2021年江苏省常州市武进区中考数学模拟试卷(word解析版)

这是一份2021年江苏省常州市武进区中考数学模拟试卷(word解析版)，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．13
2．（2分）要使二次根式3-x有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
3．（2分）如图所示圆柱的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标．2019年1～6月份，常州GDP总量为3765.6亿，相比2018年增长了7.1%．将3765.6用科学记数法表示为（ ）
A．0.37656×104B．3.7656×103
C．3.7656×102D．37656×1011
5．（2分）如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别交于点A、B．若∠1＝143°，则∠2的度数为（ ）
A．27°B．37°C．43°D．33°
6．（2分）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE＝3，则BC的长为（ ）
A．32B．23C．6D．3
7．（2分）如图，等边三角形ABC的边长为6，若点B的坐标为（﹣7，1），那么点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，7）B．（﹣3，7）C．（﹣3，33+1）D．（﹣4，33+1）
8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点P是△ABC的中线AD上一点，将点B绕点P逆时针旋转60°，点B的对应点是点E，则AE的取值范围是（ ）
A．4≤x≤5B．23≤x≤5C．23≤x≤27D．4≤x≤27
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：3a2•a﹣a4÷a＝ ．
10．（2分）﹣8的立方根是 ．
11．（2分）因式分解：xy2﹣2xy+x＝ ．
12．（2分）已知x＝2是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则a＝ ．
13．（2分）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 ．
14．（2分）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15．（2分）若x、y满足方程组x+2y=52x+y=4，则x+y＝ ．
16．（2分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若BC的度数为48°，则∠A+∠D＝ °．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以点C为圆心的圆与AB相切，⊙C的半径为2.4，则AB＝ ．
18．（2分）如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B运动到了⊙O上的点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上的点A2处，点D1、C1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（8分）计算：
（1）（3+1）0+|﹣2|﹣3﹣1；
（2）（x+1）（x+2）﹣（x﹣1）2．
20．（6分）解不等式组3x+1≤2(x+1)-x＜5x+12，并写出它的整数解．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且BE＝BC，连接CE．
（1）求证：∠CED＝∠CEB；
（2）若∠CED＝67.5°，BC＝2，求AB的长．
22．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
23．（8分）2020年1月，新型冠状病毒肺炎肆虐全国，湖北作为重疫区，医护人员短缺，为了保护民众的生命安全，我市某医院决定从最先报名的3名男医护人员和2名女医护人员中随机抽取部分医护工作者支援武汉．
（1）如果只抽取一名医护人员，那么抽到女医护人员的概率为 ．
（2）如果随机抽取2名医护人员，求抽到1名男医护人员和1名女医护人员的概率．
24．（8分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（4，﹣2），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E．
（1）求k的值；
（2）若F是OC上一点，且△AFE的面积为3，求直线EF的函数表达式．
25．（8分）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正西方向，一船只从A处沿北偏东36°方向以40km/h的速度航行，2h后到达C处，此时，从B站测得船在北偏西42°的方向，求A、B两个观测站之间的距离．（结果精确到0.1km，参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）．
26．（10分）阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2＝|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2．
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2＝|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2＝r2．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为 ．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=34，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．
27．（10分）某数学兴趣小组发现八年级期中试卷上有这样一道题：如图①，在正方形ABCD的外部作∠AED＝45°，且AE＝6，DE＝3，连接BE，求BE的长．经过思考，小明提出两种解题的思路：
思路1：如图②，分别过点D、B作DF⊥AE，BG⊥EA的延长线，垂足分别为F、G．构造△ABG≌△DAF，求出EG、BG的长，再利用勾股定理求BE的长．
思路2：如图③，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，就可以构造出Rt△EDF，运用勾股定理可以求出EF的长，从而得到BE的长．
（1）求得BE＝ ．
请你用学过的知识或参考小明的思路解决兴趣小组提出的以下两个问题：
（2）如图④，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，在菱形ABCD的外部作∠AED＝22.5°，且AE=2，DE＝1，连接BE，求BE2的值；
（3）如图⑤，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，在△ABC外部作△APC，AP=2AC，∠APC＝β，连接PB，若PC2+2BC2＝PB2，试探求α与β的数量关系．
28．（10分）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．
（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由．
2021年江苏省常州市武进区中考数学模拟试卷
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．13
【分析】当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：B．
2．（2分）要使二次根式3-x有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
【解答】解：由题意可知：3﹣x≥0，
∴x≤3，
故选：D．
3．（2分）如图所示圆柱的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：此圆柱的左视图是一个矩形，故选：C．
4．（2分）GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标．2019年1～6月份，常州GDP总量为3765.6亿，相比2018年增长了7.1%．将3765.6用科学记数法表示为（ ）
A．0.37656×104B．3.7656×103
C．3.7656×102D．37656×1011
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：3765.6＝3.7656×103．
故选：B．
5．（2分）如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别交于点A、B．若∠1＝143°，则∠2的度数为（ ）
A．27°B．37°C．43°D．33°
【分析】直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝143°，
∴∠3＝143°，
∴∠2＝180°﹣143°＝37°．
故选：B．
6．（2分）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE＝3，则BC的长为（ ）
A．32B．23C．6D．3
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝3，
∴BC＝6，
故选：C．
7．（2分）如图，等边三角形ABC的边长为6，若点B的坐标为（﹣7，1），那么点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，7）B．（﹣3，7）C．（﹣3，33+1）D．（﹣4，33+1）
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD＝CD=12BC＝3，根据勾股定理得到AD=AB2-BD2=62-32=33，于是得到结论．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD=12BC＝3，
∴AD=AB2-BD2=62-32=33，
∵点B的坐标为（﹣7，1），
∴A（﹣4，33+1），
故选：D．
8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点P是△ABC的中线AD上一点，将点B绕点P逆时针旋转60°，点B的对应点是点E，则AE的取值范围是（ ）
A．4≤x≤5B．23≤x≤5C．23≤x≤27D．4≤x≤27
【分析】当点P与点A重合时，AE有最小值，当点P与点D重合时，AE有最大值，由旋转的性质和等边三角形的性质可求解．
【解答】解：∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BD＝CD，
∴AD＝2，BD＝23，
当点P与点A重合时，AE有最小值，如图，
∵将点B绕点P逆时针旋转60°，
∴BP＝BE，∠PBE＝60°，
∴△PBE是等边三角形，
∴PE＝AB＝4＝AE，
当点P与点D重合时，AE有最大值，如图，
∵将点B绕点P逆时针旋转60°，
∴BP＝BE，∠PBE＝60°，
∴△PBE是等边三角形，
∴BP＝BE＝23，
∴∠ABE＝∠ABC+∠PBE＝90°，
∴AE=AB2+BE2=AB2+BE2=16+12=27，
∴AE的取值范围是4≤AE≤27，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：3a2•a﹣a4÷a＝ 2a3 ．
【分析】根据单项式乘单项式、单项式除以单项式、合并同类项法则计算即可．
【解答】解：3a2•a﹣a4÷a
＝3a3﹣a3
＝2a3，
故答案为：2a3．
10．（2分）﹣8的立方根是 ﹣2 ．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
11．（2分）因式分解：xy2﹣2xy+x＝ x（y﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：xy2﹣2xy+x
＝x（y2﹣2y+1）
＝x（y﹣1）2，
故答案为：x（y﹣1）2．
12．（2分）已知x＝2是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则a＝ 14 ．
【分析】把x＝2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．
【解答】解：把x＝2代入ax2﹣2x+3＝0，得
4a﹣4+3＝0，
解得：a=14．
故答案是：14．
13．（2分）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 8π ．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积=12×4π×4＝8π．
14．（2分）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1 ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4m＞0，然后解关于m的不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m＞0，
解得m＜1．
故答案为m＜1．
15．（2分）若x、y满足方程组x+2y=52x+y=4，则x+y＝ 3 ．
【分析】应用代入法，求出方程组x+2y=52x+y=4的解，即可求出x+y的值是多少．
【解答】解：x+2y=5①2x+y=4②
由②，可得：y＝4﹣2x③，
把③代入①，解得x＝1，
∴y＝4﹣2×1＝2，
∴原方程组的解是x=1y=2，
∴x+y＝1+2＝3
故答案为：3．
16．（2分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若BC的度数为48°，则∠A+∠D＝ 204 °．
【分析】连接BD，根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠EDB＝180°，再根据BC的度数为48°，可得∠DBC＝24°，然后求解即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵BC的度数为48°，
∴∠BDC=12×48°=24°，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠A+∠EDB＝180°，
∴∠A+∠D＝180°+24°＝204°．
故答案为：204．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以点C为圆心的圆与AB相切，⊙C的半径为2.4，则AB＝ 5 ．
【分析】如图，设切点为D，连接CD，根据切线的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理得到BD=BC2-CD2=95，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵⊙C的半径为2.4，
∴CD＝2.4，
∴BD=BC2-CD2=95，
∵∠CDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴BCAB=BDBC，
∴3AB=953，
∴AB＝5，
故答案为：5．
18．（2分）如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B运动到了⊙O上的点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上的点A2处，点D1、C1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为 （2+3，﹣1） ．
【分析】如图，由题意发现12次一个循环，由2020÷12＝168余数为4，推出A2020的坐标与A4相同，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意发现12次一个循环，
∵2020÷12＝168余数为4，
∴A2020的坐标与A4相同，
∵A4（2+3，﹣1），
∴A2020（2+3，﹣1），
故答案为：（2+3，﹣1），．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（8分）计算：
（1）（3+1）0+|﹣2|﹣3﹣1；
（2）（x+1）（x+2）﹣（x﹣1）2．
【分析】（1）先算零指数、负整数指数幂，再算绝对值，最后加减；
（2）先利用多项式乘多项式法则、完全平方公式，再合并同类项．
【解答】解：（1）原式＝1+2-13
＝223；
（2）原式＝x2+3x+2﹣（x2﹣2x+1）
＝x2+3x+2﹣x2+2x﹣1
＝5x+1．
20．（6分）解不等式组3x+1≤2(x+1)-x＜5x+12，并写出它的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．
【解答】解：解不等式3x+1≤2（x+1），得：x≤1，
解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
则不等式组的整数解为﹣1、0、1．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且BE＝BC，连接CE．
（1）求证：∠CED＝∠CEB；
（2）若∠CED＝67.5°，BC＝2，求AB的长．
【分析】（1）证根据矩形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）知，∠CED＝∠CEB＝67.5°，推出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴∠CED＝∠CEB；
（2）解：由（1）知，∠CED＝∠CEB＝67.5°，
∴∠BED＝135°，
∴∠AEB＝45°，
∵∠A＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵BE＝BC＝2，
∴AB=22BE=2．
故AB的长为2．
22．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 50 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 0.32 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 72 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
【分析】（1）根据A组的百分比和频数得出样本容量，并计算出B组的频数补全频数分布直方图即可；
（2）由图表得出C组学生的频率，并计算出D组的圆心角即可；
（3）根据样本估计总体即可．
【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%＝50，B组的频数＝50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，
补全频数分布直方图，如图：
（2）C组学生的频率是0.32；D组的圆心角=1050×360°=72°；
（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8＝18人，
该校初三年级体重超过60kg的学生=1850×100%×1000=360人，
故答案为：（1）50；（2）0.32；72．
23．（8分）2020年1月，新型冠状病毒肺炎肆虐全国，湖北作为重疫区，医护人员短缺，为了保护民众的生命安全，我市某医院决定从最先报名的3名男医护人员和2名女医护人员中随机抽取部分医护工作者支援武汉．
（1）如果只抽取一名医护人员，那么抽到女医护人员的概率为 25 ．
（2）如果随机抽取2名医护人员，求抽到1名男医护人员和1名女医护人员的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽到1名男医护人员和1名女医护人员的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）如果只抽取一名医护人员，那么抽到女医护人员的概率为23+2=25，
故答案为：25；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽到1名男医护人员和1名女医护人员的结果有12种，
∴抽到1名男医护人员和1名女医护人员的概率为1220=35．
24．（8分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（4，﹣2），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E．
（1）求k的值；
（2）若F是OC上一点，且△AFE的面积为3，求直线EF的函数表达式．
【分析】（1）求得线段AB的中点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得；
（2）先求得E的坐标，然后根据题意求得F的坐标，利用待定系数法即可求得直线EF的解析式．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（4，﹣2），AB的中点为D，
∴D（2，﹣2），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过AB的中点D，
∴k＝2×（﹣2）＝﹣4，
故k的值为﹣4；
（2）把x＝4代入y=-4x得，y＝﹣1，
∴E（4，﹣1），
连接AF，设F（m，0），则OF＝m，CF＝4﹣m，
∴S△AOF=12OF•OA=12×m×2=m，S△CEF=12CF⋅CE=12×（4﹣m）×1＝2-12m，
∵S梯形OAEC=12（1+2）×4＝6，△AFE的面积为3，
∴S△AFE＝S梯形OAEC﹣S△AOF﹣S△CEF＝6﹣m﹣（2-12m）＝3，
解得m＝2，
∴F（2，0），
设直线EF的解析式为y＝ax+b，
把E（4，﹣1），F（2，0）代入得4a+b=-12a+b=0，
解得a=-12b=1，
∴直线EF的函数表达式为y=-12x+1．
25．（8分）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正西方向，一船只从A处沿北偏东36°方向以40km/h的速度航行，2h后到达C处，此时，从B站测得船在北偏西42°的方向，求A、B两个观测站之间的距离．（结果精确到0.1km，参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BDC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
由题意得，∠ACD＝36°，∠BCD＝42°，AC＝40×2＝80（km），
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝36°，AC＝80km，
∴AD＝AC•sin36°≈80×0.59＝47.2（km），CD＝AC•cs36°≈80×0.81＝64.8（km），
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝42°，
∴BD＝CD•tan42°≈64.8×0.90＝58.32（km），
∴AB＝AD+BD＝47.2+58.32≈105.5（km），
答：A、B两个观测站之间的距离为105.5km．
26．（10分）阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2＝|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2．
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2＝|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2＝r2．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为 （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2 ．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=34，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．
【分析】问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP＝r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；
综合应用：①由PO＝PA，PD⊥OA可得∠OPD＝∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB＝∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB＝90°，即可得到∠PAB＝90°，由此可得AB是⊙P的切线；
②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO＝QP＝BQ＝AQ．易证∠OBP＝∠POA，则有tan∠OBP=OPOB=34．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．
【解答】解：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，
∵P（a，b），半径为r，
∴AP2＝（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2．
故答案为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
综合应用：
①∵PO＝PA，PD⊥OA，
∴∠OPD＝∠APD．
在△POB和△PAB中，
PO=PA∠OPB=∠APBPB=PB，
∴△POB≌△PAB，
∴∠POB＝∠PAB．
∵⊙P与x轴相切于原点O，
∴∠POB＝90°，
∴∠PAB＝90°，
∴AB是⊙P的切线；
②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．
当点Q在线段BP中点时，
∵∠POB＝∠PAB＝90°，
∴QO＝QP＝BQ＝AQ．
此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．
∵∠POB＝90°，OA⊥PB，
∴∠OBP＝90°﹣∠DOB＝∠POA，
∴tan∠OBP=OPOB=tan∠POA=34．
∵P点坐标为（0，6），
∴OP＝6，OB=43OP＝8．
过点Q作QH⊥OB于H，如图3，
则有∠QHB＝∠POB＝90°，
∴QH∥PO，
∴△BHQ∽△BOP，
∴QHOP=BHOB=BQBP=12，
∴QH=12OP＝3，BH=12OB＝4，
∴OH＝8﹣4＝4，
∴点Q的坐标为（4，3），
∴OQ=OH2+QH2=5，
∴以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．
27．（10分）某数学兴趣小组发现八年级期中试卷上有这样一道题：如图①，在正方形ABCD的外部作∠AED＝45°，且AE＝6，DE＝3，连接BE，求BE的长．经过思考，小明提出两种解题的思路：
思路1：如图②，分别过点D、B作DF⊥AE，BG⊥EA的延长线，垂足分别为F、G．构造△ABG≌△DAF，求出EG、BG的长，再利用勾股定理求BE的长．
思路2：如图③，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，就可以构造出Rt△EDF，运用勾股定理可以求出EF的长，从而得到BE的长．
（1）求得BE＝ 9 ．
请你用学过的知识或参考小明的思路解决兴趣小组提出的以下两个问题：
（2）如图④，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，在菱形ABCD的外部作∠AED＝22.5°，且AE=2，DE＝1，连接BE，求BE2的值；
（3）如图⑤，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，在△ABC外部作△APC，AP=2AC，∠APC＝β，连接PB，若PC2+2BC2＝PB2，试探求α与β的数量关系．
【分析】（1）以图③为例，由旋转可得△ABE≌△ADF，根据勾股定理求出DF即可得出BE；
（2）将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△ADF，过F作FH⊥AE于H，利用勾股定理求出EF，进而求出BE2即可；
（3）将△ABP绕点A逆时针旋转α，得到△ACD，由题意得出△PCD是直角三角形，再根据△APD是等腰三角形得出两角关系即可．
【解答】解：（1）以图③为例，由旋转可得△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠DEF＝90°，EF=2AE＝62，DE＝3，
∴DF=EF2+DE2=(62)2+32=9，
∴BE＝DF＝9；
（2）由旋转可得下图，（旋转角为45°，绕点A逆时针旋转），过F作FH⊥AE于H，
∴∠AEF＝67.5°，
∵∠AED＝22.5°，
∴∠DEF＝90°，旋转得BE＝DF，
在RtDEF中，DF2＝EF2+DE2，
∴AE＝AF=2，AH＝FH＝1，
∴EH=2-1，
∵EF2＝FH2+EH2，
∴EF2＝12+（2-1）2＝4-2，
∴BE2＝DF2＝EF2+DE2＝4-2+1＝5-2；
（3）将△ABP绕点A逆时针旋转α，得到△ACD，
由旋转得BP2＝CD2，
∵PC2+2BC2＝BP2＝CD2，AB＝AC，AP=2AC，
∴CP2+DP2＝CD2，
∴△PCD是Rt△，且∠DPC＝90°，
∴β+∠APD＝90°，
∵△APD是等腰三角形，
∴∠APD=180°-α2，
即180°-α2+β＝90°，
∴α＝2β．
28．（10分）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．
（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由．
【分析】（1）将A，B点坐标代入即可求出二次函数的表达式，
（2）分类讨论：当P在x轴上方和在x轴下方，运用高相等的两个三角形的面积比等于底边比这一概念进行求解，
（3）找出N点的运动轨迹为平行于x轴的一条直线即可．
【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣1，0），（3，0），
∴代入得0=-(-1)2+b⋅(-1)+c0=-32+3b+c，
解得b=2c=3，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）①如图所示，当P在x轴上方时，
过点P作PF⊥x轴于点F，过点E作QE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AP于点G，
可得△AQE∽△APF，
∴AQAP=AEAF=QEPF，
∵S△ABQS△BPQ=41=12⋅AQ⋅BG12⋅QP⋅BG=AQQP，
∴AQAP=45，
∴AQAP=AEAF=QEPF=45，
设点P（a，﹣a2+2a+3），
∴OF＝a，PF＝﹣a2+2a+3，
∴AF＝a﹣（﹣1）＝a+1，QE=45PF=45⋅(-a2+2a+3)，
∴AE=45AF=4(a+1)5，
∴OE＝AE﹣AO=4(a+1)5-1=4a-15，
∴Q点的坐标可表示为（4a-15，45⋅(-a2+2a+3)），
∵B（3，0），C为二次函数与y轴交点，
∴C（0，3），
可得BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵Q在BC上，
∴45⋅(-a2+2a+3)=-4a-15+3，
解得a=3+52或3-52．
②如图所示，当P在x轴下方时，
同理①可求出P点的横坐标为15+30510或15-30510，
∵﹣1＜15-30510＜0，
∴当P点横坐标为15-30510时，P在抛物线的AC段，
不合题意，舍去，
综上所述，P点的横坐标为3+52或3-52或15-30510．
（3）如图所示，以AB为底在x轴上方作等腰直角三角形ABK，连接NK，过点K作KH⊥x轴于点H，
∵△AMN和△ABK均为等腰直角三角形，
∴ANAM=AKAB，∠NAM＝∠BAK，
∴∠NAM+∠MAK＝∠BAK+∠MAK，
∴∠NAK＝∠MAB，
∴△NAK∽△MAB，
∴∠NKA＝∠MBA，
∵C（0，3），B（3，0），
∴OC＝OB，
∴∠MBA＝45°＝∠NAK＝∠KAB，
∴NK∥AB，
∵两条平行线之间的距离相等，
∴N在运动时，N到AB的距离保持不变，其距离都等于KH的长，
∵在等腰直角三角形KAB中，AB＝4，
∴KH=12AB=2，
∴S△ABN=12⋅AB⋅KH=12⋅4⋅2=4．
综上所述，△ABN的面积不变，为4．