中 O为
坐标原点）
（ 1）求使 取到最小值时的 ；
（ 2）根据（ 1）中求出的点 C，求 cs∠ACB．
【分析】（ 1）根据题意设点 ，从而将 数量积的坐标表示求出来，可得一个关
于 x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；
（ 2）根据（ 1）中的点 C，可以求得 ， 的坐标，利用向量的数量积即可求得 cs ∠ACB的
值．
解：（ 1）∵ ，则直线 OP的方程为 y ，
∵C是直线 OP上的一点，则设点 ，
∴ ，
∴ （1 ﹣ x）（ 5 ﹣ x） + （7 ）（ 1 ）
，
∴当 x ＝4 时， 取到最小值，此时 C（4， 2），
∴ ；
（ 2）由（ 1）可知， C（4， 2），
∴ ，
∴ ，
故 cs ∠ACB ．
20．设 z1 是虚数， z2 ＝z1 是实数，且﹣ 1≤z2 ≤l．
（ 1）求 | z1| 的值以及 z1 的实部的取值范围；
（ 2）若 ω ，求证 ω 为纯虚数；
（ 3）求 z2 ﹣ ω 的最小值．2
【分析】 （1）设 z1 ＝a+bi，（a， b∈ 一、 选择题， 且 b≠0）， 则 z2＝（a ）+（b ）
i ，因为 z2 是实数，所以 a2+b2 ＝ 1，即 | z 1| ＝ 1，且 z2＝2a，由﹣ 1≤z2≤ 1， z1 的实部的取值范
围为 [ ， ]．
（ 2） ω
（ 3） z2 ﹣ ω 2 ＝（ a ） +（b ） i ﹣（
] ，利用基本不等式即可得出答案．
解：（ 1）设 z1＝a+bi ，（ a， b∈R，且 b≠0），
则 z2 ＝z1 （a+bi ） （a+bi ）
+ （b ） i，
因为 z2 是实数，
所以 b 0，即 b （ ）＝ 0，
因为 b≠0，所以 a2+b2 ＝1，
即 | z1 | ＝1，且 z2＝ 2a，
由﹣ 1≤z2 ≤1，得﹣ 1≤2a≤1，解得 a ，
即 z1 的实部的取值范围为 [ ， ] ．
（ 2）证明：∵ a2+b2 ＝ 1，
，由此证明 ω 是纯虚数．
） 2 ＝2（a+1） 3， a+1∈[ ，
（a+bi） （a ）
ω
，
因为 a ， b≠ 0，
所以 ω 为纯虚数．
（ 3） z2 ﹣ ω2 ＝（ a ） + （b ） i ﹣（ ） 2，
＝ 2a+ （b ﹣ b） i
＝ 2a
＝ 2a
＝ 1
＝ 1
＝ 1
＝ 1+2（a+1）﹣ 4
＝ 2（a+1） 3， a+1∈ [ ， ]，
当 2（a+1） 时，即 a＝0 时， z2 ﹣ ω2 最小 ＝1．