高中4.3 一元二次不等式的应用学案设计

这是一份高中4.3 一元二次不等式的应用学案设计，共7页。


汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
[问题] 如何判断甲、乙两车是否超速？



知识点 利用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1．选取合适的字母表示题中的未知数．
2．由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
3．求解所列出的不等式(组)．
4．结合题目的实际意义确定答案．
1．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400 元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( )
A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5}
C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6}
解析：选B 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．
答案：150
[例1] 解下列不等式：
(1)eq \f(x＋1,2x－1)＜0；(2)eq \f(1－x,3x＋5)≥0；(3)eq \f(x－1,x＋2)＞1.
[解] (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，
∴－1＜x＜eq \f(1,2)，
故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1＜x＜\f(1,2))))).
(2)原不等式可化为eq \f(x－1,3x＋5)≤0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－1）（3x＋5）≤0，,3x＋5≠0，))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)≤x≤1，,x≠－\f(5,3)，))即－eq \f(5,3)＜x≤1.
故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)＜x≤1)))).
(3)原不等式可化为eq \f(x－1,x＋2)－1＞0，
∴eq \f(x－1－（x＋2）,x＋2)＞0，
∴eq \f(－3,x＋2)＞0，则x＜－2.
故原不等式的解集为{x|x＜－2}．
eq \a\vs4\al()
简单分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零；
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[跟踪训练]
解下列不等式：
(1)eq \f(2x－1,3x＋1)≥0；(2)eq \f(2－x,x＋3)＞1.
解：(1)原不等式可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2x－1）（3x＋1）≥0，,3x＋1≠0.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,3)或x≥\f(1,2)，,x≠－\f(1,3).))
∴x＜－eq \f(1,3)或x≥eq \f(1,2)，
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(1,3)或x≥\f(1,2))))).
(2)原不等式可化为eq \f(（2－x）－（x＋3）,x＋3)＞0，
化简得eq \f(－2x－1,x＋3)＞0，即eq \f(2x＋1,x＋3)＜0，
∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－eq \f(1,2).
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－3＜x＜－\f(1,2))))).
[例2] 若不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3，0] B．[－3，0)
C．[－3，0] D．(－3，0)
[解析] (1)k＝0时，－eq \f(3,8)＜0不等式恒成立．
(2)k≠0时，不等式恒成立应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＜0，,Δ＝k2＋4×2k×\f(3,8)＜0，))
即－3＜k＜0.
由(1)(2)知－3＜k≤0.
[答案] A
[母题探究]
1．(变条件)若把本例条件变为“不等式2kx2＋kx＋eq \f(3,8)＞0对一切实数x都成立”，试求k的取值范围．
解：当k＝0时，不等式为eq \f(3,8)＞0，显然成立；
当k≠0时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＞0，,Δ＝k2－4×2k×\f(3,8)＜0，))解得0＜k＜3.所以k的取值范围为[0，3)．
2．(变条件)本例条件变为“对∀x∈[－1，2]，x2－2x＋k＜0恒成立”．求k的取值范围．
解：由已知得只需函数y＝x2－2x＋k在[－1，2]上的图象恒在x轴下方，如图，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－1）2－2×（－1）＋k＜0，,22－2×2＋k＜0，))
解得k＜－3.
所以k的取值范围为(－∞，－3)．
eq \a\vs4\al()
一元二次不等式在R上的恒成立问题
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0；))
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ≤0；))
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0；))
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0.))
[提醒] 当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0.))
[跟踪训练]
1．若不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－2＜a≤2} B．{a|－2＜a＜2}
C．{a|a≠2} D．{a|a≤2}
解析：选A 不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x，可化为(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0.
当a－2＝0时，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2＜0，,Δ＜0，))
解得－2＜a＜2.
综上所述，－2＜a≤2.故选A.
2．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1＜a＜4}
C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
解析：选A 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，
∴－1≤a≤4，故选A.
[例3] (链接教科书第38页例5、例6)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] (1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－（1.2－1）×1 000>0，,00，,0解不等式组，得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0eq \a\vs4\al()
解不等式应用题的步骤

[跟踪训练]
北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住冬奥会契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入eq \f(1,6)(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入eq \f(x,5)万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解：(1)设每件定价为t元，依题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(t－25,1)×0.2))t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意得当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋eq \f(1,6)(x2－600)＋eq \f(x,5)有解，
等价于当x＞25时，a≥eq \f(150,x)＋eq \f(x,6)＋eq \f(1,5)有解．
由于eq \f(150,x)＋eq \f(x,6)≥2 eq \r(\f(150,x)·\f(x,6))＝10，当且仅当eq \f(150,x)＝eq \f(x,6)，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
1．不等式eq \f(2－x,x)≥0的解集为( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x≤2}
C．{x|x＜0或x≥2} D．{x|x＜0或x＞2}
解析：选B 由原式得x(x－2)≤0且x≠0，解得0＜x≤2，故选B.
2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A．[－4，4] B．(－4，4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析：选A 欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4，即实数a的取值范围是[－4，4]．
3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A．{x|10≤x＜16} B．{x|12≤x＜18}
C．{x|15＜x＜20} D．{x|10≤x＜20}
解析：选C 设这批台灯的销售单价为x元，
由题意得，[30－(x－15)×2]x＞400，
即x2－30x＋200＜0，∴10＜x＜20，
又∵x＞15，∴15＜x＜20.故选C.
4．若对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3＜0成立，则a的取值范围是________．
解析：要使x2－ax－3＜0在[－3，－1]上恒成立，
则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时a应满足：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－3）2－（－3）a－3＜0，,（－1）2－（－1）a－3＜0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a＋6＜0，,a－2＜0，))解得a＜－2.
故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3＜0在x∈[－3，－1]时恒成立．
答案：(－∞，－2)新课程标准解读
核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义
数学抽象
2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题
数学建模、数学运算
简单的分式不等式的解法
不等式恒成立问题
一元二次不等式的实际应用